Pelajari konsep sudut pusat dan sudut keliling dalam lingkaran dengan latihan soal lengkap dan pembahasannya. Cocok untuk siswa yang ingin memahami materi matematika dengan mudah!

Pengertian Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Dalam geometri lingkaran, terdapat dua jenis sudut yang sering digunakan, yaitu sudut pusat dan sudut keliling.

  • Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
  • Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur dengan titik sudutnya berada pada keliling lingkaran.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Rumus utama yang perlu diingat dalam hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah:

$$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling}$$

Artinya, sudut pusat selalu dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Latihan Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

  1. Amatilah gambar berikut! Soal sudut Pusat Keliling Titik O merupakan pusat lingkaran dan $m∠CAO = 40°$. Besar ∠ABC adalah ….

    1. 50°
    2. 65°
    3. 70°
    4. 75°
    5. 80°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    $∠CAO$ adalah sudut antara jari-jari dan tali busur. Sudut pusatnya $m∠AOB$ adalah $180° - (2 × m∠CAO) = 180° - (2 × 40°) = 180°-80° = 100°$.

    Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama setengah sudut pusat, maka $m∠ABC = 50°$. A ❤️

  2. Amatilah gambar di berikut! Soal sudut Pusat Keliling

    Nilai $x$ adalah ….

    1. 28
    2. 30
    3. 33
    4. 36
    5. 38

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:

    • Sudut keliling ∠ABC = 60°
    • Sudut pusat ∠AOC = (4x - 12)°

    Dari hubungan sudut pusat dan sudut keliling:
    $$\begin{align*} \text{Sudut pusat} &= 2 \times \text{Sudut keliling}\\‍‍ \Leftrightarrow (4x - 12) & = 2 \times 60‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍\\ \Leftrightarrow 4x - 12 &= 120‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍\\ \Leftrightarrow 4x &= 132‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍\\ \Leftrightarrow x &= 33‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍\end{align*}$$

    Jadi, nilai $x$ adalah 33. C ❤️

  3. Titik A, B, dan C terletak pada lingkaran yang berpusat di P. Jika AB adalah diameter lingkaran dan besar ∠CAB = 30°, besar ∠CPB adalah ….

    1. 15°
    2. 30°
    3. 60°
    4. 90°
    5. 120°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    ∠CAB adalah sudut keliling yang menghadap diameter, maka m∠ACB = 90° (karena sudut keliling yang menghadap diameter selalu 90°).

    ∠CPB adalah sudut pusat yang menghadap busur CB, sehingga 2 × m∠ACB = 2 × 30° = 60°.

    Jawaban: c. 60°

  4. Diketahui m∠CAB : m∠ACB = 5 : 4. Besar ∠ACB adalah …. Soal sudut Pusat Keliling

    1. 60°
    2. 50°
    3. 40°
    4. 35°
    5. 30°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Misal m∠CAB = 5x dan m∠ACB = 4x.
    Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, maka:
    $$\begin{align*}5x + 4x + 90° = 180° \\ 9x = 90° \\ x = 10° \end{align*}$$

    $m∠ACB = 4x = 4 × 10° = 40°$

    Jawaban: c. 40°

  5. Besar ∠ABD pada gambar berikut adalah …. Soal sudut Pusat Keliling

    1. 70°
    2. 68°
    3. 65°
    4. 60°
    5. 58°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:

    • ∠COD = 44°
    • ∠AOD berpelurus dengan ∠COD, sehingga:
      $$\begin{align*}∠AOD &= 180° - ∠COD \\ \Leftrightarrow ∠AOD &= 180° - 44° \\ &= 136°\end{align*}$$

    Karena ∠ABD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan ∠AOD, maka:
    $$ \begin{align*}∠ABD &= \frac{1}{2} \times ∠AOD \\ \Leftrightarrow ∠ABD &= \frac{1}{2} \times 136° \\ &= 68° \end{align*}$$

    Jawaban:
    b. 68° ✅

  6. Amatilah gambar berikut! Soal sudut Pusat Keliling Jika m∠RPQ = 25° dan m∠SQR = 40°, besar ∠QRS adalah ….

    1. 115°
    2. 110°
    3. 105°
    4. 100°
    5. 95°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:

