Kali ini akan di bahas Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri beserta bukti dan contoh soalnya

Daftar Isi

Trigonometri adalah materi Matematika yang selalu ada di setiap tingkat kelas jenjang SMA baik kelas X, XI, atau XII. Pada kelas X ada perbandingan, fungsi, dan identitas trigonometri. Di Kelas XI ada Persamaan Trigonometri dan Rumus Jumlah dan Selisih dua sudut. Sedangkan di kelas XII ketemu trigonometri ketika menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi trigonometri.

Kali ini, kita akan sama-sama belajar tentang Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Pada Trigonometri. Ini merupakan materi trigonometri lanjutan. Materi ini digunakan untuk menghitung nilai sudut trigonometri yang tidak istimewa. Misalkan sin⁡75∘\sin 75^\circ, dapat kita tuliskan dengan penjumlahan sudut istimewa sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)\sin 75^\circ=\sin (45^\circ+30^\circ). Misalkan lagi cos⁡15∘\cos 15^\circ, dapat kita tuliskan dengan pengurangan atau selisih sudut istimewa cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)\cos 15^\circ=\cos (45^\circ-30^\circ).

Untuk memudahkan pemahaman tentang materi ini, tentu harus paham dulu tentang pelajaran trigonometri di kelas X yang mempelajari tentang konsep dasar perbandingan trigonometri↝ . Nahhh materi tersebut jangan dilupakan yaaa, sebab materi tersebut merupakan salah satu prasyarat untuk memahami modul ini. Yuk ah gak usah takut dan tidak bisa dengan trigonometri, kita belajar bertahap dan yakin pasti bisa…

1. Rumus untuk cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) dan cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)

Pembuktian rumus cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta

Mari kita buktikan kedua rumus tersebut. Ada 2 cara untuk membuktikannya

Cara 1: Dengan lingkaran satuan, cari jarak dua titik

Perhatikan lingkaran satuan dan 3 buah juring yang masing-masing sudutnya α\alpha, β\beta, dan −β-\beta. Lingkaran satuan trigonometri Gambar di atas adalah lingkaran satuan yang berpusat di O dan berjari-jari rr. Perhatikan dua segitiga yaitu △POR\vartriangle POR dan △SOQ\vartriangle SOQ dengan ∠POR\angle POR dan ∠SOQ\angle SOQ sehingga PR=SQPR=SQ.

Dengan membuktikan PR=SQPR=SQ, maka diperoleh cos⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta Dari gambar tersebut, diperoleh
OP=OQ=OR=OS=r OP=OQ=OR=OS = r Titik koordinat kutubnya yaitu titik P(r,0) P(r, 0),
titik Q(rcos⁡α,rsin⁡α)Q(r \cos \alpha, r \sin \alpha ),
titik R(rcos⁡(α+β),rsin⁡(α+β))R(r \cos(\alpha + \beta ), r \sin(\alpha + \beta )) , dan titik S(rcos⁡β,−rsin⁡β) S(r \cos \beta , -r \sin \beta ) .
Mengingat

  1. Konsep jarak dua titik A(x1,y1x_1,y_1) dan B(x2,y2x_2,y_2) : AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 \begin{align*} AB &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ AB^2 &= (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \end{align*}
  2. Identitas trigonometri : sin⁡2A+cos⁡2A=1 \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1

