Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Jika garis $π¦=ππ₯+π$ sembarang dan πΏ adalah lingkaran dengan jari-jari π, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu
- Garis memotong lingkaran pada dua titik
- Garis menyinggung lingkaran (memiliki 1 titik potong) dan
- Garis tidak memiliki titik potong terhadap lingkaran
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran
untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran langkah-langkahnya sebagai berikut:
- Substitusi π¦ dari persamaan garis $π¦=ππ₯+π$ ke persamaan lingkaran L.
- Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel π₯ (bentuk $ππ₯^2+ππ₯+π=0$).
- Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus $π·=π^2β4ππ$.
- Periksa tanda diskriminan π· dengan kriteria:
- Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
- Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
- Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.
Contoh 1
Tentukan kedudukan garis $π₯+π¦β2=0$ terhadap lingkaran $π₯^2+π¦^2β4π₯+2π¦β20=0$!
Pembahasan
Garis $π₯+π¦β2=0\Rightarrow π¦=βπ₯+2$
Substitusikan $π¦ =βπ₯+2$ ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh:
$$\begin{align*}
π₯^2+π¦^2β4π₯+2π¦β20&=0\\\Leftrightarrow π₯^2+(βπ₯+2)^2β4π₯+2(βπ₯+2)β20&=0\\\Leftrightarrow π₯^2+π₯^2β4π₯+4β4π₯β2π₯+4β20&=0\\ \Leftrightarrow 2π₯^2β10π₯β12=0\\ \Leftrightarrow π₯^2β5π₯β6=0
\end{align*}$$
Diperoleh nilai π=1, π=β5, dan π=β6
Nilai Diskriminan
$$\begin{align*}
π·&=π^2β4ππ\\&=(β5)^2β4(1)(β6)\\&=49>0\rightarrow D>0
\end{align*}$$
$\therefore $ Karena nilai $π·>0$, maka garis $π₯+π¦β2=0$ memotong lingkaran pada dua titik
Tambahan
Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut.
$$\begin{align*}
π₯^2β5π₯β6=0 &\Leftrightarrow (π₯β6)(π₯+1)=0\\ &\Leftrightarrow π₯β6=0 \text{ atau }π₯+1=0\\&\Leftrightarrow π₯=6 \text{ atau }π₯=-1
\end{align*}$$
Untuk $π₯=β1\Rightarrow π¦=β(β1)+2 \Rightarrow π¦=3$
Untuk $π₯=6\Rightarrow π¦=β(6)+2 \Rightarrow π¦=-4$
sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (β1, 3) dan titik (6, β4).
Contoh 2
Diketahui lingkaran dengan persamaan $π₯^2+π¦^2β6π₯β2π¦β10=0$. Tentukan kedudukan garis $π¦=β2π₯+17$ terhadap lingkaran tersebut!
Pembahasan
Substitusi $π¦=β2π₯+17$ ke pers. Lingkaran $π₯^2+π¦^2β6π₯β2π¦β10=0$
$$\begin{align*}
&π₯^2+π¦^2β6π₯β2π¦β10=0\\&\Leftrightarrow π₯^2+(β2π₯+17)^2β6π₯β2(β2π₯+17)β10=0\\ &\Leftrightarrow π₯^2+4π₯^2β68π₯+289β6π₯+4π₯β34β10=0\\&\Leftrightarrow 5π₯^2β70π₯+245=0\\ &\Leftrightarrow π₯^2β14π₯+49=0
\end{align*}$$
Diperoleh nilai π=1, π=β14, dan π=49
Nilai Diskriminan
$$\begin{align*}
π·&=π^2β4ππ\\&=(β14)^2β4(1)(49)\\&=196-196\\&=0\rightarrow D=0
\end{align*}$$
$\therefore $ Karena nilai $π·=0$, maka garis $π¦=β2π₯+17$ menyinggung lingkaran
Contoh 3
Diketahui lingkaran dengan persamaan $π₯^2+π¦^2β4π₯βπ¦+3=0$. Tentukan nilai $π$ jika garis $π¦=ππ₯+2$ menyinggung lingkaran tersebut!
Pembahasan
Substitusi $π¦=ππ₯+2$ ke pers. Lingkaran $π₯^2+π¦^2β4π₯βπ¦+3=0$
$$\begin{align*}
&π₯^2+π¦^2β4π₯βπ¦+3=0\\&\Leftrightarrow π₯^2+(ππ₯+2)^2β4π₯β(ππ₯+2)+3=0\\ &\Leftrightarrow π₯^2+π^2 π₯^2+4ππ₯+4β4π₯βππ₯β2+3=0\\&\Leftrightarrow (1+π^2 ) π₯^2+(3πβ4)π₯+5=0
\end{align*}$$
Diperoleh nilai $π=1+π^2, π=3πβ4$, dan $π=5$
Nilai Diskriminan
$$\begin{align*}
π·&=π^2β4ππ\\&=(3πβ4)^2β4(1+π^2)(5)\\&=9π^2β24π+16β20β20π^2\\&=β11π^2β24πβ4
\end{align*}$$
Karena garis menyinggung lingkaran maka π·=0
$$\begin{align*}
β11π^2β24πβ4=0&\Leftrightarrow(11)^2+24π+4=0\\&\Leftrightarrow(11π+2)(π+2)=0\\&\Leftrightarrow π=-\frac{2}{11}\text{ atau }π=β2
\end{align*}$$
$\therefore $ Jadi, nilai $m=-\frac{2}{11}$ atau $m=-2$.
Latihan
untuk memperdalam kemampuan dalam mempelajari materi ini silahkan dicoba latihan berikut ya
- Tentukan kedudukan garis $π¦ = 2π₯ + 8$ terhadap lingkaran $π₯^2+π¦^2+4π₯+2π¦β20 =0$. Kemudian tentukan titik potongnya jika ada.