Setelah sebelumnya belajar persamaan logaritma sederhana, kita lanjutkan pembahasantentang persamaan logaritma lanjut. Beberapabentuk yang akan kita bahas pada artikel ini.

Untuk $ a, b \in R , a > 0 , b > 0 , $ dan $ a \neq 1 , $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :

  1. $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , $ maka $ f(x) = g(x) $
    dengan syarat : $ f(x) > 0, g(x) > 0 , h(x) > 0, $ dan $ h(x) \neq 1 $
  2. $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , $ maka $ f(x) = g(x) $
    dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $
  3. $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , $ maka semua yang memenuhi
    1. $ f(x) = g(x) $
    2. $ h(x) = 1 $
      dengan syarat : $ h(x) > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $
  4. Bentuk $A[^a\log x ]^2 + B[ ^a \log x ] + C = 0 $
    Solusinya dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $^a\log x = P.$

Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

1. Bentuk $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x)$

Contoh 1

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{3x-5} \log (2x+1) = {}^{3x-5} \log (x+3) $ ?

Penyelesaian :
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) $
Diketahui $h(x) = 3x-5, f(x) = 2x+1 $ dan $ g(x) = x+3 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, h(x) \neq 1 $

$$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2x+1 &= x+3 \\ 2x - x &= 3-1 \\ x &= 2 \end{align*}$$

Cek syarat untuk $ x = 2 $
$ x = 2 \rightarrow h(x) = 3x-5 \rightarrow h(2) = 3.2 - 5 = 1 > 0 $
Karena untuk $ x = 2 , $ diperoleh nilai $ h(x) = 1 , $ sementara syaratnya haruslah $ h(x) \neq 1 , $ ini artinya $ x = 2 $ tidak memenuhi syarat.
Sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut (tidak ada solusi atau jawabannya himpunan kosong).
Catatan : Nilai $ x $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada, jika salah satu saja ada syarat yang tidak terpenuhi, maka bisa dikatakan nilai $ x $ tersebut gagal menjadi solusi persamaan logaritmanya.
Jadi, tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

2. Bentuk $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b$

Contoh 2

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{x^2 + 6x} \log (\frac{1}{3}) = {}^{2x+5} \log (\frac{1}{3}) $ ?

Penyelesaian :
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b $
Diketahui: $ f(x) = x^2 + 6x $ dan $ g(x) = 2x+5 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0, f(x) \neq 1 $
Solusi $$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2 + 6x &= 2x+5 \\ x^2 + 4x - 5 &= 0 \\ (x-1)(x+5) &= 0 \\ x = 1 \vee x &= -5 \end{align*}$$

Cek syarat untuk $ x = 1 $ dan $ x = -5 $

  • Untuk $ x = 1 $
    $ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(1) = 1^2 + 6.1 = 7 > 0 $
    $ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.1+5 = 7 > 0 $
    nilai $ x = 1 $ memenuhi syarat.
  • Untuk $ x = -5 $
    $ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(-5) = (-5)^2 + 6.(-5) = -5 < 0 $
    $ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.(-5)+5 = -5 < 0 $
    nilai $ x = -5 $ tidak memenuhi syarat.

Sehingga yang memenuhi syarat adalah $ x = 1 $ .
Jadi, nilai $ x = 1 $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

3. Bentuk $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x)$

Contoh 3

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{2x^2-3x+1} \log (2x-1) = {}^{x^2+2x-5} \log (2x-1) $ ?

Penyelesaian : Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) $
Diketahui: $h(x) = 2x-1, f(x) = 2x^2-3x+1 $ dan $ g(x) = x^2+2x-5 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan $ h(x) = 1 , $
dengan syarat $ h(x) > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $

  • Solusi pertama :
    $$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2x^2-3x+1 &= x^2+2x-5 \\ x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 \vee x &= 3 \end{align*}$$ Cek untuk nilai $ x = 2 $ dan $ x = 3 $
    untuk $ x = 2 $
    $ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(2) = 2.2 - 1 = 3 $ (memenuhi)
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(2) = 2.2^2-3.2+1 = 3 $ (memenuhi)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 2^2+2.2-5 = 3 $ (memenuhi)
    untuk $ x = 3 $
    $ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(3) = 2.3 - 1 = 5 $ (memenuhi)
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(3) = 2.3^2-3.3+1 = 10 $ (memenuhi)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 3^2+2.3-5 = 10 $ (memenuhi)
    Artinya untuk nilai $ x = 2 $ dan $ x = 3 $ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaannya.
  • Solusi kedua : $ h(x) = 1 $
    $$\begin{align*} h(x) &= 1 \\ 2x-1 &= 1 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{align*}$$ Cek untuk nilai $ x = 1 $
    untuk $ x = 2 $
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(1) = 2.1^2-3.1+1 = 1 $ (TM)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(1) = 1^2+2.1-5 = -2 $ (TM)
    Artinya nilai $ x = 1 $ tidak memenuhi syarat atau nilai $ x = 1 $ tidak sebagai solusi dari persamaan.
    Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 2 $ dan $ x = 3 . \heartsuit $

4. Bentuk $A[^a\log x ]^2 + B[ ^a \log x ] + C = 0 $

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
$^3 \log^2 x –^3 \log x^5 + 4 = 0 $

Penyelesaian :
$$\begin{align*} ^3 \log^2 x – ^3 \log x^5 + 4 = 0 \\ (^3\log x)^2 – 5. (^3\log x) + 4 = 0 \\ \text{Misalkan} ^3\log x=P \text{ maka} \\ P^2-5P+4=0 \\ (P-4)(P-1)=0 \end{align*}$$

$$ P=4 \text{ atau } P=1 \\ {}^3\log x=4 \text{ atau } ^3\log x=1 \\ x=3^4 \text{ atau } x=3^1\\ x=81 \text{ atau } x=1 $$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 81 }