Pembuktian rumus sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta
Mencari Jarak PR :
P(r,0) P(r, 0) dan R(rcos⁡(α+β),rsin⁡(α+β)) R (r \cos(\alpha + \beta ) , r \sin(\alpha + \beta )) dengan konsep jarak dua titik diatas PR2=[rcos⁡(α+β)−r]2+[rsin⁡(α+β)−0]2=[rcos⁡(α+β)−r]2+[rsin⁡(α+β)−0]2=r2cos⁡2(α+β)−2r2cos⁡(α+β)+r2+r2sin⁡2(α+β)=r2[cos⁡2(α+β)+sin⁡2(α+β)]−2r2cos⁡(α+β)+r2=r2[1]−2r2cos⁡(α+β)+r2PR2=2r2−2r2cos⁡(α+β) \begin{align*}PR^2 &= [r \cos(\alpha + \beta ) - r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) - 0 ]^2 \\ &= [r \cos(\alpha + \beta ) - r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) - 0 ]^2 \\ &= r^2 \cos ^2 (\alpha + \beta ) - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 + r^2 \sin ^2 (\alpha + \beta ) \\ &= r^2 [\cos ^2 (\alpha + \beta ) + \sin ^2 (\alpha + \beta ) ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 \\ &= r^2 [1 ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2\\ PR^2 &= 2r^2 - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) \end{align*} **Mencari Jarak QS :**
Q(rcos⁡β,−rsin⁡β) Q(r \cos \beta , -r \sin \beta ) dan S(rcos⁡α,rsin⁡α) S(r \cos \alpha, r \sin \alpha ) dengan konsep jarak dua titik diatas QS2=[rcos⁡α−rcos⁡β]2+[rsin⁡α−(−rsin⁡β)]2=[rcos⁡α−rcos⁡β]2+[rsin⁡α+rsin⁡β]2=(r2cos⁡2α−2r2cos⁡αcos⁡β+r2cos⁡2β)+(r2sin⁡2α+2r2sin⁡αsin⁡β+r2sin⁡2β)=r2(cos⁡2α+sin⁡2α)+r2(cos⁡2β+sin⁡2β)−2r2(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)=r2(1)+r2(1)−2r2(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)QS2=2r2−2r2(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β) \begin{align*}QS^2 &= [r \cos \alpha - r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha - ( -r \sin \beta ) ]^2 \\ &= [r \cos \alpha - r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha + r \sin \beta ]^2 \\ &= (r^2 \cos ^2 \alpha - 2r^2 \cos \alpha \cos \beta + r^2 \cos ^2 \beta ) + ( r^2 \sin ^2 \alpha + 2r^2 \sin \alpha \sin \beta + r^2 \sin ^2 \beta ) \\ &= r^2 (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha ) + r^2 ( \cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ &= r^2 (1 ) + r^2 ( 1 ) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ QS^2 &= 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \end{align*} **Panjang PR sama dengan panjang QS** PR=QSPR2=QS22r2−2r2cos⁡(α+β)=2r2−2r2(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β \begin{align*}PR &= QS \\PR^2 &= QS^2 \\2r^2 - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) &= 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ \cos(\alpha + \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align*} Sehingga Terbukti : cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β \cos(\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Pembuktian rumus cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \cos(\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Rumus cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) dapat diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif yaitu cos⁡(α+(−β))\cos(\alpha+(-\beta))
Konsep sudut negatif : sin⁡(−A)=−sin⁡A \sin (-A) = - \sin A dan cos⁡(−A)=cos⁡A \cos ( -A) = \cos A
cos⁡(α−β)=cos⁡(α+(−β))=cos⁡αcos⁡(−β)−sin⁡αsin⁡(−β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡α.(−sin⁡β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \begin{align*} \cos(\alpha - \beta ) &= \cos(\alpha + (- \beta) ) \\ &= \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (- \beta ) \\ &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha . (- \sin \beta) \\ &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align*} Sehingga terbukti : cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \cos(\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Cara 2: Menggunakan Aturan Cosinus dan Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar berikut,
Lingkaran satuan trigonometri Pada gambar, misalkan lingkaran satuan dengan jari-jari r=1r= 1 dan pusat lingkaran O. Perhatikan △SOQ\triangle SOQ, diperoleh titik koordinat kutubnya adalah titik S dan titik Q yaitu S(cos⁡β,−sin⁡β) S(\cos \beta , -\sin \beta) dan Q(cos⁡α,sin⁡α) Q(\cos \alpha , \sin \alpha ) serta OS = OQ = 1.
Ingat
Identitas trigonometri : sin⁡2A+cos⁡2A=1 \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1
Selanjutnya mencari jarak titik S dan Q dengan rumus:
SQ2=(x2−x1)2+(y2−y1)2SQ2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=(cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡β+cos⁡2β)+(sin⁡2α−2sin⁡αsin⁡β+sin⁡2β)=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡b)=(1)+(1)−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)SQ2=2−2(cos⁡αcos⁡b+sin⁡asin⁡b)\begin{align*}SQ^2 &= (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \\ SQ^2 &= (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 \\ &= (\cos ^2 \alpha - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos ^2 \beta) + (\sin ^2 \alpha - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin ^2 \beta) \\ &= ( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) + (\sin ^2 \beta + \cos ^2 \beta ) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin b) \\ &= (1) + (1 ) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\ SQ^2 &= 2 - 2(\cos \alpha \cos b + \sin a \sin b) \end{align*} **Aturan cosinus pada segitiga POQ**
Perhatikan △SOQ\triangle SOQ berlaku aturan cosinus SQ2=OS2+OQ2−2.OS.OQ.cos⁡(α−β)SQ^2 = OS^2 + OQ^2 - 2.OS.OQ .\cos (\alpha-\beta) selanjutnya substitusi SQ2=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β) SQ^2 = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) SQ2=OS2+OQ2−2.OS.OQ.cos⁡(α−β)SQ2=12+12−2.1.1.cos⁡(α−β)2−2cos⁡(α−β)=SQ2(substitusi SQ2)2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \begin{align*} SQ^2 &= OS^2 + OQ^2 - 2.OS.OQ .\cos (\alpha-\beta)\\ SQ^2 &= 1^2 + 1^2 - 2.1.1 . \cos (\alpha-\beta) \\ 2 - 2 \cos (\alpha-\beta) &= SQ^2 \\ & \text{(substitusi } SQ^2 ) \\ 2 - 2 \cos (\alpha-\beta) &= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\\ \cos (\alpha-\beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align*}
sehingga terbukti : cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Cosinus

