Rumus Trigonometri Sudut Rangkap atau Ganda merupakan lanjutan dari Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri
Setelah sebelumnya kita mempelajari tentang Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri↝ , materi kita lanjutkan ke Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Sudut rangkap yang dimaksud adalah $2\alpha$ dan juga sudut $\dfrac12 \alpha$.
Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus sudut rangkap digunakan untuk menentukan nilai trigonometri untuk suatu sudut yang bukan merupakan sudut istimewa ($0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$) tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel.
Bagaimana menggunakan rumus sudut rangkap ini? simak ulasan berikut.
1. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap (Ganda)
Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \tan 2\alpha$.
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha\\ \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \\ \cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha \\ \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} $$
Rumus tersebut dapat kita peroleh atau kita buktikan dengan menggunakan akan rumus trigonometri jumlah dua sudut.
Pembuktian rumus trigonometri sudut rangkap :
$\bigstar$ Rumus Sinus sudut rangkap $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
Ingat rumus sinus jumlah sudut: $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$$\begin{align*}\sin 2\alpha &= \sin ( \alpha + \alpha ) \\ &= \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align*}$$
Sehingga terbukti : $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$\bigstar$ Rumus Cosinus sudut rangkap : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
Ingat rumus $ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$$\begin{align*} \cos 2\alpha &= \cos (\alpha + \alpha ) \\ &= \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ &= \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align*} $$
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
Dengan menggunakan rumus identitas: $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $ kita peroleh
$ \bigstar$ Rumus : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$$\begin{align*}\cos 2\alpha &= \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ &= \cos ^2 \alpha - (1 - \cos ^2 \alpha ) \\ &= 2\cos ^2 \alpha - 1 \end{align*} $$
Terbukti : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$ \bigstar$ Rumus : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$$\begin{align*}\cos 2\alpha &= \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ &= ( 1 - \sin ^2 \alpha ) - \sin ^2 \alpha \\ &= 1 - 2\sin ^2 \alpha \end{align*}$$
Terbukti : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$ \bigstar$ Rumus Sudut Rangkap Tangen : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
Ingat rumus : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $
$$\begin{align*} \tan 2\alpha &= \tan ( \alpha + \alpha ) \\ &= \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \tan \alpha } \\ &= \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } \end{align*}$$
Sehingga terbukti : $ \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
Contoh Soal Sudut Rangkap
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
- $2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ$
- $2 \cos^2 67,5^\circ – 1$
- $\dfrac{2\tan 3\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
Penyelesaian
- $2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ$
gunakan rumus $\sin 2A=2\sin A \cos A$
$$\begin{align*}2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ&=\sin 2(22,5^\circ)\\&=\sin 45^\circ \\ &=\frac12 \sqrt{2}\end{align*}$$ - $2 \cos^2 67,5^\circ – 1$
gunakan rumus $\cos 2A=2\cos^2 A -1$
$$\begin{align*}2 \cos^2 67,5^\circ – 1&=\cos 2(67,5^\circ)\\&=\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) \\ &=-\cos 45^\circ =-\frac12 \sqrt{2}\end{align*}$$ - $\dfrac{2\tan 3\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
gunakan rumus $\tan 2A=\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2A} $
$$\begin{align*}\frac{2\tan 3\alpha}{1- \tan^2 \alpha }&=\tan 2(3\alpha) \\ &=\tan 6\alpha \end{align*}$$
Diketahui $\sin A =\dfrac{5}{13}$, dengan A lancip. Hitung nilai $\sin 2A$, $\cos 2A$, dan $\tan 2A$ !
Penyelesaian
Karena $\sin A$ sudah diketahui maka cari lebih dulu $\cos A$. Kita dapat menggunakan rumus identitas trigonometri atau menggambar segitiga perbandingan trigonometri.
