Trigonometri mengkaji hubungan antara sisi dan sudut dalam suatu segitiga dan sifat-sifat serta aplikasinya dalam berbagai bidang seperti penaksiran tinggi bangunan atau pohon, jarak mendatar puncak gunung terhadap lembahnya, dan sebagainya. Kali ini kita akan membahas tentang perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa. Agar lebih mudah memahami ini baca terlebih dahulu Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku↝ .

Sudut istimewa adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator.

Sudut-sudut yang dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ,$ dan $90^\circ$.

Bagaimana cara menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut? Berikut penjelasananya…

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I

Kita mulai dari segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 2 satuan. Karena segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya juga sama yaitu 60°. Segitiga Sama kaki Trigonometri Misalkan CD adalah garis tinggi sekaligus garis bagi segitiga ABC maka garis CD dapat kita cari dengan menggunakan teorema pythagoras. $$\begin{align*}CD&=\sqrt{BC^2-DB^2}\\&=\sqrt{2^2-1^2}\\&=\sqrt{4-1}\\CD&=\sqrt{3}\end{align*}$$

Dengan demikian, Kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30° dan 60°. Perhatikan segitiga BCD dan ingat sindemi cossami tandesa... Segitiga Sudut Istimewa Trigonometri

Trigonometri Sudut 30°

Nilai perbandingan trigonometri sudut 30° sebagai berikut: $$\begin{align*}\sin 30^\circ&=\frac{de}{mi}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}\\\cos 30^\circ&=\frac{sa}{mi}=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\tan 30^\circ&=\frac{de}{sa}=\frac{BD}{CD}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{align*}$$

Trigonometri Sudut 60°

Nilai perbandingan trigonometri sudut 60° sebagai berikut: $$\begin{align*}\sin 60^\circ&=\frac{de}{mi}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}\\\cos 60^\circ&=\frac{sa}{mi}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\tan 60^\circ&=\frac{de}{sa}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{align*}$$

Trigonometri Sudut 45°

Perhatikan segitiga ABC dibawah ini. Segitiga Sudut Istimewa Trigonometri 45

Nilai perbandingan trigonometri sudut 45° sebagai berikut: $$\begin{align*}\sin 45^\circ&=\frac{de}{mi}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac12 \sqrt2\\\cos 45^\circ&=\frac{sa}{mi}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac12 \sqrt2\\\tan 45^\circ&=\frac{de}{sa}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{1}=1\end{align*}$$

Secara lengkap dan ringkasan dari tulisan diatas, nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa di kuadran I adalah sebagai berikut: Sudut Istimewa Trigonometri

Tabel Nilai Trigonometri

$\theta$$\sin\theta$$\cos\theta$$\tan\theta$
$0^\circ$010
$30^\circ$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{1}{2}\sqrt3$$\dfrac{1}{3}\sqrt3$
$45^\circ$$\dfrac{1}{2}\sqrt2$$\dfrac{1}{2}\sqrt2$1
$60^\circ$$\dfrac{1}{2}\sqrt3$$\dfrac{1}{2}$$\sqrt3$
$90^\circ$10-

Contoh Soal

  1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 10 cm, dan $\angle A = 30^\circ$. Hitunglah panjang AB dan BC.

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:
    $\triangle ABC$ siku-siku di B
    $\angle A=30^\circ$
    $AC=10$ cm

    • Gambar $\triangle ABC$ Soal Sudut Istimewa Trigonometri
    • cari panjang AB
      untuk mencari panjang AB kita dapat membandingkannya menggunakan perbandingan trigonometri. AB merupakan sisi samping sehingga kita bisa menggunakan cosinus
      $$\begin{align*} \cos A&=\frac{sa}{mi}\\ \cos 30^\circ&=\frac{AB}{AC}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}&=\frac{AB}{10}\\ AB&=\frac{10\times \sqrt3}{2}\\ AB&=5\sqrt3\end{align*}$$
    • cari panjang BC gunakan sinus
      $$\begin{align*} \sin A&=\frac{de}{mi}\\ \sin 30^\circ&=\frac{BC}{AC}\\ \frac12&=\frac{BC}{10}\\ BC&=\frac{10\times 1}{2}\\ BC&=5\end{align*}$$

