Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang persamaan lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran.
Daftar Isi
Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang persamaan lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Kita mulai dari kedudukan titik terhadap lingkaran. Jika titik P(x1β,y1β) sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari r maka ada tiga posisi titik P terhadap lingkaran L yaitu
Titik P terletak pada lingkaran
Titik P di dalam lingkaran dan
Titik P diluar lingkaran
Untuk memahami materi ini perlu diingat tentang persamaan lingkaran yaitu:
persamaan lingkaran dengan pusatnya O(0,0) dan jari-jari r maka persamaannya adalah x2+y2=r2
persamaan baku lingkaran yaitu jika pusatnya P(a,b) dan jari-jari r maka persamaannya adalah (xβa)2+(yβb)2=r2
persamaan umum lingkaran yaitu x2+y2+Ax+By+C=0 dengan pusat P(β21βA,β21βB) dan jari-jari r=(21βA)2+(21βB)2βCβ
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
1. Titik di dalam lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik B(x,y) terletak di dalam lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang PB<r oleh karena itu
jika pusat O(0,0) maka x2+y2<r2
jika pusat P(a,b) atau persamaan baku lingkaran maka (xβa)2+(yβb)2<r2
pada persamaan umum lingkaran x2+y2+Ax+By+C<0
2. Titik pada lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik C(x,y) terletak tepat pada lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang PC=r oleh karena itu
jika pusat O(0,0) maka x2+y2=r2
jika pusat P(a,b) atau persamaan baku lingkaran maka (xβa)2+(yβb)2=r2
pada persamaan umum lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0
3. Titik di luar lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik D(x,y) terletak di luar lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang PD>r oleh karena itu
jika pusat O(0,0) maka x2+y2>r2
jika pusat P(a,b) atau persamaan baku lingkaran maka (xβa)2+(yβb)2>r2
pada persamaan umum lingkaran x2+y2+Ax+By+C>0
Contoh 1
Tentukan kedudukan titik π΄(β3,5), π΅(7,6), dan πΆ(1,β2) terhadap lingkaran x2+y2=34.
Pembahasan
Substitusi titik π΄, π΅, dan πΆ ke pers. lingkaran x2+y2 (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai r2=34 (di ruas kanan).
A(β3,5)=A(xaβ,yaβ) sehingga xaβ=β3 dan yaβ=5xa2β+ya2βxa2β+ya2βxa2β+ya2ββ=(β3)2+52=9+25=34=r2β
Karena 34=r2 Berarti titik π΄(β3, 5) terletak pada lingkaran.
B(7,6)=B(xbβ,ybβ) sehingga xbβ=7 dan ybβ=6xb2β+yb2βxb2β+yb2βxa2β+ya2ββ=72+62=49+36=75>r2β
Karena 75>r2 Berarti titik π΅(7,6) terletak diluar lingkaran.
C(1,β2)=C(xcβ,ycβ) sehingga xcβ=1 dan ycβ=β2xc2β+yc2βxc2β+yc2βxa2β+ya2ββ=12+(β2)2=1+4=5<r2β
Karena 5<r2 Berarti titik πΆ(1, β2) terletak di dalam lingkaran.
Contoh 2
Tentukan kedudukan titik π΄(7, 5) terhadap lingkaran berpusat di titik (1, 3) dengan jari-jari 5.
Pembahasan menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan memiliki jari-jari π adalah (xβa)2+(yβb)2=r2. Titik Pusat (1,3) dan jari r=5(xβ1)2+(yβ3)2=52(xβ1)2+(yβ3)2=25β
Substitusi titik A(7,5) ke pers. lingkaran (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai r2=25 (di ruas kanan).
(xaββa)2+(yaββb)2β=(7β1)2+(5β3)2=62+22=36+4=40β40>r2β
Karena 40>r2, berarti titik A(7,5) terletak di luar lingkaran.
Contoh 3
Tentukan kedudukan titik P(1,2) terhadap lingkaran x2+y2β8x+12y+36=0.
Pembahasan substitusikan titik P(1,2) kedalam x2+y2β8x+12y+36 kemudian bandingkan dengan 0. x2+y2β8x+12y+36β=12+22β8(1)+12(2)+36=1+4β8+24+36=57β57>0β
Karena 57>0, berarti titik P(1,2) terletak di luar lingkaran.
Contoh 4
Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran 3x2+3y2+axβ6yβ9=0, tentukan:
nilai a
pusat dan jari-jari lingkaran.
Alternatif Penyelesaian
Titik (1, 3) terletak pada lingkaran 3x2+3y2+axβ6yβ9=0 sehingga
3(1)2+3(3)2+a(1)β6(3)β93+27+aβ18β9a+3aβ=0=0=0=β3β
Pers. lingkaran 3x2+3y2β3xβ6yβ9=0 berarti persamaan umum lingkarannya x2+y2βxβ2yβ3=0 Diperoleh A=β1,B=β2,C=β3 Pusatnya adalah (β21βA,β21βB)=(β21β(β1),β21β(β2))=(21β,1) Jari-jari r=a2+b2βCβrβ=(21β)2+12β(β3)β=41β+1+3)β=417ββ=21β17ββ