Kali ini akan di bahas Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri beserta bukti dan contoh soalnya
Daftar Isi
Trigonometri adalah materi Matematika yang selalu ada di setiap tingkat kelas jenjang SMA baik kelas X, XI, atau XII. Pada kelas X ada perbandingan, fungsi, dan identitas trigonometri. Di Kelas XI ada Persamaan Trigonometri dan Rumus Jumlah dan Selisih dua sudut. Sedangkan di kelas XII ketemu trigonometri ketika menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi trigonometri.
Kali ini, kita akan sama-sama belajar tentang Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Pada Trigonometri. Ini merupakan materi trigonometri lanjutan. Materi ini digunakan untuk menghitung nilai sudut trigonometri yang tidak istimewa. Misalkan sin75∘, dapat kita tuliskan dengan penjumlahan sudut istimewa sin75∘=sin(45∘+30∘). Misalkan lagi cos15∘, dapat kita tuliskan dengan pengurangan atau selisih sudut istimewa cos15∘=cos(45∘−30∘).
Untuk memudahkan pemahaman tentang materi ini, tentu harus paham dulu tentang pelajaran trigonometri di kelas X yang mempelajari tentang konsep dasar perbandingan trigonometri↝
. Nahhh materi tersebut jangan dilupakan yaaa, sebab materi tersebut merupakan salah satu prasyarat untuk memahami modul ini. Yuk ah gak usah takut dan tidak bisa dengan trigonometri, kita belajar bertahap dan yakin pasti bisa…
Mari kita buktikan kedua rumus tersebut. Ada 2 cara untuk membuktikannya
Cara 1: Dengan lingkaran satuan, cari jarak dua titik
Perhatikan lingkaran satuan dan 3 buah juring yang masing-masing sudutnya α, β, dan −β.
Gambar di atas adalah lingkaran satuan yang berpusat di O dan berjari-jari r.
Perhatikan dua segitiga yaitu △POR dan △SOQ dengan ∠POR dan ∠SOQ sehingga PR=SQ.
Dengan membuktikan PR=SQ, maka diperoleh cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Dari gambar tersebut, diperoleh OP=OQ=OR=OS=r
Titik koordinat kutubnya yaitu
titik P(r,0), titik Q(rcosα,rsinα), titik R(rcos(α+β),rsin(α+β)) ,
dan titik S(rcosβ,−rsinβ). Mengingat
Konsep jarak dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) :
ABAB2=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
Pembuktian rumus sin(α+β)=sinαcosβ−cosαsinβ Mencari Jarak PR : P(r,0) dan R(rcos(α+β),rsin(α+β)) dengan konsep jarak dua titik diatas
PR2PR2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=r2cos2(α+β)−2r2cos(α+β)+r2+r2sin2(α+β)=r2[cos2(α+β)+sin2(α+β)]−2r2cos(α+β)+r2=r2[1]−2r2cos(α+β)+r2=2r2−2r2cos(α+β)
**Mencari Jarak QS :** Q(rcosβ,−rsinβ) dan S(rcosα,rsinα)
dengan konsep jarak dua titik diatas
QS2QS2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα−(−rsinβ)]2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα+rsinβ]2=(r2cos2α−2r2cosαcosβ+r2cos2β)+(r2sin2α+2r2sinαsinβ+r2sin2β)=r2(cos2α+sin2α)+r2(cos2β+sin2β)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)=r2(1)+r2(1)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)
**Panjang PR sama dengan panjang QS**
PRPR22r2−2r2cos(α+β)cos(α+β)=QS=QS2=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)=cosαcosβ−sinαsinβ
Sehingga Terbukti : cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
Pembuktian rumus cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Rumus cos(α−β) dapat diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif yaitu cos(α+(−β)) Konsep sudut negatif : sin(−A)=−sinA dan cos(−A)=cosA cos(α−β)=cos(α+(−β))=cosαcos(−β)−sinαsin(−β)=cosαcosβ−sinα.(−sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Sehingga terbukti : cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cara 2: Menggunakan Aturan Cosinus dan Jarak Dua Titik