    Jadi, panjang $AB=5\sqrt3$ cm dan $BC=5$

  2. Hitunglah nilai 𝑥 pada gambar berikut ini. Soal 2 Sudut Istimewa Trigonometri

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    untuk menentukan nilai x kita terlebih dahulu menentukan nilai y

    • menentukan nilai y $$\begin{align*}\sin 30^\circ&=\frac{y}{10}\\ \frac{1}{2}&=\frac{y}{10}\\ y&=\frac{10\times 1}{2}\\ y&=5 \end{align*}$$
    • menentukan nilai x $$\begin{align*}\tan 60^\circ&=\frac{y}{x}\\ \frac{\sqrt{3}}{1}&=\frac{5}{x}\\ x&=\frac{5\times 1}{\sqrt{3}}\\ x&=\frac{5}{3}\sqrt{3} \end{align*}$$

    Jadi, nilai x adalah $\frac{5}{3}\sqrt{3}$.

Penerapan Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari

Banyak sekali penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. Perbandingan trigonometri dapat digunakan untuk memecahkan masalah kontekstual yang berhubungan dengan sudut pengamatan, bidang navigasi, astronomi, teknik sipil, mengukur tinggi suatu benda, atau untuk menentukan jarak ke suatu obyek.

Beberapa keterampilan yang perlu kalian miliki untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah adalah:

  1. Memahami soal
    Pahami soal atau masalah yang diberikan
  2. Memilih pendekatan atau strategi pemecahan
    Setelah memahami soal, pilih rumus/metode utuk penyelesaian
  3. Menyelesaikan model
    Setelah memilih strategi penyelesaian, lakukan operasi hitung atau operasi aljabar secara benar untuk mendapatkan solusi dari permasalahan yang diberikan
  4. Menafsirkan solusi
    Setelah solusi atau penyelesaian dari model matematika diperoleh, selanjutnya periksalah kelayakan atau kebenaran jawaban atau masuk akalnya jawaban

Untuk lebih memahami perhatikan contoh berikut:

Contoh Soal

Sebuah Menara berjarak 150 meter dari Andi yang tingginya 150 cm. Apabila puncak menara tersebut dilihat Andi dengan menggunakan klinometer didapat sudut elevasi (sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah atas) $30^\circ$, tentukanlah tinggi menara tersebut.

Alternatif Penyelesaian ✍️

  • memahami masalah Diketahui :
    Sudut elevasi = $30^\circ$
    Jarak Andi dengan Menara = 150 meter
    Jarak mata Andi dengan tanah = 150 cm
    Dicari: tinggi pohon

    Sketsa posisi Andi dengan menara: Soal 3 Sudut Istimewa Trigonometri

  • Memilih pendekatan atau strategi pemecahan
    Konsep yang relevan dari soal di atas adalah perbandingan trigonometri. Misalkan AB jarak menara dengan Andi, dan BC tinggi menara dikurangi tinggi Andi. $$\tan A=\frac{de}{sa}=\frac{BC}{AB}$$

  • Menyelesaikan model (mencari panjang BC) $$\begin{align*} \tan A&=\frac{BC}{AB}\\ \tan 30^\circ&=\frac{BC}{150}\\\frac{\sqrt{3}}{3}&=\frac{BC}{150}\\ BC&=\frac{150\times \sqrt{3}}{3}\\ BC&=50\sqrt{3}\end{align*}$$

  • Menafsirkan solusi
    $$\begin{align*}\text{Tinggi menara} &= BC + \text{tinggi Andi}\\ &= 50\sqrt{3} + 1,5 \\ & \approx 86,602 + 1,5 \\ &\approx 88,102\end{align*}$$ Jadi, tinggi menara adalah $(50\sqrt{3} + 1,5)$ m atau sekitar 88,102 m.

Demikian artikel tentang Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa↝ semoga bermanfaat.