Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Jika garis $𝑦=π‘šπ‘₯+𝑛$ sembarang dan 𝐿 adalah lingkaran dengan jari-jari π‘Ÿ, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu

  1. Garis memotong lingkaran pada dua titik
  2. Garis menyinggung lingkaran (memiliki 1 titik potong) dan
  3. Garis tidak memiliki titik potong terhadap lingkaran

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Kedudukan Garis terhadap lingkaran

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran

untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran langkah-langkahnya sebagai berikut:

  1. Substitusi 𝑦 dari persamaan garis $𝑦=π‘šπ‘₯+𝑛$ ke persamaan lingkaran L.
  2. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel π‘₯ (bentuk $π‘Žπ‘₯^2+𝑏π‘₯+𝑐=0$).
  3. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus $𝐷=𝑏^2βˆ’4π‘Žπ‘$.
  4. Periksa tanda diskriminan 𝐷 dengan kriteria:
    1. Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
    2. Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
    3. Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

Contoh 1

Tentukan kedudukan garis $π‘₯+𝑦–2=0$ terhadap lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2–4π‘₯+2𝑦–20=0$!

Pembahasan

Garis $π‘₯+𝑦–2=0\Rightarrow 𝑦=–π‘₯+2$
Substitusikan $𝑦 =–π‘₯+2$ ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh: $$\begin{align*} π‘₯^2+𝑦^2–4π‘₯+2𝑦–20&=0\\\Leftrightarrow π‘₯^2+(–π‘₯+2)^2–4π‘₯+2(–π‘₯+2)βˆ’20&=0\\\Leftrightarrow π‘₯^2+π‘₯^2βˆ’4π‘₯+4βˆ’4π‘₯βˆ’2π‘₯+4βˆ’20&=0\\ \Leftrightarrow 2π‘₯^2βˆ’10π‘₯βˆ’12=0\\ \Leftrightarrow π‘₯^2βˆ’5π‘₯βˆ’6=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai π‘Ž=1, 𝑏=βˆ’5, dan 𝑐=βˆ’6
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2βˆ’4π‘Žπ‘\\&=(βˆ’5)^2βˆ’4(1)(βˆ’6)\\&=49>0\rightarrow D>0 \end{align*}$$ $\therefore $ Karena nilai $𝐷>0$, maka garis $π‘₯+𝑦–2=0$ memotong lingkaran pada dua titik

Tambahan
Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut. $$\begin{align*} π‘₯^2βˆ’5π‘₯βˆ’6=0 &\Leftrightarrow (π‘₯βˆ’6)(π‘₯+1)=0\\ &\Leftrightarrow π‘₯βˆ’6=0 \text{ atau }π‘₯+1=0\\&\Leftrightarrow π‘₯=6 \text{ atau }π‘₯=-1 \end{align*}$$ Untuk $π‘₯=βˆ’1\Rightarrow 𝑦=βˆ’(βˆ’1)+2 \Rightarrow 𝑦=3$
Untuk $π‘₯=6\Rightarrow 𝑦=βˆ’(6)+2 \Rightarrow 𝑦=-4$
sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (–1, 3) dan titik (6, –4).

Contoh 2

Diketahui lingkaran dengan persamaan $π‘₯^2+𝑦^2βˆ’6π‘₯βˆ’2π‘¦βˆ’10=0$. Tentukan kedudukan garis $𝑦=βˆ’2π‘₯+17$ terhadap lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=βˆ’2π‘₯+17$ ke pers. Lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2βˆ’6π‘₯βˆ’2π‘¦βˆ’10=0$ $$\begin{align*} &π‘₯^2+𝑦^2βˆ’6π‘₯βˆ’2π‘¦βˆ’10=0\\&\Leftrightarrow π‘₯^2+(βˆ’2π‘₯+17)^2βˆ’6π‘₯βˆ’2(βˆ’2π‘₯+17)βˆ’10=0\\ &\Leftrightarrow π‘₯^2+4π‘₯^2βˆ’68π‘₯+289βˆ’6π‘₯+4π‘₯βˆ’34βˆ’10=0\\&\Leftrightarrow 5π‘₯^2βˆ’70π‘₯+245=0\\ &\Leftrightarrow π‘₯^2βˆ’14π‘₯+49=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai π‘Ž=1, 𝑏=βˆ’14, dan 𝑐=49
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2βˆ’4π‘Žπ‘\\&=(βˆ’14)^2βˆ’4(1)(49)\\&=196-196\\&=0\rightarrow D=0 \end{align*}$$ $\therefore $ Karena nilai $𝐷=0$, maka garis $𝑦=βˆ’2π‘₯+17$ menyinggung lingkaran

Contoh 3

Diketahui lingkaran dengan persamaan $π‘₯^2+𝑦^2βˆ’4π‘₯βˆ’π‘¦+3=0$. Tentukan nilai $π‘š$ jika garis $𝑦=π‘šπ‘₯+2$ menyinggung lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=π‘šπ‘₯+2$ ke pers. Lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2βˆ’4π‘₯βˆ’π‘¦+3=0$ $$\begin{align*} &π‘₯^2+𝑦^2βˆ’4π‘₯βˆ’π‘¦+3=0\\&\Leftrightarrow π‘₯^2+(π‘šπ‘₯+2)^2βˆ’4π‘₯βˆ’(π‘šπ‘₯+2)+3=0\\ &\Leftrightarrow π‘₯^2+π‘š^2 π‘₯^2+4π‘šπ‘₯+4βˆ’4π‘₯βˆ’π‘šπ‘₯βˆ’2+3=0\\&\Leftrightarrow (1+π‘š^2 ) π‘₯^2+(3π‘šβˆ’4)π‘₯+5=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai $π‘Ž=1+π‘š^2, 𝑏=3π‘šβˆ’4$, dan $𝑐=5$
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2βˆ’4π‘Žπ‘\\&=(3π‘šβˆ’4)^2βˆ’4(1+π‘š^2)(5)\\&=9π‘š^2βˆ’24π‘š+16βˆ’20βˆ’20π‘š^2\\&=βˆ’11π‘š^2βˆ’24π‘šβˆ’4 \end{align*}$$ Karena garis menyinggung lingkaran maka 𝐷=0 $$\begin{align*} βˆ’11π‘š^2βˆ’24π‘šβˆ’4=0&\Leftrightarrow(11)^2+24π‘š+4=0\\&\Leftrightarrow(11π‘š+2)(π‘š+2)=0\\&\Leftrightarrow π‘š=-\frac{2}{11}\text{ atau }π‘š=βˆ’2 \end{align*}$$ $\therefore $ Jadi, nilai $m=-\frac{2}{11}$ atau $m=-2$.

Latihan

untuk memperdalam kemampuan dalam mempelajari materi ini silahkan dicoba latihan berikut ya

  • Tentukan kedudukan garis $𝑦 = 2π‘₯ + 8$ terhadap lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2+4π‘₯+2𝑦–20 =0$. Kemudian tentukan titik potongnya jika ada.