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar, misalkan lingkaran satuan dengan jari-jari r=1 dan pusat lingkaran O. Perhatikan △SOQ, diperoleh titik koordinat kutubnya adalah titik S dan titik Q yaitu
S(cosβ,−sinβ) dan Q(cosα,sinα) serta OS = OQ = 1. Ingat Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1 Selanjutnya mencari jarak titik S dan Q dengan rumus: SQ2SQ2SQ2=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=(cos2α−2cosαcosβ+cos2β)+(sin2α−2sinαsinβ+sin2β)=(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)−2(cosαcosβ+sinαsinb)=(1)+(1)−2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2−2(cosαcosb+sinasinb)
**Aturan cosinus pada segitiga POQ** Perhatikan △SOQ berlaku aturan cosinus SQ2=OS2+OQ2−2.OS.OQ.cos(α−β) selanjutnya substitusi SQ2=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)SQ2SQ22−2cos(α−β)2−2cos(α−β)cos(α−β)=OS2+OQ2−2.OS.OQ.cos(α−β)=12+12−2.1.1.cos(α−β)=SQ2(substitusi SQ2)=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ sehingga terbukti : cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Cosinus
1). Tentukan nilai dari cos15∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus cos(a−b)=cosacosb+sinasinb.
cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=212.213+212.21=416+412=41(6+2)=412(213+1)
Jadi, nilai dari cos105∘ adalah 412(213+1).
2). Tentukan nilai dari cos105∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus cos(a+b)=cosacosb−sinasinb.
cos105∘=cos(60∘+45∘)=cos60∘cos45∘−sin60∘sin45∘=21.212−213.212=412−416=41(2−6)=412(1−213)
3). Tentukan nilai dari cos88∘cos58∘+sin88∘sin58∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus cosacosb+sinasinb=cos(a−b).
cos88∘cos58∘+sin88∘sin58∘=cos(88∘−58∘)=cos30∘=213
jadi, nilai dari cos88∘cos58∘+sin88∘sin58∘ adalah 213
4). Diketahui Diketahui cosx=53 dan cosy=1312 (x dan y sudut lancip). Tentukan nilai dari cos(x−y)! Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus cos(x−y)=cosxcosy+sinxsiny. cos x dan cos y telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan sinx dan siny terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas sin2x+cos2x=1 atau bisa juga dengan menggambar segitiga. Dari Identitas sin2x+cos2x=1,
-) maka sin2x=1−cos2x.
sin2xsinxsinx=1−cos2x=+1−cos2x…x lancip, maka sinx positif=+1−(53)2=+1−259=2525−259=2516=54
-) selanjutnya sin2y=1−cos2y.
sin2ysinysinx=1−cos2y=+1−cos2y…y lancip, maka siny positif=+1−(1312)2=+1−169144=169169−169144=16925=135
-) mengitung nilai cos(x−y)cos(x−y)=cosxcosy+sinxsiny=(53)(1312)+(54)(135)=6536+6520=6556
Jadi, nilai dari cos(x−y)=6556
Untuk membuktikan rumus sin(α+β) dan sin(α−β)diatas kita cukup menggunakan sifat relasi sudut di kuadran I dari pembuktian cos(α+β) diatas. Sebenarnya ada cara lain yaitu dengan menggunakan luas segitiga. Namun, kali ini kita gunakan relasi sudut di kuadran I saja.
Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus
1). Tentukan nilai dari sin15∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus sin(a−b)=sinacosb+cosasinb.
sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=212.213+212.21=416−412=41(6−2)=412(213−1)
Jadi, nilai dari sin15∘ adalah 412(213−1)
2). Tentukan nilai dari sin75∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.
sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=212.213+212.21=416+412=41(6+2)=412(213+1)
Jadi, nilai dari sin75∘ adalah 412(213+1)
3). Tentukan nilai dari sin64∘cos56∘+cos64∘sin41∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus sinacosb+cosasinb=sin(a+b).
sin64∘cos56∘+cos64∘sin56∘=sin(64∘+56∘)=sin120∘=sin30∘=21
Jadi, nilai dari nilai dari sin64∘cos56∘+cos64∘sin41∘ adalah 21.
