Kali ini akan di membahas Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri yaitu Tangen beserta bukti dan contoh soalnya. Untuk tangen kita hanya perlu hapal atau memahami rumus-rumus sebelumnya saja. Materi ini adalah bagian lanjutan dari materi sebelumnya tentang Rumus Jumlah Dan Selisih sudut pada Sinus↝ .
3. Rumus untuk $\tan(\alpha+\beta)$ dan $\tan(\alpha-\beta)$
Rumus Jumlah dan Selisih dua sudut untuk tangen
$$ \begin{align*} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } \\ \tan ( \alpha - \beta ) & = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } \end{align*}$$
Untuk membuktikan rumus $\tan(\alpha+\beta)$ dan $\tan(\alpha-\beta)$ diatas kita gunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut $cos(\alpha+\beta)$ dan $cos(\alpha+\beta)$. Selain itu, kita juga menggunakan rumus identitas trigonometri $\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos B}$.
Bukti rumus $ \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } $
$$\begin{align*} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{\cos ( \alpha + \beta )} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} . \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{ \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{ \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}}{1 - \frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}} \\ \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } \end{align*} $$
Terbukti bahwa $ \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } $
Bukti rumus $ \tan ( \alpha - \beta ) = \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } $
Untuk membuktikannya kita gunakan sudut berelasi di kuadran IV atau sudut negatif. Ingat bahwa $\tan (-A)=-\tan A$. $$\begin{align*} \tan ( \alpha - \beta ) & = \tan ( \alpha + (- \beta )) \\ & = \frac{ \tan \alpha + \tan (-\beta )}{1 - \tan \alpha \tan (-\beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 - \tan \alpha . (- \tan \beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } \end{align*} $$
Contoh Soal Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
1). Tanpa menggunakan kalkulator dan tabel trigonometri. Tentukan nilai dari $\tan 75^\circ$!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $\tan (a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1-\tan a. \tan b}$.
$$\begin{align*} \tan 75^\circ & = \tan ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - \frac{1}{3} \sqrt{3} } \times \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \times \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 + 6\sqrt{3} + 3 }{9 - 3 }\\& = \frac{ 12 + 6\sqrt{3} }{6 }\\ \tan 75^\circ & = 2 + \sqrt{3} \end{align*} $$
Jadi, nilai dari $\tan 75^\circ= 2+\sqrt{3}$.
2). Tentukan nilai dari $\tan 255^\circ$
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $\tan (a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a. \tan b}$.
$$\begin{align*} \tan 255^\circ &= \tan(300^\circ-45^\circ)\\ &= \frac{\tan 300^\circ - \tan 45^\circ}{1+\tan 300^\circ \tan 45^\circ}\\ &= \frac{-\tan 60^\circ - \tan 45^\circ}{1-\tan 60^\circ \tan 45^\circ}\\ &= \frac{-\sqrt{3} - 1}{1-\sqrt{3} \cdot 1}\\ &= \frac{-\sqrt{3}-1}{-\sqrt{3}+1}\times \frac{-1}{-1}\\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}\\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{2}\\ &= 2+\sqrt{3} \end{align*} $$
Jadi, nilai dari $\tan 255^\circ= 2+\sqrt{3}$.
3). Diketahui Diketahui $\sin p =\dfrac35$ dan $\cos q = \dfrac{12}{13}$ ($p$ di kuadran I dan $q$ di kuadran IV). Tentukan nilai dari $\tan(p+q)$!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $\tan (a+b) = \dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a. \tan b}$.
sin $p$ dan cos $q$ telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan $\tan p$ dan $\tan q$ terlebih dahulu dengan menggambar segitiga saja.
Ingat perbandingan trigonometri
$\sin p =\dfrac{depan}{miring}=\dfrac{de}{mi}$
$\cos p =\dfrac{samping}{miring}=\dfrac{sa}{mi}$
$\tan p =\dfrac{depan}{samping}=\dfrac{de}{sa}$
Untuk $\sin p =\dfrac35=\dfrac{de}{mi}$ maka depan 3 miring 5 dan nilai $\tan p$ positif karena di kuadran I.
Untuk $\cos p =\dfrac{12}{13}=\dfrac{sa}{mi}$ maka depan 3 miring 5 dan nilai $\tan q$ negatif karena di kuadran IV.
Lihat gambar!
*) cari nilai $\tan p$ namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut $p$ dengan pythagoras.
$$sa=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$ Sehingga nilai dari $\tan p=\dfrac{de}{sa}=\dfrac{3}{4}$.
*) cari nilai $\tan q$ namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut $q$ dengan pythagoras.
$$de=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$$ Sehingga nilai dari $\tan q=-\dfrac{de}{sa}=-\dfrac{5}{12}$ (negatif karena di kuadran IV).
*) cari nilai $\tan (p+q)$.
$$\begin{align*} \tan (p+q) &= \frac{\tan p+\tan q}{1-\tan p. \tan q}\\ &=\frac{\frac{3}{4}+\left(-\frac{5}{12}\right)}{1-\frac{3}{4}.\left(-\frac{5}{12}\right)}\\ &=\frac{\frac{3}{4}-\frac{5}{12}}{1+\frac{15}{48}}\\ &=\frac{\frac{36}{48}-\frac{20}{48}}{\frac{48}{48}+\frac{15}{48}}\\ &=\frac{\frac{16}{48}}{\frac{63}{48}}\\ &=\frac{16}{63} \end{align*}$$ Jadi, nilai dari $\tan(p+q)=\dfrac{16}{63}$