    • ∠RPQ = 25°
    • ∠SQR = 40°

    Ditanyakan ∠QRS

    Penyelesaian: Dalam segiempat tali busur $PQRS$, jumlah sudut yang berhadapan adalah 180°, sehingga berlaku:
    $$∠QRS + ∠RPQ + ∠SQR = 180°$$ Substitusi nilai yang diketahui:
    $$\begin{align*} ∠QRS + 25° + 40° &= 180° \\ ∠QRS + 65° &= 180° \\ ∠QRS &= 115° \end{align*}$$

    Jawaban:
    ✅ a. 115°

  7. Amatilah gambar di samping! Soal sudut Pusat Keliling Besar ∠CBD adalah ….

    1. 35°
    2. 40°
    3. 45°
    4. 50°
    5. 55°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:

    • ∠ACD = 50°
    • ADC menghadap diameter AC, sehingga ∠ADC adalah sudut segitiga dalam setengah lingkaran dan selalu 90° (karena sudut di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku).
    • Ditanyakan ∠CBD

    Penyelesaian:

    Dalam segitiga ACD:
    $$∠ACD + ∠CAD + ∠ADC = 180°\\ 50° + ∠CAD + 90° = 180° \\ ∠CAD = 40°$$

    Karena ∠CBD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan ∠CAD, maka:
    $$∠CBD = ∠CAD = 40°$$

    Jawaban:
    ✅ b. 40°

  8. Amatilah gambar berikut! Soal sudut Pusat Keliling

    Titik O adalah pusat lingkaran. Jika m∠CAD = 35° dan m∠AFE = 105°, besar ∠AOB adalah ….

    1. 110°
    2. 90°
    3. 70°
    4. 50°
    5. 40°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui dalam soal:

    • ∠CAD = 35°
    • ∠AFE = 105°
    • Titik O adalah pusat lingkaran
    • Ditanyakan: ∠AOB

    Menggunakan konsep sudut antara dua tali busur yang berpotongan dalam lingkaran:
    $$\begin{align*} \angle AFE &= \frac{1}{2} (\text{busur } CD + \text{busur } AE)\\ 105° &= \frac{1}{2} (2 \times 35° + \angle AOE) \\ 210° &= 70° + \angle AOE \\ \angle AOE &= 140°\end{align*} $$

    Menggunakan konsep sudut berpelurus:
    Karena ∠AOB dan ∠AOE adalah sudut berpelurus:
    $$\angle AOB = 180° - \angle AOE\\\angle AOB = 180° - 140°\\ \angle AOB = 40° $$

  9. Amatilah gambar berikut! Soal sudut Pusat Keliling

    Diketahui m∠ACD = 34°. Hasil dari m∠AOD + m∠ABD adalah ….

    1. 68°
    2. 85°
    3. 102°
    4. 119°
    5. 136°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Diketahui:

    • ∠ACD = 34°
    • Ditanyakan: ∠AOD + ∠ABD

    Langkah Penyelesaian:

    • Menentukan ∠AOD (Sudut Pusat)
      Dalam lingkaran, sudut pusat AOD yang menghadap busur yang sama dengan sudut keliling ACD memiliki hubungan:
      $$ \angle AOD = 2 \times \angle ACD \\
      \angle AOD = 2 \times 34^\circ = 68^\circ $$

    • Menentukan ∠ABD (Sudut Keliling yang Menghadap Busur AD)
      Sudut keliling ABD yang menghadap busur AD memiliki hubungan:

      $\angle ABD = \angle ACD$

      $\angle ABD = 34^\circ $

    • Menjumlahkan ∠AOD dan ∠ABD:
      $\angle AOD + \angle ABD = 68^\circ + 34^\circ = 102^\circ$

    c. 102° ✅

  10. Titik A, B, C berada pada keliling lingkaran dengan pusat O. Jika ∠BAC = 40°, berapakah sudut pusat ∠BOC?

    1. 40°
    2. 60°
    3. 80°
    4. 90°

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    $ \text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling} $

    $ ∠BOC = 2 \times 40° = 80° $

    Jawaban: C. 80°

Kesimpulan

  • Sudut pusat selalu dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
  • Sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat.
  • Hubungan ini sangat penting dalam menyelesaikan berbagai soal tentang lingkaran.

Semoga latihan soal ini bermanfaat! Jangan lupa untuk terus berlatih agar semakin mahir dalam memahami konsep sudut pusat dan sudut keliling. 😊