Latihan Soal Matematika Persamaan Dan Fungsi Kuadrat Penilaian Akhir Semester Kurikulum Merdeka

Siapkan dirimu untuk PAS Matematika Kurikulum Merdeka dengan latihan soal persamaan dan fungsi kuadrat lengkap dengan kunci jawaban dan pembahasan!

Sobat Sinmat! bentar lagi Penilaian Akhir nih.. Kali ini akan dishare kumpulan soal latihan matematika terkait persamaan dan fungsi kuadrat khusus untuk persiapan Penilaian Akhir Semester (PAS) Kurikulum Merdek1. Soal-soal disusun berdasarkan materi yang dipelajari di kelas, lengkap dengan kunci jawaban dan pembahasanny1.

1. Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^2 + 4x - 5 = 0$

   1. $x = 1, x = -5$
   2. $x = 2, x = -\dfrac{5}{2}$
   3. $x = -1, x = 5$
   4. $x = \dfrac{1}{2}, x = -5$
   5. $x = -2, x = \dfrac{5}{2}$

      Alternatif Penyelesaian ✍️

   • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan menghasilkan 4 dan jika dikalikan menghasilkan -5.

     Dua bilangan tersebut adalah 5 dan -1.

   • Menulis ulang suku $4x$ menjadi $5x - x$. Memfaktorkan persamaan:

     $$\begin{align*} x^2 + 4x - 5 &= 0 \\\ x^2 + 5x - x - 5 &= 0 \\\ (x + 5)(x - 1) &= 0 \end{align*}$$

   • Menentukan akar-akar persamaan.

     Dari persamaan $(x + 5)(x - 1) = 0$, didapatkan:

     • $x + 5 = 0$, sehingga $x = -5$
     • $x - 1 = 0$, sehingga $x = 1$

   • Jadi, Akar-akar dari persamaan $x^2 + 4x - 5 = 0$ adalah x = -5 dan x = 1. Jawaban A 😄

2. Tentukan akar dari persamaan kuadrat $2x^2 - 3x + 1 = 0$

   1. $x = \dfrac{1}{2}, x = 1$
   2. $x = -\dfrac{1}{2}, x = -1$
   3. $x = \dfrac{3}{4}, x = -\dfrac{1}{2}$
   4. $x = -\dfrac{3}{4}, x = \dfrac{1}{2}$
   5. $x = 2, x = -\dfrac{1}{2}$

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   Kita akan gunakan rumus ABC ya $$x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}}$$

   • Mengidentifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat $2x^2 - 3x + 1 = 0$. diperoleh $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$

   • Menentukan akar-akar persamaan dengan rumus AB3. $$\begin{align*}x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ x_{1,2} &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}\\ x_{1,2} &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}\\ x_{1,2} &= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}\\ x_{1,2} &= \frac{3 \pm 1}{4} \end{align*}$$

     $$x_1=\frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4}=1$$

     $$x_2=\frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$$

   Jadi, Akar-akar dari persamaan $2x^2 - 3x + 1 = 0$ adalah $x = 1$ dan $x = \dfrac{1}{2}$. Jawaban A 😄

3. Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^2 - 6x + 9 = 0$

   1. $x = 3, x = 3$
   2. $x = -3, x = -3$
   3. $x = 2, x = 4$
   4. $x = -2, x = -4$
   5. $x = \dfrac{3}{2}, x = -\dfrac{3}{2}$

4. Tentukan akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 10x + 7 = 0$

   1. $x = -\dfrac{7}{3}, x = -1$
   2. $x = \dfrac{7}{3}, x = 1$
   3. $x = -1, x = -\dfrac{7}{3}$
   4. $x = 1, x = \dfrac{7}{3}$
   5. $x = -\dfrac{1}{3}, x = -7$

5. Tentukan akar dari persamaan kuadrat $4x^2 - 4x + 1 = 0$

   1. $x = \dfrac{1}{2}, x = \dfrac{1}{2}$
   2. $x = -1, x = 1$
   3. $x = -\dfrac{1}{2}, x = -\dfrac{1}{2}$
   4. $x = 1, x = -1$
   5. $x = 2, x = -2$

6. Diketahui persamaan kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$. Manakah dari berikut ini yang bukan merupakan sifat dari grafik fungsi kuadrat?

   1. Memotong sumbu-Y di titik $(0, c)$.
   2. Memiliki sumbu simetri yang tegak lurus terhadap sumbu-X.
   3. Memiliki titik puncak minimum atau maksimum.
   4. Memiliki dua titik potong dengan sumbu-X.
   5. Selalu melewati titik $(0, 0)$.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   E. Selalu melewati titik $(0, 0)$.

   Alasan: Nilai fungsi kuadrat di $x = 0$ adalah $f(0) = a(0^2) + b(0) + c = c$. Jadi, grafik fungsi kuadrat tidak selalu melewati titik $(0, 0)$, tetapi hanya akan melewati titik tersebut jika $c = 0$.

7. Persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 6 = 0$ dapat difaktorkan menjadi $(x - a)(x - b) = 0$. Nilai $a + b$ sama dengan:

   1. $-5$
   2. $1$
   3. $6$
   4. $-11$
   5. $11$

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   B. $1$

   Jika persamaan kuadrat difaktorkan menjadi $(x - a)(x - b) = 0$, maka $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Untuk persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$, akar-akarnya dapat dicari dengan rumus Vieta:

   • Jumlah akar-akarnya: $a + b = -\frac{b}{a} = 5$
   • Hasil kali akar-akarnya: $ab = \frac{c}{a} = 6$

   Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa $a = 2$ dan $b = 3$. Sehingga, $a + b = 2 + 3 = 1$.

8. Grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu-X di titik $x = -2$ dan $x = 3$. Nilai $a$ adalah:

   1. $-\frac{1}{5}$
   2. $-\frac{1}{10}$
   3. $\frac{1}{5}$
   4. $\frac{1}{10}$
   5. $-\frac{3}{10}$

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   C. $\frac{1}{5}$

   Karena grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di titik $x = -2$ dan $x = 3$, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dituliskan sebagai $f(x) = a(x + 2)(x - 3) = 0$.

   Mengembangkan perkalian kedua kurung, kita mendapatkan:

   $f(x) = ax^2 + (a - 6)x - 6a = 0$

   Membandingkan dengan bentuk umum fungsi kuadrat, kita dapat melihat bahwa:

   • $a = a$
   • $b = a - 6$
   • $c = -6a$

   Kita tahu bahwa nilai $x = -2$ dan $x = 3$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ini. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan kuadrat untuk mendapatkan dua persamaan baru:

   • $a(-2)^2 + (a - 6)(-2) - 6a = 0$
   • $a(3)^2 + (a - 6)(3) - 6a = 0$

   Menyelesaikan kedua persamaan ini secara simultan, kita mendapatkan nilai $a = \frac{1}{5}$.

9. Nilai minimum dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + 4x + 5$ adalah:

   1. $-1$
   2. $0$
   3. $1$
   4. $4$
   5. $5$

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   C. $1$

   Nilai minimum dari fungsi kuadrat terletak pada titik puncaknya. Untuk mencari titik puncak, kita perlu menghitung nilai $x$ pada titik puncak tersebut. Nilai $x$ pada titik puncak dapat dihitung dengan rumus:

   $x_p = -\frac{b}{2a}$

   Dalam kasus ini, $a = 1$, $b = 4$, dan $c = 5$

   $x_p = -\frac{4}{2(1)} = -2$

   substitusikan nilai $x_p$ ​ ke dalam persamaan fungsi:

   $f(x_p) = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1$

   Jadi, Nilai minimum dari fungsi kuadrat $f(x)=x^2 +4x+5$ adalah 1.

10. Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$. Jika diketahui nilai $f(-1) = 9$ dan $f(2) = 29$, nilai $a + b + c$ adalah:

    1. 15
    2. 18
    3. 21
    4. 24
    5. 27

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gunakan rumus nilai fungsi kuadrat untuk $x = -1$ dan $x = 2$ untuk membentuk sistem persamaan linear.
    • Susun sistem persamaan dan hitung nilai $a$, $b$, dan $c$.
    • Hitung nilai $a + b + c$.

    Jawaban: C

11. Grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu x di titik $(2, 0)$ dan $(5, 0)$. Nilai $a$ adalah:

    1. -1/2
    2. -1
    3. 1/2
    4. 1
    5. 2

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Jika grafik memotong sumbu x di $(a, 0)$ dan $(b, 0)$, maka $f(a) = f(b) = 0$.
    • Bentuk persamaan dari $f(a) = 0$ dan $f(b) = 0$.
    • Subtraksikan kedua persamaan dan dapatkan $a + b = 0$.
    • Substitusikan $a + b = 0$ ke salah satu persamaan $f(a) = 0$ atau $f(b) = 0$ untuk mendapatkan nilai $a$.

    Jawaban: A

12. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar $x = -2$ dan $x = 3$. Nilai $a$ adalah:

    1. -1/5
    2. -2/5
    3. 1/5
    4. 2/5
    5. 3/5

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mendapatkan nilai $a$.

    Jawaban: D

13. Nilai minimum fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + 4x + 5$ adalah:

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Hitung nilai minimum fungsi kuadrat dengan menyelesaikan persamaan kuadrat $f(x) = 0$ untuk mendapatkan nilai $x$ yang menghasilkan nilai $f(x)$ terkecil.

    Jawaban: C

14. Nilai maksimum fungsi kuadrat $f(x) = -2x^2 + 8x - 10$ adalah:

    1. 6
    2. 7
    3. 8
    4. 9
    5. 10

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Hitung nilai maksimum fungsi kuadrat dengan menyelesaikan persamaan kuadrat $f(x) = 0$ untuk mendapatkan nilai $x$ yang menghasilkan nilai $f(x)$ terbesar.

    Jawaban: A

15. Grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ simetris terhadap garis y = x. Nilai $b$ adalah:

    1. -a
    2. 0
    3. a
    4. 2a
    5. -2a

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Jika grafik simetris terhadap garis y = x, maka $b = 0$.

    Jawaban: B

16. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar real yang sama. Nilai $b^2 - 4ac$ adalah:

    1. 0
    2. Positif
    3. Negatif
    4. Tergantung nilai a, b, dan c
    5. Tidak dapat ditentukan

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gunakan rumus $b^2 - 4ac$ untuk menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat.

    Jawaban: A

17. Titik puncak grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ terletak di titik $(p, q)$. Nilai $p$ adalah:

    1. -b/2a
    2. b/2a
    3. -a/2b
    4. a/2b
    5. Tidak dapat ditentukan

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Titik puncak grafik fungsi kuadrat terletak di titik $(p, q) = \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)$.

    Jawaban: B

18. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Nilai $x_1 + x_2$ adalah:

    1. -b/a
    2. b/a
    3. -c/a
    4. c/a
    5. Tidak dapat ditentukan

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat untuk mendapatkan nilai $x_1 + x_2$.

    Jawaban: B

19. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Nilai $x_1 \cdot x_2$ adalah:

    1. b/a
    2. -b/a
    3. c/a
    4. -c/a
    5. Tidak dapat ditentukan

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat untuk mendapatkan nilai $x_1 \cdot x_2$.

    Jawaban: D