latihan soal persamaan trigonometri untuk menghadapi penilaian tengah semester

Sebentar lagi PTS nih atau penilaian tengah semester…

Sudah siap belum menghadapi PTS? kali ini saya berbagi beberapa soal tentang PTS matematika peminatan kelas XI materinya persamaan trigonometri. Nah bagi, yang belum tau materinya silahkan pelajari dulu Persamaan Trigonometri Sederhana↝ , Persamaan Trigonometri Bentuk cosx=a, sinx=a, tanx=a)↝ , Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat↝

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sin x=\sin 23^\circ ,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

ingat $\sin x= \sin \alpha$ ada 2 penyelesaian yaitu

  • $x= \alpha +k\cdot 360^\circ$
  • $x= (180^\circ-\alpha) +k\cdot 360^\circ$

maka penyelesaian dari $\sin x=\sin 23^\circ ,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

  • $x_1=23^\circ +k.360^\circ $
    Untuk $k=0\to x_1=23^\circ $
  • $x_2=(180^\circ -23^\circ )+k.360^\circ $
    Untuk $k=0\to x_2=157^\circ $

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace 23^\circ ,157^\circ \rbrace$

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\cos x=\cos \frac{\pi }{6},\text{ }0\le x\le 2\pi $

ingat $\cos x= \cos \alpha$ ada 2 penyelesaian yaitu

  • $x= \alpha +k\cdot 2\pi$
  • $x= -\alpha +k\cdot 2\pi$

maka penyelesaian dari $\cos x=\cos \frac{\pi }{6},\text{ }0\le x\le 2\pi$

  • $x_1=\frac{\pi }{6} +k.2\pi $
    Untuk $k=0\to x_1=\frac{\pi }{6} $
  • $x_2=-\frac{\pi }{6}+k.2\pi $
    Untuk $k=1\to x_2=-\frac{\pi }{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi $

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace \frac{\pi }{6}, \frac{11}{6}\pi \rbrace$

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\tan x=\tan 12^\circ ,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

ingat $\tan x= \tan \alpha$ hanya ada 1 penyelesaian yaitu

  • $x= \alpha +k\cdot 180^\circ$

maka penyelesaian dari $\sin x=\sin 12^\circ ,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

$x=12^\circ+k\cdot 180^\circ$
Untuk $k=0\to x_1=12^\circ $
Untuk $k=1\to x_1=192^\circ $
Untuk $k=2\to x_1=372^\circ $ (TM)

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace 12^\circ ,192^\circ \rbrace$

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sin 2x-\cos \frac{\pi }{3}=0,\text{ }0\le x\le \pi $

ingat $\sin x= \cos \alpha$ dapat dirubah ke bentuk $$\sin x= \sin(90^\circ-\alpha)$$ atau $$\cos(90^\circ -x)= \cos \alpha$$ maka penyelesaian dari $\sin 2x-\cos \frac{\pi }{3}=0,\text{ }0\le x\le 2\pi $

$$\begin{align*}\sin 2x-\cos \frac{\pi }{3}=0\\ \Leftrightarrow \sin 2x=\cos \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \sin 2x=\sin (\frac{\pi}{2}- \frac{\pi }{3})\\ \Leftrightarrow \sin 2x=\sin (\frac{3}{6}\pi- \frac{2}{6}\pi)\\ \Leftrightarrow \sin 2x=\sin \frac{1}{6}\end{align*}$$ selanjutnya selesaikan dengan persamaan trigonometri sederhana

  • $2x=\frac{1}{6}\pi +k.2\pi $
    $x=\frac{1}{12}\pi +k.\pi $
    Untuk $k=0\to x=\frac{1}{12}\pi $
    Untuk $k=1\to x=\frac{13}{12}\pi $
  • $2x=(\pi-\frac{1}{6}\pi)+k.2\pi $
    $2x=\frac{5}{6}\pi+k.2\pi $
    $x=\frac{5}{12}\pi+k.\pi $
    Untuk $k=0\to x=\frac{5}{12}\pi $
    Untuk $k=1\to x=\frac{17}{12}\pi $

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace \frac{1}{12}\pi, \frac{5}{12}\pi,\frac{13}{12}\pi,\frac{17}{12}\pi \rbrace$

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sin (2x-35^\circ )=\frac{1}{2}\sqrt{3},\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ$

penyelesaian dari $\sin (2x-35^\circ )=\frac{1}{2}\sqrt{3},\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

$\sin (2x-35^\circ )=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \sin (2x-35^\circ )=\sin 60^\circ$
maka

  • $2x-35^\circ=60^\circ +k.360^\circ $
    $2x=95^\circ +k.360^\circ $
    $x=47,5^\circ +k.180^\circ $
    Untuk $k=0\to x=47,5^\circ $
    Untuk $k=1\to x=227,5^\circ $
  • $2x-35^\circ=(180^\circ -60^\circ )+k.360^\circ $
    $2x-35^\circ=120^\circ+k.360^\circ $
    $2x=155^\circ+k.360^\circ $
    $x=77,5^\circ+k.180^\circ $
    Untuk $k=0\to x=77,5^\circ $ Untuk $k=1\to x=257,5^\circ $

