Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Jika garis $𝑦=𝑚𝑥+𝑛$ sembarang dan 𝐿 adalah lingkaran dengan jari-jari 𝑟, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu

1. Garis memotong lingkaran pada dua titik
2. Garis menyinggung lingkaran (memiliki 1 titik potong) dan
3. Garis tidak memiliki titik potong terhadap lingkaran

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran

untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Substitusi 𝑦 dari persamaan garis $𝑦=𝑚𝑥+𝑛$ ke persamaan lingkaran L.
2. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel 𝑥 (bentuk $𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0$).
3. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus $𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐$.
4. Periksa tanda diskriminan 𝐷 dengan kriteria:
   1. Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
   2. Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
   3. Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

Contoh 1

Tentukan kedudukan garis $𝑥+𝑦–2=0$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2–4𝑥+2𝑦–20=0$!

Pembahasan

Garis $𝑥+𝑦–2=0\Rightarrow 𝑦=–𝑥+2$
Substitusikan $𝑦 =–𝑥+2$ ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh: $$\begin{align*} 𝑥^2+𝑦^2–4𝑥+2𝑦–20&=0\\\Leftrightarrow 𝑥^2+(–𝑥+2)^2–4𝑥+2(–𝑥+2)−20&=0\\\Leftrightarrow 𝑥^2+𝑥^2−4𝑥+4−4𝑥−2𝑥+4−20&=0\\ \Leftrightarrow 2𝑥^2−10𝑥−12=0\\ \Leftrightarrow 𝑥^2−5𝑥−6=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai 𝑎=1, 𝑏=−5, dan 𝑐=−6
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(−5)^2−4(1)(−6)\\&=49>0\rightarrow D>0 \end{align*}$$ $\therefore $ Karena nilai $𝐷>0$, maka garis $𝑥+𝑦–2=0$ memotong lingkaran pada dua titik

Tambahan
Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut. $$\begin{align*} 𝑥^2−5𝑥−6=0 &\Leftrightarrow (𝑥−6)(𝑥+1)=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥−6=0 \text{ atau }𝑥+1=0\\&\Leftrightarrow 𝑥=6 \text{ atau }𝑥=-1 \end{align*}$$ Untuk $𝑥=−1\Rightarrow 𝑦=−(−1)+2 \Rightarrow 𝑦=3$
Untuk $𝑥=6\Rightarrow 𝑦=−(6)+2 \Rightarrow 𝑦=-4$
sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (–1, 3) dan titik (6, –4).

Contoh 2

Diketahui lingkaran dengan persamaan $𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0$. Tentukan kedudukan garis $𝑦=−2𝑥+17$ terhadap lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=−2𝑥+17$ ke pers. Lingkaran $𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0$ $$\begin{align*} &𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0\\&\Leftrightarrow 𝑥^2+(−2𝑥+17)^2−6𝑥−2(−2𝑥+17)−10=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2+4𝑥^2−68𝑥+289−6𝑥+4𝑥−34−10=0\\&\Leftrightarrow 5𝑥^2−70𝑥+245=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2−14𝑥+49=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai 𝑎=1, 𝑏=−14, dan 𝑐=49
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(−14)^2−4(1)(49)\\&=196-196\\&=0\rightarrow D=0 \end{align*}$$ $\therefore $ Karena nilai $𝐷=0$, maka garis $𝑦=−2𝑥+17$ menyinggung lingkaran

Contoh 3

Diketahui lingkaran dengan persamaan $𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0$. Tentukan nilai $𝑚$ jika garis $𝑦=𝑚𝑥+2$ menyinggung lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=𝑚𝑥+2$ ke pers. Lingkaran $𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0$ $$\begin{align*} &𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0\\&\Leftrightarrow 𝑥^2+(𝑚𝑥+2)^2−4𝑥−(𝑚𝑥+2)+3=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2+𝑚^2 𝑥^2+4𝑚𝑥+4−4𝑥−𝑚𝑥−2+3=0\\&\Leftrightarrow (1+𝑚^2 ) 𝑥^2+(3𝑚−4)𝑥+5=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai $𝑎=1+𝑚^2, 𝑏=3𝑚−4$, dan $𝑐=5$
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(3𝑚−4)^2−4(1+𝑚^2)(5)\\&=9𝑚^2−24𝑚+16−20−20𝑚^2\\&=−11𝑚^2−24𝑚−4 \end{align*}$$ Karena garis menyinggung lingkaran maka 𝐷=0 $$\begin{align*} −11𝑚^2−24𝑚−4=0&\Leftrightarrow(11)^2+24𝑚+4=0\\&\Leftrightarrow(11𝑚+2)(𝑚+2)=0\\&\Leftrightarrow 𝑚=-\frac{2}{11}\text{ atau }𝑚=−2 \end{align*}$$ $\therefore $ Jadi, nilai $m=-\frac{2}{11}$ atau $m=-2$.

Latihan

untuk memperdalam kemampuan dalam mempelajari materi ini silahkan dicoba latihan berikut ya

• Tentukan kedudukan garis $𝑦 = 2𝑥 + 8$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+4𝑥+2𝑦–20 =0$. Kemudian tentukan titik potongnya jika ada.