Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Y dan Z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbunya sebagai pangkal

Setelah pada sebelumnya telah mempelajari vektor pada bidang (R2), selanjutnya kita kembangkankan pembahasan kita mengenai vektor pada bangun ruang (R3). Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Y dan Z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbunya sebagai pangkal.

1. Penulisan Vektor di R3

Vektor pada ruang adalah vektor yang terletak di dalam ruang dimensi 3. Ruang ini dibentuk oleh 3 sumbu yaitu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Ketiga sumbu ini berpotongan tegak lurus. Hasil perpotongan ini adalah O. Selanjutnya, titik O disebut sebagai sumbu pusat. Perhatikan gambar kaidah jari tangan kanan di samping. kaidah jari tangan kanan Kaidah ini menerangkan beberapa hal, yaitu:

  1. Jari telunjuk menunjukkan sumbu Y. Bilangan-bilangan yang terletak setelah O dan searah telunjuk merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya berarti bilangan negatif.
  2. Ibu jari menunjukkan sumbu X. Bilangan yang searah ibu jari dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif.
  3. Jari tengah menunjukkan sumbu Z. Bilangan yang searah jari tengah dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif.

Perhatikan contoh gambar vektor ruang di samping. vektor ruang Vektor $\overrightarrow{OA}$ di samping merupakan vektor ruang dengan pangkal O (0, 0, 0) dan ujung A (1, 1, 1). Vektor osisi $\overrightarrow{OA}$ ini dapat ditulis dengan vektor kolom, menjadi: $$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 1 \\1 \\1 \end{pmatrix}$$

Vektor ruang dapat pula ditulis dalam satuan $\widehat{i},\widehat{j}$ dan $\widehat{k}$. Satuan $\widehat{i}$ sesuai dengan sumbu X, satuan $\widehat{j}$ sesuai dengan sumbu Y, dan satuan $\widehat{k}$ sesuai dengan sumbu Z. $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} 1 \\1 \\1 \end{pmatrix}$ dapat ditulis menjadi $1\widehat{i}+1\widehat{j}+1\widehat{k}=\widehat{i}+\widehat{j}+\widehat{k}$.

Catatan
Dua vektor atau lebih disebut koplaner jika terletak pada bidang yang sama.
Dua vektor atau lebih disebut kolinear jika terletak pada garis yang sama.

2. Modulus atau Besar vektor

Modulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor. Panjang Vektor $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} x \\y \\z\end{pmatrix}$ dirumuskan sebagai berikut. $\lvert \overrightarrow{OP} \rvert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Jika diketahui titik $A(x_1,y_1,z_1)$ dan $B(x_2,y_2,z_2)$, secara analitis, diperoleh komponen Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\y_2-y_1 \\z_2-y_1 \end{pmatrix}$. Sehingga panjang Vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat dirumuskan:

$$\lvert \overrightarrow{AB} \rvert=\sqrt{\left( x_2-x_1 \right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left( z_2-z_1 \right)^2}$$

Jika vektor $\vec{a}$ disajikan dalam bentuk linear $\vec{a}=a_1\widehat{i}+a_2\widehat{j}+a_3\widehat{k}$, maka modulus Vektor $\vec{a}$ adalah $\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}$

Contoh:
Tentukan modulus/besar vektor berikut!

  1. $\overrightarrow{AB}$ dengan titik A (1, 4, 6) dan B (3, 7, 9)
  2. $\vec{a}=2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$

Alternatif Penyelesaian

  1. Diketahui $\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\4 \\6\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{pmatrix}3 \\7 \\9 \\ \end{pmatrix}$ maka $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ $$\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\vec{b}-\vec{a} \\\overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix} 3 \\7 \\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\4 \\6\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix} 3-1 \\7-4 \\9-6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix}2 \\3 \\3\end{pmatrix} \end{align*}$$ Sehingga panjang vektor $\lvert \overrightarrow{AB} \rvert=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$
    Jadi, modulus vektor $\overrightarrow{AB}$ adalah $\sqrt{22}.$
  2. $\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}$
    Jadi, modulus vektor $\vec{a}$ adalah $\sqrt{14}.$

3. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan dan dinotasikan sebagai $e$. Vektor satuan dari vektor $\vec{a}$ didefinisikan vektor $\vec{a}$ dibagi dengan besar vektor $\vec{a}$ sendiri, yang dirumuskan dengan $${{e}_{\vec{a}}}=\frac{\vec{a}}{\lvert \vec{a} \rvert}=\frac{1}{\lvert \vec{a} \rvert}\vec{a}$$

Contoh:

Tentukan vektor satuan dari Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\4 \\\sqrt{5}\end{pmatrix}$

Alternatif penyelesaian:
Terlebih dahulu ditentukan panjang Vektor $\vec{a}$
$\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{2^2+4^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{25}=5$
$e_{\vec{a}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 \\4 \\\sqrt{5} \end{pmatrix}$
Jadi, Vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah $e_{\vec{a}}=\begin{pmatrix} {2}/{5} \\{4}/{5} \\{\sqrt{5}}/{5} \end{pmatrix}$

Selain vektor satuan terdapat vektor-vektor satuan yang sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat antara lain sebagai berikut.

