Kedudukan Dua Lingkaran (Irisan Dua Lingkaran)

Kedudukan antara dua lingkaran atau kedudukan dua lingkaran menujukkan posisi antara lingkaran pertama dan lingkaran kedua

Kedudukan antara dua lingkaran atau kedudukan dua lingkaran menujukkan posisi antara lingkaran pertama dan lingkaran kedua. ada beberapa posisi dari dua lingkaran ini. Jika digambarkan sangat mudah menentukan jenisnya. Namun, bagaimana jika yang diketahui hanya persamaan kedua lingkaran? Kedudukan dua lingkaran yang persamaannya diketahul dapat digambarkan melalui bidang koordinat dengan menentukan pusat lingkaran dan jari-jari kedua lingkaran. Sebelum itu, kita harus ingat kembali persamaan lingkaran↝ dan juga rumus mengenai jarak antara dua titik↝ .
Mengingat
Jarak Titik Pusat Lingkaran ke Titik Pusat Lingkaran
Misal $P_1 = (x_1, y_1)$ adalah titik pusat lingkaran 1 dan $P_2=(x_2,y_2)$ adalah titik pusat lingkaran 2 maka jarak titik pusat lingkaran 1 ke titik pusat lingkaran lainnya adalah $$|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Kriteria kedudukan dua lingkaran
Dua lingkaran yang terletak pada suatu bidang, ada kemungkinan sepusat atau tidak sepusat. Jika dua lingkaran sepusat, maka satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya. Jika dua lingkaran tidak sepusat, maka ada kemungkinan:

1. Lingkaran pertama berada di dalam lingkaran kedua
2. Kedua lingkaran saling berpotongan
3. Kedua lingkaran saling bersinggungan
4. Lingkaran pertama berada di luar lingkaran kedua

Mari kita cermati kriteria kedudukan dua lingkaran tersebut.

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran $L_1$ berpusat di $P$ dengan jari-jari $R$ dan lingkaran $L_2$ berpusat di $Q$ dengan jari-jari $r$ di mana $R > r$ maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

1. Dua Lingkaran Sepusat (Konsentris).

$L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan $P$ dan $Q$ berimpit, karena $P$ dan $Q$ berimpit sehingga jarak titik $P$ ke titiik $Q$ adalah 0 atau bisa ditulis $PQ = 0$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan konsentris (sepusat).

2. Lingkaran kecil didalam lingkaran besar

ada dua kemungkinan untuk lingkaran kecil didalam lingkaran besar. Perhatikan gambar berikut

• $L_2$ terletak di dalam $L_1$, syarat : $PQ < r < R$ atau $PQ < R - r$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ yang disebut juga tidak konsentris.
• $L_2$ terletak di dalam $l_1$, dengan syarat $r< PQ < R$ jika diameter lingkaran kecil kurang dari jari-jari lingkaran besar

3. Dua Lingkaran saling bersinggungan di dalam

ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan selisih jari-jari kedua lingkaran tersebut. $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam, syaratnya : $$PQ = R - r$$

4. Dua Lingkaran saling bersinggungan di luar

ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran tersebut. $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar, syaratnya : $$PQ = R + r$$

5. Dua lingkaran berpotongan

Perhatikan gambar! Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik, $D$ dan $E$. Segmen garis $DE$ disebut tali busur sekutu. Perhatikan segitiga $EPQ$. Dalam ketaksamaan segitiga diketahui bahwa jumlah dua sisi segitiga selalu lebih besar dari pada sisi ketiganya. Berdasarkan hal tersebut, maka $L_1$ berpotongan dengan $L_2$, syaratnya : $$R - r < PQ < R + r$$

6. Dua lingkaran berpotongan tegak lurus (Orthogonal)

Dua lingkaran dikatakan berpotongan orthogonal (tegak lurus) jika garis singgung kedua lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran membentuk sudut $90^\circ$ (atau saling tegak lurus), seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dua lingkaran berpotongan tegak lurus jika dipenuhi syarat kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran $PQ^2$ sama dengan jumlah kuadrat jarijarinya $(R^2+r^2)$ atau $L_1$ ortogonal (tegak lurus) $L_2$ , syaratnya : $$PQ^2 = R^2 + r^2$$

7. Lingkaran $L_1$ memotong dan membagi dua sama besar lingkaran $L_2$

Gambar di atas menunjukkan lingkaran $L_1$ membagi dua sama besar lingkaran $L_2$. Hal ini terjadi jika dipenuhi syarat kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran $(PQ^2)$ sama dengan selisih kuadrat jari-jarinya ($R^2 – r^2$) atau $L_1$ berpotongan $L_2$ tepat pada diameter salah satu lingkaran (membagi dua bagian sama besar yaitu diameter garis warna merah), syaratnya : $$PQ^2 = R^2 - r^2$$

8. Dua lingkaran tidak berpotongan atau bersinggungan

Pada gambar ditunjukkan dua lingkaran yang tidak berpotongan atau bersinggungan. Hal ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah jari-jari kedua lingkaran tersebut. $L_1$ terletak di luar $L_2$ , syaratnya : $PQ > R + r$, sehingga $L_1$ dan $L_2$ saling terpisah.

Mencari Kedudukan Dua Lingkaran

Menentukan titik potong atau titik singgung dua lingkaran
Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, yaitu :

1. Eliminasi kedua persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.
2. Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, lalu tentukan nilai $x$ dan $y$ .