Kita gunakan rumus identitas saja yaitu $\cos A = \sqrt{1-\sin^2A}$
$\sin A =\dfrac{5}{13}$ maka
$$\begin{align*} \cos A &= \sqrt{1-\sin^2A}\\ &= \sqrt{1-\left( \frac{5}{13} \right)^2} \\ &=\sqrt{1- \frac{25}{169} } \\ &=\sqrt{\frac{144}{169}} \\ \cos A &= \frac{12}{13}\end{align*}$$
Nilai $\sin 2A$
$$\begin{align*}\sin 2 A &=2\sin A \cos A \\ &= 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} \\ \sin 2A&= \frac{120}{169}\end{align*} $$
Nilai $\cos 2A$
$$\begin{align*}\cos 2 A &=\cos^2 A - \sin^2 A \\ &= \left(\frac{12}{13} \right)^2- \left(\frac{5}{13} \right)^2\\ &= \frac{144}{169}-\frac{25}{169}\\ \cos 2A &= \frac{119}{169} \end{align*} $$
Nilai $\tan 2A$
$$\begin{align*}\tan 2A &=\frac{\sin 2A}{\cos 2A} \\ &=\frac{\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} \\ \tan 2A &=\frac{120}{119} \end{align*} $$
2. Rumus Trigonometri untuk Setengah Sudut
Dari rumus trigonometri sudut ganda, dapat diturunkan rumus trigonometri untuk setengah sudut, yaitu dengan menetapkan $\dfrac12 \alpha$ sebagai sudut tunggal dan $\alpha$ sebagai sudut ganda.
Rumus Trigonometri untuk $ \sin \frac{1}{2} A , \cos \frac{1}{2} A,$ dan $ \tan \frac{1}{2} A $
$$\begin{align*} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} \\ \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align*}$$
Pembuktian Rumus sudut $ \frac{1}{2} A $ :
Misalkan $ 2\alpha = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A $
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan trigonometri sudut rangkap yang akan dibuktikan.
$\bigstar$ Rumus : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $
gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$$\begin{align*}\cos 2 \alpha &= 1 - 2\sin ^2 \alpha \\ \cos A &= 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A\\2\sin ^2 \frac{1}{2} A &= 1 - \cos A \\\sin ^2 \frac{1}{2} A &= \frac{1 - \cos A}{2} \\\sin \frac{1}{2} A &= \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \end{align*}$$
Sehingga terbukti : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $
$\bigstar$ Rumus : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$$\begin{align*} \cos 2 \alpha &= 2\cos ^2 \alpha - 1 \\\cos A &= 2\cos ^2 \frac{1}{2}A - 1 \\2\cos ^2 \frac{1}{2}A &= 1 + \cos A \\\cos ^2 \frac{1}{2}A &= \frac{1 + \cos A}{2} \\\cos \frac{1}{2}A &= \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align*}$$
Sehingga terbukti : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
$\bigstar$ Rumus : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $
gunakan rumus : $ \tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $, dan $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
a). Rumus Pertama : $ \tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A }$
$$\begin{align*}\tan \frac{1}{2} A &= \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } \ &= \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \ \tan \frac{1}{2}A &= \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \end{align*}$$
b). Rumus kedua :
$$\begin{align*} \tan \frac{1}{2}A &= \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A &= \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ &= \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ &= \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ &= \frac{\sin A}{1+ \cos A} \end{align*}$$
c). Rumus ketiga :
$$\begin{align*} \tan \frac{1}{2}A &= \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A &= \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 - \cos A}{1 - \cos A} } \\ &= \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{1 - \cos ^2 A} } \\ &= \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ &= \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align*}$$
Sehingga terbukti : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $
Contoh Soal Setengah Sudut :
Hitunglah nilai dari :
- $ \sin 15^\circ $
- $ \cos 67,5^\circ $
- $ \tan 22,5^\circ $
Alternatif Penyelesaian :
Nilai dari $ \sin 15^\circ $
Misalkan $ \frac{1}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ $
$$\begin{align*}\sin \frac{1}{2} A &= \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ &= \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2} } \\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3} }{4} } \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } \end{align*}$$
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } $
Nilai dari $ \cos 67,5^\circ $
Misalkan $ \frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ $
nilai $ \cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{2} \sqrt{2} $
$$\begin{align*}\cos \frac{1}{2} A &= \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ &= \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ &= \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2} \sqrt{2} )}{2} } \\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2} }{4} } \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } \end{align*}$$
Jadi, nilai $ \cos 67,5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } $
Nilai dari $ \tan 22,5^\circ $
Misalkan $ \frac{1}{2}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ $
$$\begin{align*} \tan \frac{1}{2} A &= \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ &= \frac{\sin 45^\circ}{1+ \cos 45^\circ} \\ &= \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ &= \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ &= \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \times \frac{2 - \sqrt{2} }{2 - \sqrt{2} } \\ &= \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{4 - 2} \\ &= \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{2} \\ &= \sqrt{2} - 1 \end{align*}$$
Jadi, nilai $ \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1 $