1). Tentukan nilai dari cos⁡15∘\cos 15^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b. cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=122.123+122.12=146+142=14(6+2)=142(123+1)\begin{align*} \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ - 30^\circ) \\ & = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}+ \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} +\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 1) \end{align*} Jadi, nilai dari cos⁡105∘\cos 105^\circ adalah 142(123+1)\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 1).

2). Tentukan nilai dari cos⁡105∘\cos 105^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b. cos⁡105∘=cos⁡(60∘+45∘)=cos⁡60∘cos⁡45∘−sin⁡60∘sin⁡45∘=12.122−123.122=142−146=14(2−6)=142(1−123)\begin{align*} \cos 105^\circ & = \cos (60^\circ + 45^\circ) \\ & = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2}- \frac{1}{4}\sqrt{6} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{2} -\sqrt{6}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (1-\frac{1}{2}\sqrt{3}) \end{align*}

3). Tentukan nilai dari cos⁡88∘cos⁡58∘+sin⁡88∘sin⁡58∘\cos 88^\circ \cos 58^\circ + \sin 88^\circ \sin 58^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b) \cos a \cos b + \sin a \sin b=\cos (a-b). cos⁡88∘cos⁡58∘+sin⁡88∘sin⁡58∘=cos⁡(88∘−58∘)=cos⁡30∘=123\begin{align*} \cos 88^\circ \cos 58^\circ + \sin 88^\circ \sin 58^\circ & = \cos (88^\circ-58^\circ)\\ &= \cos 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{3}\end{align*} jadi, nilai dari cos⁡88∘cos⁡58∘+sin⁡88∘sin⁡58∘\cos 88^\circ \cos 58^\circ + \sin 88^\circ \sin 58^\circ adalah 123\frac{1}{2}\sqrt{3}

4). Diketahui Diketahui cos⁡x=35\cos x =\dfrac35 dan cos⁡y=1213\cos y = \dfrac{12}{13} (xx dan yy sudut lancip). Tentukan nilai dari cos⁡(x−y)\cos(x-y)!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y \cos (x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y.
cos xx dan cos yy telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan sin⁡x\sin x dan sin⁡y\sin y terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2x=1 atau bisa juga dengan menggambar segitiga.
Dari Identitas sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2x=1,

-) maka sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x=1-\cos^2x. sin⁡2x=1−cos⁡2xsin⁡x=+1−cos⁡2x … x lancip, maka sin⁡x positif=+1−(35)2=+1−925=2525−925=1625sin⁡x=45\begin{align*}\sin^2 x&=1-\cos^2x\\ \sin x&=+\sqrt{1-\cos^2x} \text{ … }x \text { lancip, maka } \sin x \text{ positif}\\ &=+\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}\\ &=+\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\ &=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}\\ \sin x&=\frac{4}{5}\end{align*}