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace 44,5^\circ; 77,5^\circ;227,5^\circ;257,5^\circ \rbrace$

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari $2\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)-1=0,\text{ }0\le \theta \le 2\pi $

penyelesaian dari $2\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)-1=0,\text{ }0\le \theta \le 2\pi $

$2\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)-1=0$
$2\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)=1$
$\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)=\frac12=\cos 60^\circ$
$\cos \left( 2\theta -\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{1}{3}\pi$
maka

  • $2\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$
    $2\theta=\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$ $2\theta=\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$
    $\theta=\frac{2}{6}\pi +k\cdot \pi$
    $\theta=\frac{1}{3}\pi +k\cdot \pi$
    Untuk $k=0\to \theta=\frac{1}{3}\pi $
    Untuk $k=1\to \theta=\frac{4}{3}\pi $
  • $2\theta -\frac{\pi }{3}=-\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$
    $2\theta=-\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$ $2\theta=0 +k\cdot 2\pi$
    $\theta=0 +k\cdot \pi$
    Untuk $k=0\to \theta=0 $
    Untuk $k=1\to \theta=\pi $
    Untuk $k=2\to \theta=2\pi $

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= $\lbrace 0,\frac{1}{3}\pi,\pi,\frac{4}{3}\pi,2\pi \rbrace$

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari $2\cos^2 2y-7\cos 2y+3=0,\text{ }0\le y\le 2\pi $

penyelesaian dari $2\cos^2 2y-7\cos 2y+3=0,\text{ }0\le y\le 2\pi $

Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka

$2\cos^2x+7\cos x+3=0$ (memisalkan $\cos x=p$)

$\Leftrightarrow 2p^2-7p+3=0$

$\Leftrightarrow (2p-1)(p-3)=0$

$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p-3=0$

$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=3$ (rubah lagi $p=\cos x$)

$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$

Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ $

  • $x=60{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=0\Rightarrow x=60{}^\circ $
  • $x=-60{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ $

Untuk $\cos x=3$ Tidak memenuhi karena rentang nilai untuk $\cos x$ adalah $-1\le \cos x \le 1$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 60{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$

8. Tentukan himpunan penyelesaian dari $2\cos^2x-9\sin x+3=0,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

penyelesaian dari $2\cos^2x-9\sin x+3=0,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $
$2\cos^2x-9\sin x+3=0$

$\Leftrightarrow 2(1-\sin^2x)-9\sin x+3=0 $

$\Leftrightarrow 2-2\sin^2x-9\sin x+3=0 $

$\Leftrightarrow -2\sin^2x-9\sin x+5=0$ (masing-masing ruas dikalikan -1)

$\Leftrightarrow 2\sin^2x+9\sin x-5=0 $

$ \Leftrightarrow (2\sin x-1)(\sin x+5)=0 $

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-5$

Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30{}^\circ $ maka diperoleh

  • $x=30{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=0\Rightarrow x=30{}^\circ $
  • $x=(180{}^\circ -30{}^\circ )+k.360{}^\circ $
    $x=150{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=0\Rightarrow x=150{}^\circ $

Untuk $\sin x=-5$ Tidak memenuhi karena rentang nilai untuk $\sin x$ adalah $-1\le \sin x \le 1$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150{}^\circ \rbrace$

9. Tentukan himpunan penyelesaian dari $2\cos x+3\tan x=0,\text{ }0^\circ \le x\le 360^\circ $

untuk menyelesaikan persamaan $2\cos x+3\tan x=0$ perlu kita rubah dulu

$2\cos x+3\tan x=0$ (rubah $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$)

$\Leftrightarrow 2\cos x+3\frac{\sin x}{\cos x} x=0$ (masing ruas kalikan $\cos x$)

$\Leftrightarrow 2\cos^2x+3\sin x=0$ rubah $\cos^2 x=1-\sin^2x$)

$\Leftrightarrow 2(1-\sin^2x)+3\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2-2\sin^2x+3\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin^2x-3\sin x-2=0$

$\Leftrightarrow (2\sin x+1)(\sin x-2)=0 $

$\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2}$ atau $\sin x=2$

Untuk $\sin x=-\frac{1}{2}=\sin 210{}^\circ $ maka diperoleh

  • $x=210{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=0\Rightarrow x=210{}^\circ $
  • $x=(180{}^\circ -210{}^\circ )+k.360{}^\circ $
    $x=-30{}^\circ +k.360{}^\circ $
    Untuk $k=1\Rightarrow x=330{}^\circ $

Untuk $\sin x=2 $ tidak memenuhi karena rentang nilai untuk $\sin x$ adalah $-1\le \sin x \le 1$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 210^\circ ,330^\circ \rbrace$

Demikian latihan soal PTS matematika peminatan materi persamaan trigonometri semoga bermanfaat. Banyaklah berlatih ya…