4). Diketahui Diketahui sinp=53 dan cosq=1312 (p di kuadran III dan q sudut lancip). Tentukan nilai dari sin(p+q)! Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus sin(p+q)=sinpcosq+cospsinq. sin p dan cos q telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan cosp dan sinq terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas sin2p+cos2q=1 atau bisa juga dengan menggambar segitiga. Dari Identitas sin2p+cos2q=1,
*) maka cos2p=1−sin2q.
cos2pcospcosp=1−sin2p=−1−sin2p…p dikuadran III, maka cosp negatif=−1−(53)2=−1−259=−2525−259=−2516=−54
*) selanjutnya sin2q=1−cos2q.
sin2qsinqsinq=1−cos2q=+1−cos2q…q lancip, maka sinq positif=+1−(1312)2=+1−169144=169169−169144=16925=135
*) mengitung nilai sin(p+q)
sin(x+y)=sinpcosq+cospsinq=(53)(1312)+(−54)(135)=6536−6520=6516
Jadi, nilai dari sin(p+q)=6516
Untuk membuktikan rumus tan(α+β) dan tan(α−β) diatas kita gunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut cos(α+β) dan cos(α+β). Selain itu, kita juga menggunakan rumus identitas trigonometri tanA=cosBsinA.
Untuk membuktikannya kita gunakan sudut berelasi di kuadran IV atau sudut negatif. Ingat bahwa tan(−A)=−tanA.
tan(α−β)=tan(α+(−β))=1−tanαtan(−β)tanα+tan(−β)=1−tanα.(−tanβ)tanα−tanβ=1+tanαtanβtanα−tanβ
Contoh Soal Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
1). Tanpa menggunakan kalkulator dan tabel trigonometri. Tentukan nilai dari tan75∘! Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus tan(a+b)=1−tana.tanbtana+tanb.
tan75∘tan75∘=tan(45∘+30∘)=1−tan45∘tan30∘tan45∘+tan30∘=1−1.3131+313=1−3131+313×33=3−33+3=3−33+3×3+33+3=9−39+63+3=612+63=2+3
Jadi, nilai dari tan75∘=2+3.
2). Tentukan nilai dari tan255∘ Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus tan(a−b)=1+tana.tanbtana−tanb.
tan255∘=tan(300∘−45∘)=1+tan300∘tan45∘tan300∘−tan45∘=1−tan60∘tan45∘−tan60∘−tan45∘=1−3⋅1−3−1=−3+1−3−1×−1−1=3−13+1×3+13+1=3−13+23+1=24+23=2+3
Jadi, nilai dari tan255∘=2+3.
3). Diketahui Diketahui sinp=53 dan cosq=1312 (p di kuadran I dan q di kuadran IV). Tentukan nilai dari tan(p+q)! Alternatif Penyelesaian Gunakan rumus tan(a+b)=1−tana.tanbtana+tanb. sin p dan cos q telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan tanp dan tanq terlebih dahulu dengan menggambar segitiga saja.
Ingat perbandingan trigonometri sinp=miringdepan=mide cosp=miringsamping=misa tanp=sampingdepan=sade Untuk sinp=53=mide maka depan 3 miring 5 dan nilai tanp positif karena di kuadran I. Untuk cosp=1312=misa maka depan 3 miring 5 dan nilai tanq negatif karena di kuadran IV. Lihat gambar!
*) cari nilai tanp namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut p dengan pythagoras.
sa=52−32=25−9=16=4
Sehingga nilai dari tanp=sade=43.
*) cari nilai tanq namun sebelumnya kita perlu mencari panjang samping dari segitiga dengan sudut q dengan pythagoras.
de=132−122=169−144=25=5
Sehingga nilai dari tanq=−sade=−125 (negatif karena di kuadran IV).
*) cari nilai tan(p+q).
tan(p+q)=1−tanp.tanqtanp+tanq=1−43.(−125)43+(−125)=1+481543−125=4848+48154836−4820=48634816=6316
Jadi, nilai dari tan(p+q)=6316