Ukuran Pemusatan Data - Statistika Pengukuran

Ukuran pemusatan data meliputi rata-rata hitung (mean), modus, dan median

Ukuran pemusatan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut. Suatu kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi pada suatu nilai pemusatan. Artikel ini akan membahas ukuran pemusatan data yaitu rata-rata hitung (mean), modus, dan median dari data berkelompok yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.

Rata-rata (Mean)

Rumus Umum

1. Rata-rata untuk Data Tunggal

Rata-rata data tunggal kita bagi menjadi tiga kelompok yaitu rata-rata tunggal, rata-rata ada frekuensi, dan rata-rata pengelompokan.

• Rata-rata tunggal
  Misalkan ada data $ x_1, x_2, x_3, x_4, … , x_n $, sebanyak $ n $ data maka rata-ratanya : $$ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n} \\ \overline{x}= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$

Contoh
Dari hasil tes 8 siswa kelas XII diperoleh data: 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, dan 8 Tentukan rataan dari data tersebut.

Penyelesaian : $$ \overline{x} = \frac{2 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 + 7 + 8}{8} = \frac{40}{8} = 5,0 $$
Jadi, rataannya adalah 5,0.

Selain cara diatas kita juga bisa menggunakan rumus rataan sementara. Kita memprediksi diawal berapa kira-kira rata-ratanya.. $$ \overline{x}=\overline{x_s} + \frac{\displaystyle \sum d_i}{n}\\ \text{dimana }d_i=(x_i-\overline{x_s}) \\ x_s = \text{ rataan sementara}$$ Contoh
Dari hasil tes 8 siswa kelas XII diperoleh data: 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, dan 8 Tentukan rataan dari data tersebut.

Penyelesaian : Misal kita memilih nilai rata-rata sementara adalah $\overline{x}_s = 5$, maka $d_i =x_i − 5$.

Artinya semua data dikurangi 5.

Sehingga nilai rata-ratanya adalah:

$$\begin{align*} \overline{x}&=\overline{x_s} + \frac{\displaystyle \sum d_i}{n}\\&=5+\frac{−3 + 1 − 2 − 1 + 2 + 3}{8}\\&=5+\frac{0}{8}\\&=5+0=5\end{align*}$$ Jadi, rataannya adalah 5,0.

• Rata-rata ada frekuensi
  Misalkan ada data $ x_1 $ dengan frekuensi $ f_1 $ , $ x_2 $ dengan frekuensi $ f_2 $ , $ x_3 $ dengan frekuensi $ f_3 $
  dan seterusnya sampai $ x_n $ dengan frekuensi $ f_n $ ,
  Rata-ratanya adalah
  $$\begin{align*}\bar{x} &= \dfrac{\left( f_{1} \times x_{1} \right)+\left( f_{2} \times x_{2} \right)+ \cdots + \left( f_{i} \times x_{i} \right)}{f_{1} + f_{2} + \cdots + f_{i}} \\ \bar{x} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left( x_{i} \times f_{i} \right) }{\sum \limits_{i=1}^{n}f_{i} } \\ \hline & \text{dimana:} \\ f_{i} &= \text{frekuensi datum} \\ x_{i} &= \text{nilai datum} \end{align*}$$

Contoh

Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.

Penyelesaian :

Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.

Rata-ratanya : $$\overline{x} = \frac{4\times 5 + 5 \times 7 + 6 \times 15 + 7 \times 7 + 8 \times 6 }{5 + 7 + 15 + 7 + 6} = \frac{242}{40} = 6,05 $$ Atau langsung menggunakan nilai pada tabel : $$ \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i} = \frac{242}{40} = 6,05 $$
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.

• rata-rata pengelompokan
  Misalkan ada data pertama yang terdiri $n_1$ datum dengan rata-rata $ \overline x_1 $ , data kedua yang terdiri $ n_2 $ datum dengan rata-rata $ \overline x_2 $ , dan seterusnya. Rata-rata gabungan ($\overline x_{gb}$) semua kelompok adalah:

  $$ \begin{align*} \overline{x}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3 + ….}{n_1 + n_2 + n_3 + ….} \end{align*} $$

Contoh :

Dikelas A terdiri dari 20 siswa laki-laki dan 30 siswa perempuan. Setelah dilakukan penimbangan berat badan, diperoleh berat rata-rata siswa laki-laki adalah 40 kg dan berat rata-rata siswa perempuan 41 kg. Tentukan berat rata-rata kelas A tersebut!