-) selanjutnya sin⁡2y=1−cos⁡2y\sin^2 y=1-\cos^2y. sin⁡2y=1−cos⁡2ysin⁡y=+1−cos⁡2y … y lancip, maka sin⁡y positif=+1−(1213)2=+1−144169=169169−144169=25169sin⁡x=513\begin{align*}\sin^2 y&=1-\cos^2y\\ \sin y&=+\sqrt{1-\cos^2y} \text{ … }y \text { lancip, maka } \sin y \text{ positif}\\ &=+\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\\ &=+\sqrt{1-\frac{144}{169}}\\ &=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}\\ \sin x&=\frac{5}{13}\end{align*}

-) mengitung nilai cos⁡(x−y)\cos (x-y) cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=(35)(1213)+(45)(513)=3665+2065=5665\begin{align*} \cos (x-y)&=\cos x \cos y + \sin x \sin y \\ &=\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) \\ &=\frac{36}{65} + \frac{20}{65} \\ &=\frac{56}{65} \end{align*} Jadi, nilai dari cos⁡(x−y)=5665\cos(x-y)=\dfrac{56}{65}

2. Rumus untuk sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) dan sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta)

Untuk membuktikan rumus sin(α+β)sin(\alpha+\beta) dan sin(α−β)sin(\alpha-\beta)diatas kita cukup menggunakan sifat relasi sudut di kuadran I dari pembuktian cos(α+β)cos(\alpha+\beta) diatas. Sebenarnya ada cara lain yaitu dengan menggunakan luas segitiga. Namun, kali ini kita gunakan relasi sudut di kuadran I saja.

Ingat relasi sudut sin⁡A=cos⁡(90∘−A)\sin A=\cos (90^\circ-A)

Bukti rumus sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

sin⁡(α+β)=cos⁡[90∘−(α+β)]=cos⁡[90∘−α−β]=cos⁡[(90∘−α)−β]=cos⁡(90∘−α)cos⁡β+sin⁡(90∘−α)sin⁡βsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \begin{align*} \sin ( \alpha + \beta ) &= \cos [90^\circ - ( \alpha + \beta )] \\ &= \cos [90^\circ - \alpha - \beta ] \\ &= \cos [(90^\circ - \alpha) - \beta ] \\ &= \cos (90^\circ - \alpha) \cos \beta + \sin (90^\circ - \alpha) \sin \beta \\ \sin ( \alpha + \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align*} Jadi, terbukti : sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Bukti rumus sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

sin⁡(α−β)=sin⁡(α+(−β))=sin⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡α.(−sin⁡β)sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \begin{align*} \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin ( \alpha +(-\beta))\\ &= \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta ) \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha . (- \sin \beta ) \\ \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align*} Jadi, terbukti : sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus

1). Tentukan nilai dari sin⁡15∘\sin 15^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin (a-b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=122.123+122.12=146−142=14(6−2)=142(123−1)\begin{align*} \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}- \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} -\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1) \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡15∘\sin 15^\circ adalah 142(123−1)\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1)

2). Tentukan nilai dari sin⁡75∘\sin 75^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=122.123+122.12=146+142=14(6+2)=142(123+1)\begin{align*} \sin 75^\circ & = \sin (45^\circ + 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}+ \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} +\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1) \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡75∘\sin 75^\circ adalah 142(123+1)\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1)

3). Tentukan nilai dari sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡41∘\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b=sin⁡(a+b) \sin a \cos b + \cos a \sin b=\sin (a+b). sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡56∘=sin⁡(64∘+56∘)=sin⁡120∘=sin⁡30∘=12\begin{align*} \sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 56^\circ & = \sin (64^\circ+56^\circ)\\ &= \sin 120^\circ=\sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{align*} Jadi, nilai dari nilai dari sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡41∘\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ adalah 12\dfrac{1}{2}.