Contoh 1

Tunjukkan bahwa lingkaran $x^2+ 𝑦^2− 16𝑥 − 20𝑦 + 115 = 0$ dan lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+ 8𝑥 − 10𝑦 + 5 = 0$ saling bersinggungan dan carilah titik singgungnya.
Penyelesaian:
Misalkan kedua lingkaran adalah $L_1$ dan $L_2$.
$L_1 \equiv x^2+ 𝑦^2− 16𝑥 − 20𝑦 + 115 = 0$

• Pusat $P_1(−\dfrac12 (−16), −\dfrac12(−20))= P_1(8, 10)$
• Jari-jari $r_1 = \sqrt{8^2+ 10^2 − 115} =\sqrt{64 + 100 − 115} = \sqrt{49} = 7$

$L_2 \equiv 𝑥^2+𝑦^2+ 8𝑥 − 10𝑦 + 5 = 0$

• Pusat $P_2(−\dfrac12 (8), −\dfrac12(−10))= P_2(-4, 5)$
• Jari-jari $r_2 = \sqrt{(-4)^2+ 5^2 − 5} =\sqrt{16 + 25 − 25} = \sqrt{16} = 4$

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dibandingkan jarak antara pusat $P_1P_2$ dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran $r_1 + r_2$.
Jarak $P_1P_2$ = jarak antara titik $(8, 10)$ dan $(–4 , 5)$ $$\begin{align*} P_1P_2&=\sqrt{(-4-8)^2+(5-10)^2}\\&=\sqrt{(-12)^2+(-5)^2}\\&=\sqrt{144+25}\\&=\sqrt{169}=13 \end{align*}$$ Jumlah jari-jari $r_1 + r_2 = 7 + 6 = 13$

Karena $P_1P_2 = r1 + r2$, maka kedua lingkaran bersinggungan luar.

Misal titik singgungnya adalah $Q$. Untuk menentukan koordinat titik singgung kedua lingkaran dapat digunakan rumus perbandingansegmen garis berikut ini. $$P_1Q : QP_2 = 7 : 6$$ $$\begin{align*} Q = (x, y)&=\frac{7P_2+6P_1}{7+6}\\&=\frac{7(-4,5)+6(8,10)}{13}\\&=\frac{(-28,35)+(48,60)}{13}\\&=\frac{(20,95)}{13}\\(x,y)&=\left( \frac{20}{13},\frac{95}{13} \right ) \end{align*}$$ Jadi koordinat titik singgung kedua lingkaran adalah $\left( \frac{20}{13},\frac{95}{13} \right )$

Contoh 2:

Tentukan kedudukan lingkaran $L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$ dan linkaran $L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$.
Penyelesaian :

• Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran.
  $L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$
  Jari-jari : $r^2 = 25 \rightarrow r = 5$ sebagai $R = 5$
  Pusat lingkaran : $A (a,b) = A(1,-3)$

  $L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$
  Jari-jari : $r^2 = 9 \rightarrow r = 3$
  Pusat lingkaran : $B (a,b) = B(-2,1)$

• Jarak titik pusat kedua lingkaran : $AB$ jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1) $$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

• Cek kedudukan kedua lingkaran, $AB = 5, R = 5, r = 3$
  $AB = 0$ (tidak memenuhi)
  $AB < r < R$ (tidak memenuhi)
  $AB = R - r$ (tidak memenuhi)
  $R - r < AB < R + r$ (memenuhi)
  $AB = R + r$ (tidak memenuhi)
  $AB > R + r$ (tidak memenuhi)
  $AB^2 = R^2 + r^2$ (tidak memenuhi)
  $AB^2 = R^2 - r^2$ (tidak memenuhi)

Karena yang memenuhi $R - r < AB < R + r$, maka kedua lingkaran berpotongan.!

Contoh 3:

Tentukan titik potong kedua lingkaran pada contoh soal nomor 2 di atas. Penyelesaian :

• Menjabarkan kedua persamaan lingkaran.
  $L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15$
  $L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4$
• Eliminasi kedua persamaan lingkaran , $\begin{array}{cc}x^2 + y^2 - 2x + 6y &= &15\\x^2 + y^2 + 4x + -2y &= &4 &- \\\hline -6y + 8y &= &11\end{array}$
• Substitusi garis ke lingkaran kedua $-6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x)$ $$\begin{align*} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4\\x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4\\x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \text{(kali 64)} \\64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256\\64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 - 96x & = 256\\ 100x^2 + 292x - 306 & = 0 \text{(bagi 2)}\\50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\a = 50, b = 146, c & = -153 \end{align*}$$ Gunakan rumus ABC : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a}$$ pada persamaan kuadrat. $$\begin{align*} 50x^2 + 146x - 153 &= 0 \\ a = 50, b = 146, c &= -153\\ x &= \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 - 4(50)(-153)}}{2(50)}\\ x &= \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100}\\x &= \frac{-146 \pm 227,8}{100}\\x_1= \frac{-146 + 227,8}{100} &\text{ atau } x_2= \frac{-146 - 227,8}{100}\\x_1= \frac{81,8}{100} &\text{ atau } x_2= \frac{-373,8}{100}\\x_1= 0,8 &\text{ atau } x_2= -3,7 \end{align*}$$
• Substitusi nilai $x$ ke persamaan garis $y = \frac{1}{8}(11 + 6x)$ $$ x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98 \\
  x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4 $$

Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah $(0.8 , 1.98)$ dan $(-3.7 , -1.4)$.