  1. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu X dinotasikan $\widehat{i}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix},$
  2. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Y dinotasikan $\widehat{j}=\begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}$
  3. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Z dinotasikan $\widehat{k}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$

4. Vektor Posisi

Vektor posisi titik P yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0, 0, 0) dan berujung di titik P (x, y, z). Secara aljabar Vektor posisi $\overrightarrow{OP}$ atau $\vec{p}$ dapat ditulis sebagai berikut. $$\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=x\widehat{i}++y\widehat{j}+z\widehat{k}$$ Vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan titik pangkal $A(x_1,y_1,z_1)$ dan titik ujung $B(x_2,y_2,z_2)$, memiliki vektor posisi sebagai berikut.

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \\z_2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \\z_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\y_2-y_1 \\z_2-z_1 \end{pmatrix}$$

Contoh:

Diketahui titik $A(-5, 3, 4)$ dan titik $B(-2, 9, 1)$. Garis AB memotong bidang datar XY dititik C. Tentukan koordinat titik C!

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
$A(-5,3,4)\Rightarrow \vec{a}=\begin{pmatrix}-5 \\3 \\4 \end{pmatrix}$, $B(-2,9,1)\Rightarrow \vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\1 \end{pmatrix}$ C pada AB, sehinga vektor $\overrightarrow{AC}$ segaris dengan Vektor $\overrightarrow{AB}$. Oleh karena itu, $$\begin{align*} \overrightarrow{AC}&=k.\overrightarrow{AB} \\ \vec{c}-\vec{a}&=k(\vec{b}-\vec{a}) \\ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}&=k\left( \begin{pmatrix}-2 \\9 \\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5 \\3 \\4 \end{pmatrix} \right) \\ \begin{pmatrix}x+5 \\ y-3 \\ z-4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 3k \\ 6k \\ -3k \end{pmatrix} \end{align*}$$ Karena AB berada di bidang XY maka $z=0$ sehingga $$\begin{align*} z-4&=-3k \\ 0-4&=-3k \\ k&=\frac{4}{3} \end{align*}$$ $$\begin{align*} x+5&=3k \\ x+5&=3.\frac{4}{3} \\ x&=-1 \end{align*}$$ $$\begin{align*} y-3&=6k \\ y-3&=6.\frac{4}{3} \\ y&=11 \end{align*}$$ Jadi, Vektor posisi $\vec{c}=\begin{pmatrix}-1 \\11 \\0 \end{pmatrix}$ sehingga koordinat titik C adalah $C(-1,11,0)$  

Latihan 4

  1. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :

    1. $\vec{a} = \begin{pmatrix}4 \\-5 \\-3 \end{pmatrix}$
    2. $\vec{AB}$ dengan titik $A (-2 , 3 , -1)$ dan titik $B (2 , 1 , -4)$

  2. Diketahui vektor $\vec{PQ}$ dengan titik P $(2 , 5 , -4)$ dan $Q (1 , 0 , -3)$. Tentukan :

    1. Koordinat titik R jika $\vec{SR}$ sama dengan vektor $\vec{PQ}$ jika titik $S (2 , -2 , 4)$
    2. Koordinat titik N jika $\vec{MN}$ merupakan negatif vektor $\vec{PQ}$ jika titik $M (-1 , 3 , 2)$

  3. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :

    1. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
    2. $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
    3. $\vec{KL}$ dengan $K (3 , -2 , 1)$ dan $L (2 , -2 , 1)$
    4. $\vec{MN}$ dengan $M (2 , 1 , 2)$ dan $N (2 , 0 , 3)$

  4. Gambarlah vektor dengan titik $P (2 , -3 , 1)$ dan $Q (1 , 3 , -2)$

    1. Hitung modulus vektor $\vec{PQ}$
    2. Buat vektor negatif dari $\vec{PQ}$, kemudian hitung modulusnya/besarnya !
    3. Apa yang dapat Anda simpulkan dari pekerjaan di atas ?

  5. Jika titik $P (1 , 1 , 1)$ dan titik $Q (-1 , 4 , -6)$, tentukanlah :

    1. vektor posisi titik P dan titik Q
    2. komponen vektor $\vec{PQ}$
    3. negatif vektor $\vec{PQ}$
    4. vektor satuan $\vec{PQ}$

  6. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !

    1. $\vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\4 \\1 \end{pmatrix}$
    2. $\vec{w} = -\widehat{i} + 5\widehat{j} + \widehat{k}$
    3. $\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\0 \\5 \end{pmatrix}$