4). Diketahui Diketahui sin⁡p=35\sin p =\dfrac35 dan cos⁡q=1213\cos q = \dfrac{12}{13} (pp di kuadran III dan qq sudut lancip). Tentukan nilai dari sin⁡(p+q)\sin(p+q)!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(p+q)=sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q \sin (p+q)=\sin p \cos q + \cos p \sin q.
sin pp dan cos qq telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan cos⁡p\cos p dan sin⁡q\sin q terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas sin⁡2p+cos⁡2q=1\sin^2 p+\cos^2q=1 atau bisa juga dengan menggambar segitiga.
Dari Identitas sin⁡2p+cos⁡2q=1\sin^2 p+\cos^2q=1,

*) maka cos⁡2p=1−sin⁡2q\cos^2 p=1-\sin^2q.

cos⁡2p=1−sin⁡2pcos⁡p=−1−sin⁡2p … p dikuadran III, maka cos⁡p negatif=−1−(35)2=−1−925=−2525−925=−1625cos⁡p=−45\begin{align*}\cos^2 p&=1-\sin^2p\\ \cos p&=-\sqrt{1-\sin^2p} \text{ … }p \text { dikuadran III, maka } \cos p \text{ negatif}\\ &=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}\\ &=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\ &=-\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}\\ \cos p&=-\frac{4}{5}\end{align*}

*) selanjutnya sin⁡2q=1−cos⁡2q\sin^2 q=1-\cos^2q.

sin⁡2q=1−cos⁡2qsin⁡q=+1−cos⁡2q … q lancip, maka sin⁡q positif=+1−(1213)2=+1−144169=169169−144169=25169sin⁡q=513\begin{align*}\sin^2 q&=1-\cos^2q\\ \sin q&=+\sqrt{1-\cos^2q} \text{ … }q \text { lancip, maka } \sin q \text{ positif}\\ &=+\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\\ &=+\sqrt{1-\frac{144}{169}}\\ &=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}\\ \sin q&=\frac{5}{13}\end{align*}

*) mengitung nilai sin⁡(p+q)\sin (p+q)

sin⁡(x+y)=sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q=(35)(1213)+(−45)(513)=3665−2065=1665\begin{align*} \sin (x+y)&=\sin p \cos q + \cos p \sin q \\ &=\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) \\ &=\frac{36}{65} - \frac{20}{65} \\ &=\frac{16}{65} \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡(p+q)=1665\sin(p+q)=\dfrac{16}{65}

3. Rumus untuk tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) dan tan⁡(α−β)\tan(\alpha-\beta)

Untuk membuktikan rumus tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) dan tan⁡(α−β)\tan(\alpha-\beta) diatas kita gunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut cos(α+β)cos(\alpha+\beta) dan cos(α+β)cos(\alpha+\beta). Selain itu, kita juga menggunakan rumus identitas trigonometri tan⁡A=sin⁡Acos⁡B\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos B}.

Bukti rumus tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta }

tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β.1cos⁡αcos⁡β1cos⁡αcos⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β=sin⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β=sin⁡αcos⁡α+sin⁡βcos⁡β1−sin⁡αcos⁡αsin⁡βcos⁡βtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\begin{align*} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{\cos ( \alpha + \beta )} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} . \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{ \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{ \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}}{1 - \frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}} \\ \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } \end{align*}

Terbukti bahwa tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta }

Bukti rumus tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β \tan ( \alpha - \beta ) = \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta }

Untuk membuktikannya kita gunakan sudut berelasi di kuadran IV atau sudut negatif. Ingat bahwa tan⁡(−A)=−tan⁡A\tan (-A)=-\tan A. tan⁡(α−β)=tan⁡(α+(−β))=tan⁡α+tan⁡(−β)1−tan⁡αtan⁡(−β)=tan⁡α−tan⁡β1−tan⁡α.(−tan⁡β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\begin{align*} \tan ( \alpha - \beta ) & = \tan ( \alpha + (- \beta )) \\ & = \frac{ \tan \alpha + \tan (-\beta )}{1 - \tan \alpha \tan (-\beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 - \tan \alpha . (- \tan \beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } \end{align*}

Contoh Soal Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen

1). Tanpa menggunakan kalkulator dan tabel trigonometri. Tentukan nilai dari tan⁡75∘\tan 75^\circ!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a.tan⁡b\tan (a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1-\tan a. \tan b}. tan⁡75∘=tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘=1+1331−1.133=1+1331−133×33=3+33−3=3+33−3×3+33+3=9+63+39−3=12+636tan⁡75∘=2+3\begin{align*} \tan 75^\circ & = \tan ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - \frac{1}{3} \sqrt{3} } \times \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \times \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 + 6\sqrt{3} + 3 }{9 - 3 }\\& = \frac{ 12 + 6\sqrt{3} }{6 }\\ \tan 75^\circ & = 2 + \sqrt{3} \end{align*} Jadi, nilai dari tan⁡75∘=2+3\tan 75^\circ= 2+\sqrt{3}.

