Pada artikel ini kita akan belajar tentang operasi pada vektor yaitu perkalian vektor atau dot product atau perkalian titik. Setelah sebelumnya kita belajar operasi pada vektor yaitu penjumlahan dan pengurangan pada vektor↝
dan perkalian vektor dengan skalar↝
, maka kali ini kita lanjutkan dengan pembahasan Perkalian Dot Vektor (Dot Product). Vektor dapat kita sajikan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut bisa kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Perkalian Dot Vektor. Sebelum lanjut kuasai materi panjang vektor↝
dulu ya.
Dot vektor disebut pula sebagai perkalian skalar antara dua vektor, sebab meskipun kedua unsur yang dikalikan berupa vektor namun hasil kalinya berupa skalar. Lambang perkaliannya digunakan tanda titik (.).
Definisi:
Secara geometri Perkalian Dot (perkalian titik)
u⋅v=∣u∣∣v∣cosθ dengan u⋅v dibaca ”vektor u dot vektor v” atau cukup dengan “u dot v” saja.
Contoh Perkalian Dot Vektor secara geometri:
Tentukan u⋅v jika u=(02) dan v=(44)!
Alternatif Penyelesaian Berdasarkan gambar dan definisi dot vektor,
u=(02), v=(44) dan tentu θ=45∘. Maka
u⋅vu⋅vu⋅vu⋅vu⋅v=∣u∣∣v∣cosθ→Definisi=(02)(44)cos45∘=02+22.42+42.212=2.42.212=8
Dalil
Secara aljabar Perkalian Dot (perkalian titik)
Jika u=(a1,a2,a3,...,an) dan v=(b1,b2,b3,...,bn) adalah sebarang Vektor pada Rn, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah u⋅v=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
Dari dalil diatas, maka berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
Jika u=a1a2 dan v=b1b2 Vektor-vektor pada R2 maka u⋅v=a1b1+a2b2
Jika u=a1a2a3 dan v=b1b2b3 Vektor-vektor pada R3 maka u⋅v=a1b1+a2b2+a3b3
Catatan :
Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.
Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:
a⋅b=b⋅a
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
a⋅a=∣a∣2
a⊥b⇒a⋅b=0
Contoh Soal Perkalian Dot Vektor 1
Diketahui vektor a=(−1,2,3) , b=(2,0,−2) , dan c=(1,−3,4). Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut:
a.b dan b.c
a(b−c)
b(a−c)
(a−b).(b+c)
Penyelesaian :
Menentukan a.b dan b.ca.bb.c=(−1,2,3).(2,0,−2)=−1.2+2.0+3.(−2)=−2+0−6=−8=(2,0,−2).(1,−3,4)=2.1+0.(−3)+−2.4=2+0−8=−6
Contoh Soal Perkalian Dot Vektor dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus
Diketahui vektor a=k22,b=2−53 dan c=21−1. Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka tentukan nilai dari 2a⋅(b−3c)
Penyelesaian :a⊥b⇒⇔⇔⇔⇔⇔a⋅bk22⋅2−532k−10+62k+42kk=0=0=0=0=4=2
Dengan demikian diperoleh:
a=222
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
a⊥b=0a⋅c=222⋅21−1=(2⋅2)+(2⋅1)+(2⋅−1)=4+2−2=42a⋅(b−3c)=2a⋅b−2a⋅3c=2(a⋅b)−6(a⋅c)=2(0)−6(4)=−24
Jadi nilai 2a⋅(b−3c)=−24
Contoh Soal Perkalian Dot Vektor yang Tegak Lurus
Diketahui vektor-vektor p=(m,2,6) , q=(−1,n,0) dan r=(6k,3,7). Jika p⊥q dan q⊥r , maka tentukan nilai 16(m2n2+k2)+2012 ! Keterangan : simbol ⊥ artinya tegak lurus. Penyelesaian :
Menentukan hubungan m,n, dan k :
p tegak lurus qp.q=0→−m+2n+0=0→m=2n….(1)
q tegak lurus rq.r=0→−6k+3n+0=0→k=2n….(2)
Menentukan hasil akhir dengan pers(1) dan pers(2) :
16(m2n2+k2)+2012=16((2n)2n2+(2n)2)+2012=16(4n2n2+4n2)+2012=16(4n2n2+4n2×44)+2012=16(16n24n2+n2)+2012=16(16n25n2)+2012=16(165)+2012=5+2012=2017
Jadi, nilai 16(m2n2+k2)+2012=2017.
Sudut Antara 2 Vektor
Dari definisi dan dalil diatas maka kita dapat mencari besar sudut antara dua vektor.
Contoh:
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor u=(62) dan v=(34)!
Alternatif Penyelesaian: u=(62)→u1=6,u2=2v=(34)→v1=6,v2=2cosθ=∣u∣∣v∣u⋅vcosθ=∣u∣∣v∣u1v1+u2v2cosθ=62+22.32+426.3+2.4cosθ=40.1526cosθ=101026≈31,6226≈0,822θ≈arccos(0,822)θ≈34,71
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah 37,41∘