Penyelesaian :

• Diketahui :
  banyak siswa laki-laki : $ n_l = 20 $ dan rata-rata : $ \overline{x}_l = 40 $
  banyak siswa perempuan : $ n_p = 30 $ dan rata-rata : $ \overline{x}_p = 41 $
• Rata-rata gabungan siswa laki-laki dan perempuan :
  $$ \begin{align*} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_l.\overline{x}_l + n_p.\overline{x}_p}{n_l + n_p} \\ & = \frac{20.40 + 30.41}{20 + 30 } \\ & = \frac{800 + 1230}{50 } \\ & = \frac{2030}{50 } \\ & = 40,6 \end{align*} $$
  Jadi, rata-rata berat badan kelas A adalah 40,6 kg.

2. Rata - rata Data Berkelompok

Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data.

Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata) data berkelompok:

a). Metode nilai tengah

Menggunakan data sesungguhnya

Rata-rata : $$\begin{align*} \overline{x} = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + … + f_n.x_n}{f_1 + f_2 + … + f_n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align*} $$
dengan $ x_i $ adalah nilai tengah masing-masing interval kelas.

Contoh :
Perhatikan tabel berikut!

Tentukan mean (rata-rata) dari tabel tersebut!
Penyelesaian :
tambahkan kolom nilai tengah dan $f_i.x_i$ pada tabel

Maka, nilai mean (rata-rata hitung) dari data tersebut adalah:
$$ \begin{align*} \overline{x} &= \frac{\displaystyle \sum f_i.d_i}{}\\& = \frac{2130}{40 } \\& = 53\frac{10}{40}\\&=53,25 \end{align*} $$
Jadi, rata-ratanya dalah 53,25.

b). Metode Simpangan dari rata-rata sementara atau Deviasi

Menggunakan selisih data terhadap rata-rata sementara

Rata-rata : $$ \begin{align*} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum f_i.d_i}{\displaystyle \sum f_i} \end{align*} $$
Keterangan :
$ \overline{x}_s = $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ d_i = x_i - \overline{x}_s : $ Simpangan nilai tengah terhadap rata-rata sementara.

Contoh :
Dari tabel soal nomor satu di atas, kita menentukan nilai rata-ratanya dengan cara metode deviasi.

Kita pilih rata-rata sementaranya ($\overline{x}_s$) dari nilai tengah yang ada. Kita bebas memilih nilai tengah yang ada, tapi biasanya rata-rata sementara dipilih dari nilai tengah yang memiliki frekuensi yang terbesar. misal kita pilih $ \overline{x}_s = 52 $. maka $d_i=(x_i-52)$ atau semua data dikurangi dengan rata-rata dugaan (lihat pada tabel diatas kolom ke 4)

Sehingga rata-ratanya :
$$ \begin{align*} \overline{x} = \overline x_{s} + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} = 52 + \frac{50}{400} = 53,25 \end{align*} $$
Jadi, rata-ratanya dalah 53,25 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

c). Metode Pengkodean (coding)

Metode pengkodean (coding) sering digunakan apabila dijumpai nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar. Metode ini sangat memudahkan dalam perhitungan karena melibatkan bilangan yang lebih sederhana. Pengkodean yang dimaksud adalah disimbolkan $u$ dengan rumus $ u_i = \frac{x_i - \overline{x}_s}{p} $ , dimana $ p $ adalah panjang kelas (interval kelas), $ x_i $ adalah nilai tengah, dan $ \overline{x}_s $ adalah rata - rata sementara yang dipilih dari nilai tengah.

Rumusnya: $$ \begin{align*} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum f_i.u_i}{\displaystyle \sum f_i} \right) . p \end{align*} $$ Keterangan :
$ \overline{x}_s = $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ u_i = \dfrac{x_i - \overline{x}_s}{p} : $ pengkodeannya.
$ p = $ panjang kelas atau interval kelas.

Contoh :
Kita akan menghitung nilai rata-rata pada soal nomor satu dengan metode pengkodean.