2). Tentukan nilai dari tan⁡255∘\tan 255^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡a.tan⁡b\tan (a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a. \tan b}. tan⁡255∘=tan⁡(300∘−45∘)=tan⁡300∘−tan⁡45∘1+tan⁡300∘tan⁡45∘=−tan⁡60∘−tan⁡45∘1−tan⁡60∘tan⁡45∘=−3−11−3⋅1=−3−1−3+1×−1−1=3+13−1×3+13+1=3+23+13−1=4+232=2+3\begin{align*} \tan 255^\circ &= \tan(300^\circ-45^\circ)\\ &= \frac{\tan 300^\circ - \tan 45^\circ}{1+\tan 300^\circ \tan 45^\circ}\\ &= \frac{-\tan 60^\circ - \tan 45^\circ}{1-\tan 60^\circ \tan 45^\circ}\\ &= \frac{-\sqrt{3} - 1}{1-\sqrt{3} \cdot 1}\\ &= \frac{-\sqrt{3}-1}{-\sqrt{3}+1}\times \frac{-1}{-1}\\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}\\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{2}\\ &= 2+\sqrt{3} \end{align*} Jadi, nilai dari tan⁡255∘=2+3\tan 255^\circ= 2+\sqrt{3}.

3). Diketahui Diketahui sin⁡p=35\sin p =\dfrac35 dan cos⁡q=1213\cos q = \dfrac{12}{13} (pp di kuadran I dan qq di kuadran IV). Tentukan nilai dari tan⁡(p+q)\tan(p+q)!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a.tan⁡b\tan (a+b) = \dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a. \tan b}.
sin pp dan cos qq telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan tan⁡p\tan p dan tan⁡q\tan q terlebih dahulu dengan menggambar segitiga saja.

Ingat perbandingan trigonometri
sin⁡p=depanmiring=demi\sin p =\dfrac{depan}{miring}=\dfrac{de}{mi}
cos⁡p=sampingmiring=sami\cos p =\dfrac{samping}{miring}=\dfrac{sa}{mi}
tan⁡p=depansamping=desa\tan p =\dfrac{depan}{samping}=\dfrac{de}{sa}
Untuk sin⁡p=35=demi\sin p =\dfrac35=\dfrac{de}{mi} maka depan 3 miring 5 dan nilai tan⁡p\tan p positif karena di kuadran I.
Untuk cos⁡p=1213=sami\cos p =\dfrac{12}{13}=\dfrac{sa}{mi} maka depan 3 miring 5 dan nilai tan⁡q\tan q negatif karena di kuadran IV.
Lihat gambar!
tan 225

*) cari nilai tan⁡p\tan p namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut pp dengan pythagoras.

sa=52−32=25−9=16=4sa=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4 Sehingga nilai dari tan⁡p=desa=34\tan p=\dfrac{de}{sa}=\dfrac{3}{4}.

*) cari nilai tan⁡q\tan q namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut qq dengan pythagoras.

de=132−122=169−144=25=5de=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5 Sehingga nilai dari tan⁡q=−desa=−512\tan q=-\dfrac{de}{sa}=-\dfrac{5}{12} (negatif karena di kuadran IV).

*) cari nilai tan⁡(p+q)\tan (p+q).

tan⁡(p+q)=tan⁡p+tan⁡q1−tan⁡p.tan⁡q=34+(−512)1−34.(−512)=34−5121+1548=3648−20484848+1548=16486348=1663\begin{align*} \tan (p+q) &= \frac{\tan p+\tan q}{1-\tan p. \tan q}\\ &=\frac{\frac{3}{4}+\left(-\frac{5}{12}\right)}{1-\frac{3}{4}.\left(-\frac{5}{12}\right)}\\ &=\frac{\frac{3}{4}-\frac{5}{12}}{1+\frac{15}{48}}\\ &=\frac{\frac{36}{48}-\frac{20}{48}}{\frac{48}{48}+\frac{15}{48}}\\ &=\frac{\frac{16}{48}}{\frac{63}{48}}\\ &=\frac{16}{63} \end{align*} Jadi, nilai dari tan⁡(p+q)=1663\tan(p+q)=\dfrac{16}{63}