Fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma didalamnya. Sebelumnya kita telah belajar tentang fungsi eksponen yaitu fungsi yang berkorespondensi satu-satu, sehingga fungsi eksponen mempunyai invers. Invers dari fungsi eksponen inilah yang dinamakan fungsi logaritma.

Dari fungsi $f : x \rightarrow a^x$ yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan real positif. Fungsi tersebut bijektif dari $R$ ke $R^+$ sehingga mempunyai invers $f^{-1} : R^+\rightarrow R$ yaitu setiap $x\in R$ mempunyai peta tunggal $y\in R^+$ dan sebaliknya $y\in R^+$ mempunyai peta tunggal $x\in R$.

Jadi, fungsi $f : x \rightarrow a^x$ mempunyai invers $f^{-1}$ sehingga dari $$y = a^x \Leftrightarrow ^a\log y=x$$ diperoleh : $$f^{-1}(x) = ^a\log x \text{ dan } f^{-1}(y) = ^a\log y$$ Fungsi invers ini disebut fungsi logaritma yang mempunyai domain himpunan bilangan positif $R^+$ dan range himpunan bilangan real R.

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Fugnsi logaritma dapat dicari nilai fungsinya untuk domain $0 < x < \infty $.
Dengan demikian secara umum bentuk umum fungsi logaritma adalah: $$f:x\rightarrow ^a\log x \text{ atau } f(x)=^a\log x$$ dengan $a > 0,a\neq1, x > 0$ dan $x\in R$

Dari bentuk umum di atas dapat diambil pengertian sebaga berikut:

  1. Daerah asal (domain) dari fungsi logaritma adalah $D_f=\lbrace x|x>0,x\in R\rbrace$
  2. $a$ disebut bilangan pokok (basis ) logaritma dengan syarat $a>0$ dan $a\neq 1$ dengan demikian berlaku $0<a<1$ dan $a>1$.
  3. Daerah hasil (range) dari fungsi logaritma adalah $R_f=\lbrace y|-\infty<y<+\infty,y\in R\rbrace$

Contoh Soal

  1. Berikut ini yang termasuk fungsi logaritma adalah $\cdots \cdot$
    A. $f(x) = \ ^2 \log (x+3)$
    B. $f(x) = |x + 7|$
    C. $f(x) = 3^{x+2}$
    D. $f(x) = x^3 + x^2 + \log 8$
    E. $f(x) = \log 5$
    Pembahasan
    Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k \cdot \ ^a \log x$ untuk $a > 0$, $a\neq 1$ dan $x > 0$.
    Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
    Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
    Opsi A: fungsi logaritma
    Opsi B: fungsi mutlak
    Opsi C: fungsi eksponen
    Opsi D: fungsi kubik
    Opsi E: fungsi konstan
    Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{f(x) = \ ^2 \log (x+3)}$
    (Jawaban A)

  2. Jika $f(x) = 3 \cdot ^2 \log (3x)$, maka nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\cdots \cdot$
    A. $x = \dfrac19$
    B. $x = \dfrac13$
    C. $x = 1$
    D. $x = 3$ E. $x = 9$
    Pembahasan
    Diketahui $f(x) = 3 \cdot \ ^2 \log (3x)$.
    Ubah $f(x)$ menjadi $0$ sehingga kita peroleh $$ \begin{equation} \begin{split} 3 \cdot ^2 \log (3x) &= 0 \\ ^2 \log (3x) &= 0 \\ 3x &= 2^0 \\ 3x &= 1 \\ x &= \dfrac13 \end{split} \end{equation} $$Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\boxed{x = \dfrac13}$ (Jawaban B)

  3. Daerah asal dari fungsi logaritma $f(x) = \dfrac14 \cdot \ ^3 \log (x^2-4)$ adalah $D_f = \cdots \cdot$
    A. $\lbrace x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
    B. $\lbrace x \mid -2 < x < 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
    C. $\lbrace x \mid x \le -2~\text{atau}~x \ge 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
    D. $\lbrace x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\rbrace$
    E. $\lbrace x \mid x \in \mathbb{R}\rbrace$
    Pembahasan
    Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
    Diketahui $f(x) = \dfrac14 \cdot \ ^3 \log (x^2-4).$
    Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$ sehingga kita tuliskan $$ \begin{equation} \begin{split} x^2-4 &> 0 \\ (x-2)(x+2) &> 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{split} \end{equation} $$ Jadi, domain fungsi tersebut adalah $$\boxed{D_f = {x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}}}$$
    (Jawaban A)

  4. Jika $f(x) = x \log x$ dan $g(x) = 10^x$, maka $g(f(2))= \cdots \cdot$
    A. $24$
    B. $17$
    C. $4$
    D. $2$
    E. $0,6$
    Pembahasan
    Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu. Diketahui $f(x) = x \log x$ sehingga $f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$. Diketahui juga $g(x) = 10^x$ sehingga $$\begin{equation} \begin{split} g(f(2)) &= g(\log 2^2) \\ &= 10^{\log 2^2} \\ &= 10^{^{10} \log 4} \\ &= 4 \end{split} \end{equation}$$ Jadi, nilai dari $\boxed{g(f(2)) = 4}$ (Jawaban C)

  5. Jika $f(x) = 2^{3x-5}$, maka nilai dari $f^{-1}(15) = \cdots \cdot$
    A. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}$
    B. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{3}$
    C. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{15}$
    D. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{15}$
    E. $\dfrac{^2 \log 3 + 3}{15}$
    Pembahasan
    Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{3x-3} = 15$. Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh $$\begin{equation} \begin{split} ^2 \log 15 &= 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 &= 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} &= x \end{split} \end{equation}$$
    Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$ (Jawaban A)