Barisan dan deret geometri adalah konsep dasar dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk ilmu ekonomi, fisika, dan teknik. Setelah sebelumnya kita belajar barisan dan deret aritmatika↝ , kali ini kita lanjutkan dengan barisan dan deret geometri. Kali ini kita akan membahas secara lengkap mengenai apa itu barisan dan deret geometri, rumus-rumus yang terkait, serta memberikan beberapa contoh untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.

Apa Itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah rangkaian bilangan atau suku-suku yang dibentuk sedemikian rupa sehingga setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio yang disimbolkan dengan huruf ($r$).

Misal barisannya adalah $$ U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6, U_7, …. $$ Cara menghitung rasio ($r$) adalah $$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}}$$

Contoh
$2, 4, 8, 16, 32,…$ (Barisan Geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}…$ (Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)

Rumus Suku Ke- Barisan Geometri

Jika suku pertama = $a$ dan rasio = $r$, maka secara umum barisan Geometri tersebut adalah: $$\begin{matrix}U_1, & U_2, & U_3, & U_4, & & U_n \\ a, & ar, & ar^2, & ar^3, & \cdots, &ar^{n-1} \end{matrix} $$

Jadi rumus suku ke-n barisan Geometri adalah $$U_n=ar^{n-1}$$ Dengan :

  • $U_n$ adalah suku ke-n
  • $a$ adalah suku pertama
  • $r$ adalah rasio geometri
  • $n$ adalah indeks suku ke-n

untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n $ ini bisa dibaca “arni”

Contoh barisan Geometri

  1. Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?

    • a. 1, 2, 4, 8, …..
    • b. $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ….
    • c. 1, 2, 6, 8, 16, ….
    • d. 3, 4, 8, 2, 12, ….
    • e. 16, 8, 4, 2, 1, ….

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Barisan bilangan disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.

    • a. $\underbrace{1, 2}_{\times 2} \underbrace{, 4 }_{\times 2} \underbrace{, 8 }_{\times 2} , \cdots $
      barisan diatas rasionya/ perbandingan $r=\frac21=\frac42=2$ sama, sehingga termasuk barisan geometri

    • b. $ \underbrace{\frac{1}{3}, 1}_{\times 3} \underbrace{, 3 }_{\times 3} \underbrace{, 9 }_{\times 3} \underbrace{, 27 }_{\times 3} , …. $
      Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.

    • c. $ \underbrace{1, 2}_{\times 2} \underbrace{, 6 }_{\times 3} \underbrace{, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, 16 }_{\times 2} , …. $
      Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.

    • d. $ \underbrace{3, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, 8 }_{\times 2} \underbrace{, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, 12 }_{\times 6} , …. $
      Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.

    • e. $ \underbrace{16, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , …. $
      Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$.

      Cara mencari rasionya :
      $ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ dan seterusnya.

  2. Tentukan suku ke-6 dan suku ke 21 dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, ….?

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • dari barisannya diperoleh
      $ a = 1 $ dan
      $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $
    • Menentukan suku ke-6 dengan $ U_n = a r^{n-1} $ $$\begin{align*} u_{6} &= a r^{6-1} \\&= 3 . 2^{5}\\&= 3\times 32= 94 \end{align*}$$
    • Menentukan suku ke-21 dengan $ U_n = a r^{n-1} $ $$\begin{align*} u_{21} &= a r^{21-1} \\&= 3 . 2^{20} \end{align*}$$ Jadi, suku ke-6 dan suku ke-21 nya adalah 94 dan $ 3\cdot2^{20} $.

  3. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    diketahui $ u_3 = 9 $ dan $ u_5 = 81 $

    Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.

    • Rumus suku ke-$n : u_n = ar^{n-1} $
      $ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 $ …. pers(i)
      $ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 $ …. pers(ii)

    • Menentukan nilai $ a $ dan $ r $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii) $$ \begin{align*}\frac{U_5}{U_3}&=\frac{81}{9}\\ \frac{ar^4}{ar^2}&=\frac{81}{9}\\ r^2&=9\\ r&=\pm 3 \end{align*} $$ Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 $ yang memenuhi.

      substitusi r=3 ke Pers(ii) :
      $$\begin{align*}a r^2 = 9 \\ \rightarrow a 3^2 = 9 \\ \rightarrow a = \frac{9}{9} = 1 \end{align*}$$

    • Menentukan suku ke-2 $$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $$

    Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.

Logika Praktis Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan: $$r=\sqrt[p-q]{\frac{U_p}{U_q}}$$

Contoh Jika diketahui $𝑈_3 = 16$ dan $𝑈_7 = 256$, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut!

Langkah logika praktis:

Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2. $$\begin{align*} r&=\sqrt[p-q]{\frac{U_p}{U_q}} \\ &=\sqrt[7-3]{\frac{256}{16}} \\ &=\sqrt[4]{16} \\ &=2 \end{align*}$$ Jadi suku ke-9 adalah $$\begin{align*} U_9&=U_7\times r^2\\ &=256\times 2^2\\ &=256\times 4\\ &=1024 \end{align*}$$

Apa Itu Deret Geometri?

Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam sebuah barisan geometri. Penjumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ S_n $ yang artinya jumlah $ n $ suku pertama.

Jika kita memiliki barisan geometri dengan suku pertama ($a$), rasio geometri ($r$), maka:

$ S_1 = U_1 $ (jumlah 1 suku pertama)

$ S_2 = U_1 + U_2 $ (jumlah 2 suku pertama)

$ S_3 = U_1 + U_2 + U_3 $ (jumlah 3 suku pertama)

$ S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 $ (jumlah 4 suku pertama)

dan seterusnya.

$S_n=U_1 +U_2+U_3+U_4+\cdots +U_n$ (jumlah n suku pertama)

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

Rumus Deret Geometri n Suku petama

Jumlah $ n $ suku pertama : $$ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \text{ untuk } |r| > 1 \\ s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \text{ untuk } |r| < 1 $$

Di mana:

$S_n$ adalah jumlah dari deret geometri $a$ adalah suku pertama $r$ adalah rasio geometri $n$ adalah jumlah suku dalam deret

Contoh Soal Deret Geometri

  1. Rasio dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh rasionya yaitu: $$\begin{align*} r &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{4}}{U_{3}} = \dfrac{2}{\frac{4}{3}} \\ &= 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \end{align*}$$

    Jadi, rasionya adalah $\dfrac{3}{2}$

  2. Diketahui $9,\ 3,\ 1,\ \dfrac{1}{3},\ \cdots$ Suku ke-$7$ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh: $$\begin{align*} r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \dfrac{1}{3} \\ \hline U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{7}\ &= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{7-1} \\ &= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} = 9 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\ &= \dfrac{9}{3^{6}} = \dfrac{1}{3^{4}} = \dfrac{1}{81} \end{align*}$$

  3. Diketahui $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ Suku ke-$12$ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ dapat kita peroleh: $$\begin{align*} r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{3^{6}}{3^{4}}=3^{6-4}=3^{2} \\ \hline U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{12}\ &= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{12-1} \\ &= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{11} \\ &= 3^{4} \cdot 3^{22} = 3^{26} \end{align*}$$

Demikian pembahasan tentang barisan dan deret geometri, selanjutnya kita akan belajar deret geometri tak hingga