Pahami barisan dan deret geometri: konsep, rumus, dan contoh. Artikel ini menjelaskan secara lengkap dengan contoh praktis

Barisan dan deret geometri adalah konsep dasar dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk ilmu ekonomi, fisika, dan teknik. Setelah sebelumnya kita belajar barisan dan deret aritmatika↝ , kali ini kita lanjutkan dengan barisan dan deret geometri. Kali ini kita akan membahas secara lengkap mengenai apa itu barisan dan deret geometri, rumus-rumus yang terkait, serta memberikan beberapa contoh untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.

Apa Itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah rangkaian bilangan atau suku-suku yang dibentuk sedemikian rupa sehingga setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio yang disimbolkan dengan huruf ($r$).

Misal barisannya adalah $$ U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6, U_7, …. $$ Cara menghitung rasio ($r$) adalah $$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}}$$

Contoh
$2, 4, 8, 16, 32,…$ (Barisan Geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}…$ (Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)

Rumus Suku Ke- Barisan Geometri

Jika suku pertama = $a$ dan rasio = $r$, maka secara umum barisan Geometri tersebut adalah: $$\begin{matrix}U_1, & U_2, & U_3, & U_4, & & U_n \\ a, & ar, & ar^2, & ar^3, & \cdots, &ar^{n-1} \end{matrix} $$

Jadi rumus suku ke-n barisan Geometri adalah $$U_n=ar^{n-1}$$ Dengan :

  • $U_n$ adalah suku ke-n
  • $a$ adalah suku pertama
  • $r$ adalah rasio geometri
  • $n$ adalah indeks suku ke-n

untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n $ ini bisa dibaca “arni”

Contoh barisan Geometri

  1. Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?

    • a. 1, 2, 4, 8, …..
    • b. $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ….
    • c. 1, 2, 6, 8, 16, ….
    • d. 3, 4, 8, 2, 12, ….
    • e. 16, 8, 4, 2, 1, ….

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Barisan bilangan disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.

    • a. $\underbrace{1, 2}_{\times 2} \underbrace{, 4 }_{\times 2} \underbrace{, 8 }_{\times 2} , \cdots $
      barisan diatas rasionya/ perbandingan $r=\frac21=\frac42=2$ sama, sehingga termasuk barisan geometri

    • b. $ \underbrace{\frac{1}{3}, 1}_{\times 3} \underbrace{, 3 }_{\times 3} \underbrace{, 9 }_{\times 3} \underbrace{, 27 }_{\times 3} , …. $
      Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.

    • c. $ \underbrace{1, 2}_{\times 2} \underbrace{, 6 }_{\times 3} \underbrace{, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, 16 }_{\times 2} , …. $
      Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.

    • d. $ \underbrace{3, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, 8 }_{\times 2} \underbrace{, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, 12 }_{\times 6} , …. $
      Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.

    • e. $ \underbrace{16, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , …. $
      Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$.

      Cara mencari rasionya :
      $ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ dan seterusnya.

  2. Tentukan suku ke-6 dan suku ke 21 dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, ….?

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • dari barisannya diperoleh
      $ a = 1 $ dan
      $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $
    • Menentukan suku ke-6 dengan $ U_n = a r^{n-1} $ $$\begin{align*} u_{6} &= a r^{6-1} \\&= 3 . 2^{5}\\&= 3\times 32= 94 \end{align*}$$
    • Menentukan suku ke-21 dengan $ U_n = a r^{n-1} $ $$\begin{align*} u_{21} &= a r^{21-1} \\&= 3 . 2^{20} \end{align*}$$ Jadi, suku ke-6 dan suku ke-21 nya adalah 94 dan $ 3\cdot2^{20} $.

  3. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    diketahui $ u_3 = 9 $ dan $ u_5 = 81 $

    Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.

    • Rumus suku ke-$n : u_n = ar^{n-1} $
      $ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 $ …. pers(i)
      $ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 $ …. pers(ii)

    • Menentukan nilai $ a $ dan $ r $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii) $$ \begin{align*}\frac{U_5}{U_3}&=\frac{81}{9}\\ \frac{ar^4}{ar^2}&=\frac{81}{9}\\ r^2&=9\\ r&=\pm 3 \end{align*} $$ Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 $ yang memenuhi.

      substitusi r=3 ke Pers(ii) :
      $$\begin{align*}a r^2 = 9 \\ \rightarrow a 3^2 = 9 \\ \rightarrow a = \frac{9}{9} = 1 \end{align*}$$

    • Menentukan suku ke-2 $$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $$

    Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.

Logika Praktis Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan: $$r=\sqrt[p-q]{\frac{U_p}{U_q}}$$

Contoh Jika diketahui $𝑈_3 = 16$ dan $𝑈_7 = 256$, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut!

Langkah logika praktis:

Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2. $$\begin{align*} r&=\sqrt[p-q]{\frac{U_p}{U_q}} \\ &=\sqrt[7-3]{\frac{256}{16}} \\ &=\sqrt[4]{16} \\ &=2 \end{align*}$$ Jadi suku ke-9 adalah $$\begin{align*} U_9&=U_7\times r^2\\ &=256\times 2^2\\ &=256\times 4\\ &=1024 \end{align*}$$

Apa Itu Deret Geometri?

Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam sebuah barisan geometri. Penjumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ S_n $ yang artinya jumlah $ n $ suku pertama.

Jika kita memiliki barisan geometri dengan suku pertama ($a$), rasio geometri ($r$), maka:

$ S_1 = U_1 $ (jumlah 1 suku pertama)

$ S_2 = U_1 + U_2 $ (jumlah 2 suku pertama)

$ S_3 = U_1 + U_2 + U_3 $ (jumlah 3 suku pertama)

$ S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 $ (jumlah 4 suku pertama)

dan seterusnya.

$S_n=U_1 +U_2+U_3+U_4+\cdots +U_n$ (jumlah n suku pertama)

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

Rumus Deret Geometri n Suku petama

Jumlah $ n $ suku pertama : $$ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \text{ untuk } |r| > 1 \\ s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \text{ untuk } |r| < 1 $$

Di mana:

$S_n$ adalah jumlah dari deret geometri $a$ adalah suku pertama $r$ adalah rasio geometri $n$ adalah jumlah suku dalam deret

Contoh Soal Deret Geometri

  1. Rasio dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh rasionya yaitu: $$\begin{align*} r &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{4}}{U_{3}} = \dfrac{2}{\frac{4}{3}} \\ &= 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \end{align*}$$

    Jadi, rasionya adalah $\dfrac{3}{2}$

  2. Diketahui $9,\ 3,\ 1,\ \dfrac{1}{3},\ \cdots$ Suku ke-$7$ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh: $$\begin{align*} r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \dfrac{1}{3} \\ \hline U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{7}\ &= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{7-1} \\ &= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} = 9 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\ &= \dfrac{9}{3^{6}} = \dfrac{1}{3^{4}} = \dfrac{1}{81} \end{align*}$$

  3. Diketahui $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ Suku ke-$12$ adalah…

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Dari barisan $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ dapat kita peroleh: $$\begin{align*} r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{3^{6}}{3^{4}}=3^{6-4}=3^{2} \\ \hline U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{12}\ &= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{12-1} \\ &= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{11} \\ &= 3^{4} \cdot 3^{22} = 3^{26} \end{align*}$$

Demikian pembahasan tentang barisan dan deret geometri, selanjutnya kita akan belajar deret geometri tak hingga