Misal rata-rata sementaranya : $ \overline{x}_s = 52 $
Panjang kelas : $ 40 - 44 \rightarrow p = 5 $
Menentukan nilai pengkodeannya ($u_i$) :
$u_i=\dfrac{x_i-52}{p}$ (bagi semua nilai $d_1$ dengan panjang interval kelas). Perhatikan kolom ke 5. Ambil contoh Kelas ke-1 : $ u_1 = \frac{x_1 - \overline{x}_s}{p} = \frac{42 - 52}{5} = -2 $

Sehingga rata-ratanya : $$ \begin{align*} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum f_i.u_i}{\displaystyle \sum f_i} \right) . p &= 52 + \left( \frac{10}{40} \right) . 35 \\ &= 52 + \frac{50}{40} \\ &= 52+1,25\\&=53,25\end{align*}$$
Jadi, rata-ratanya dalah 53,25 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

Catatan : Kabar gembiranya menggunakan metode pengkodeann adalah nilai tengah yang menjadi rata-rata sementaranya akan bernilai nol untuk pengkodeannya, dan bagian sebelumnya selalu dikurangi satu dan setelahnya ditambah satu. sehingga bentuknya akan selalu …-3,-2,-1,0,1,2,3,…. yang menyesuaikan dengan banyaknya kelas dengan patokan 0 adalah kelas yang dipilih sebagai rata-rata sementaranya.

Median (Nilai Tengah Data Terurut)

Median adalah nilai tengah kumpulan data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

1. Median Data Tunggal

Apabila kumpulan $n $ data disajikan dalam bentuk tunggal yaitu $x_1, x_2, …, x_n $ maka median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Untuk ukuran data $ n $ ganjil, maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data ke$-\frac{n+1}{2} $

   $$ Me = x_{\frac{n+1}{2}}, \text{ untuk }n\text{ ganjil} $$
   Keterangan :
   Me = Median dan $ x_{\frac{n+1}{2}} $ adalah data ke$-\frac{n+1}{2} $

   Contoh:

   Tentukan nilai tengah dari data 6, 9, 3, 9, 4!

   Penyelesaian

   Terdapat 5 buah data (𝑛 = 5), artinya jumlah data ganjil.

   Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.

   3, 4, 6, 9, 9 $$\begin{align*}M_e &= x_{\frac{5+1}{2}}\\&=x_{\frac{6}{2}}\\&=x_3\\&=6\end{align*}$$

2. Untuk ukuran data $n $ genap, mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang ditengah atau rata-rata dari nilai data ke$-\frac{n}{2} $ dan nilai data ke$ - \left( \frac{n}{2} + 1 \right) $

   $$ \begin{align*} Me = \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \end{align*} $$
   Keterangan :
   $ x_{\frac{n}{2}} $ adalah data ke$-\frac{n}{2} $ dan
   $ x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } $ adalah data ke-$\left( \frac{n}{2} + 1 \right) $

   Contoh :
   Nilai tengah dari data 7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah….

   Penyelesaian
   Terdapat 6 buah data ($n$ = 6), artinya jumlah data genap.

   Jangan lupa, data harus diurutkanterlebih dahulu dari kecil ke besar.

   2, 4, 5, 7, 8, 9

   Median adalah rata-rata kedua bilangan ini $$ \begin{align*} Me &= \frac{x_{\frac{6}{2}}+x_{\left(\frac{6}{2}+1\right)}}{2}\\ &= \frac{x_{3}+x_{4}}{2}\\ &= \frac{5+7}{2}\\&=\frac{12}{2}=6 \end{align*}$$

2. Median Data Berkelompok

Rumus Median data berkelompok : $$ \begin{align*} Me = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \end{align*} $$ Keterangan :
$ Tb_{me} = $ tepi bawah kelas median.
$ n = $ ukuran data (banyak datum).
$ F_{ks} = $ frekuensi kumulatif sebelum frekuensi kelas median.
$ f_{me} = $ frekuensi kelas mediannya.
$ p = $ panjang kelas.

Langkah-langkah menentukan Median :

1. Tentukan letak median dengan rumus $ \frac{1}{2}n $
2. Tentukan tepi bawah kelas median, Frekuensi kumulatif dan frekuensi median, serta panjang kelas .
3. Gunakan rumus median data berkelompok.

Contoh :
Seorang karyawan sebuah toko bangunan sedang mengukur diameter dari 40 buah pipa. Hasil pengukurannya itu dituliskan dalam tabel.

Tentukan nilai median dari data pada tabel di atas!
Penyelesaian :

• Menetukan letak median dengan ukuran $ n = 40 $
  Letak median $ = \frac{1}{2}n = \frac{1}{2}. 40 = 20 $
  Artinya median terletak pada data ke-20 yaitu pada kelas ke-3 dengan interval 50 - 54.
• Menentukan komponen yang lainnya :
  Tepi bawah : $ T_b = 50 - 0,5 = 49,5 $
  Frekuensi kumulatif : $ F_{ks} = 3 + 7 = 10 $
  frekuensi kelas median : $ f_{me} = 13 $
  panjang kelas : $ p = 5 $
• Menentukan nilai mediannya :
  $$ \begin{align*}Me & = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \\ & = 49,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 10}{13} \right).5 \\& = 49,5 + \left( \frac{20 - 10}{13} \right).5 \\& = 49,5 + \left( \frac{10}{13} \right).3 \\ & = 49,5 + 3,85 \\& = 53,35 \end{align*} $$
  Jadi, median yang menyatakan nilai tengah dari diameter 40 pipa adalah 53,35 mm.

Modus (Nilai yang sering muncul)

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi.

1. Modus Data Tunggal

Misalkan ada $ n $ data $ x_1, x_2, x_3, … x_n $ , modus dari data tersebut adalah datum(nilai) dengan frekuensi tertinggi atau data yang paling sering muncul. Suatu data dikatakan tidak mempunyai modus jika dalam data tersebut tidak ada nilai yang dominan (sering muncul). Ternyata data juga bisa memiliki modus lebih dari satu.

Contoh :

1. Dari data : 7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3. Tentukan modusnya!
   Penyelesaian :
   Data dapat kita rubah ke tabel. Frekuensi dari setiap data:

   Data	3	4	5	6	7	8
   Frekuensi	2	1	3	1	1	2

   Atau dengan mengurutkan data:

   3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8

   Karena nilai 5 muncul 3 kali, maka nilai modusnya adalah 5

2. Dari data : 7, 6, 8, 5, 9, 8, 6, 8, 6, 4. Tentukan modusnya!
   Penyelesaian :
   Data dapat kita rubah ke tabel. Frekuensi dari setiap data:
   

   Data	4	5	6	7	8	9
   Frekuensi	1	1	3	1	3	1

   Atau dengan mengurutkan data:

   4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9

   Perhatikan, karena data 6 dan 8 sama-sama muncul 3 kali, maka modus adalah 6 dan 8.

3. Dari data : 2, 3, 1, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9. Tentukan modusnya!
   Penyelesaian :
   Data dapat kita rubah ke tabel. Frekuensi dari setiap data:

   Data	4	5	6	7
   Frekuensi	2	2	2	2

   Atau dengan mengurutkan data:

   4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8

   Karena data seimbang, semua data sama-sama muncul sebanyak 2 kali, maka modus tidak ada.

2. Modus Data Berkelompok

Rumus modus data berkelompok :
$$ \begin{align*} Mo = Tb + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \end{align*}$$
Keterangan :
$ Mo = $ nilai modus.
$ Tb = $ tepi bawah kelas modus.
$ d_1 = $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$ d_2 = $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$ p = $ panjang kelas (lebar interval kelas)

Untuk menentukan nilai modus, sebaiknya kita harus menentukan kelas modusnya terlebih dahulu. Kelas modus adalah kelas yang memiliki nilai frekuensi tertinggi.

Contoh.
Berikut merupakan Data umur penduduk

Dari tabel di atas, tentukan nilai modusnya.!
Penyelesaian :
Modus terletak pada kelas interval yang memuat data dengan jumlah frekuensi terbesar.

• Menentukan letak modus
  Data dengan jumlah frekuensi terbesar yaitu sebanyak 13 data terletak pada kelas interval ke-3. Jadi, letak kelas modus yaitu pada kelas interval 50 – 54, dengan panjang interval 5.
• Menentukan Komponen lainnya
  Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sebelumnya adalah $d_1= 13 − 7 = 6.$
  Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sesudahnya adalah $d_1= 13 − 11 = 2.$
  Tepi bawah kelas modus : $ Tb = 50 - 0,5 = 49,5 $
• Menentukan nilai modusnya :
  $$ \begin{align*}Mo & = Tb + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \\ & = 49,5 + \left( \frac{6}{6 + 2} \right) . 5 \\ & = 49,5 + \left( \frac{6}{8} \right) . 5 \\ & = 49,5 + \frac{30}{8} \\ & = 49,5 + 3,75 \\ & = 53,25 \end{align*} $$
  Jadi, modus yang menyatakan umur penduduk dalam pemilihan adalah 53,25.