Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang persamaan lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Kita mulai dari kedudukan titik terhadap lingkaran. Jika titik $P(x_1,y_1)$ sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari $r$ maka ada tiga posisi titik $P$ terhadap lingkaran L yaitu

  1. Titik P terletak pada lingkaran
  2. Titik P di dalam lingkaran dan
  3. Titik P diluar lingkaran

Untuk memahami materi ini perlu diingat tentang persamaan lingkaran yaitu:

  1. persamaan lingkaran dengan pusatnya O(0,0) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $x^2+y^2=r^2$
  2. persamaan baku lingkaran yaitu jika pusatnya P(a,b) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
  3. persamaan umum lingkaran yaitu $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan pusat $P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r=\sqrt{(\frac{1}{2}A)^2+(\frac{1}{2}B)^2-C}$

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Kedudukan titik terhadap lingkaran

1. Titik di dalam lingkaran

Perhatikan gambar berikut titik di dalam lingkaran misalkan titik $B(π‘₯, 𝑦)$ terletak di dalam lingkaran yang berjari-jari π‘Ÿ dengan pusat P. Maka panjang $PB<r$ oleh karena itu

  • jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2<r^2$
  • jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$
  • pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C<0$

2. Titik pada lingkaran

Perhatikan gambar berikut titik pada lingkaran misalkan titik $C(π‘₯, 𝑦)$ terletak tepat pada lingkaran yang berjari-jari π‘Ÿ dengan pusat P. Maka panjang $PC=r$ oleh karena itu

  • jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2=r^2$
  • jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
  • pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

3. Titik di luar lingkaran

Perhatikan gambar berikut titik di luar lingkaran misalkan titik $D(π‘₯, 𝑦)$ terletak di luar lingkaran yang berjari-jari π‘Ÿ dengan pusat P. Maka panjang $PD>r$ oleh karena itu

  • jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2>r^2$
  • jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2$
  • pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C>0$

Contoh 1

Tentukan kedudukan titik 𝐴(βˆ’3,5), 𝐡(7,6), dan 𝐢(1,βˆ’2) terhadap lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2=34$.

Pembahasan

Substitusi titik 𝐴, 𝐡, dan 𝐢 ke pers. lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2$ (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai $π‘Ÿ^2=34$ (di ruas kanan).

  • $𝐴(βˆ’3,5)=𝐴(π‘₯_π‘Ž, 𝑦_π‘Ž)$ sehingga $π‘₯_π‘Ž = βˆ’3$ dan $𝑦_π‘Ž=5$ $$\begin{align*} π‘₯_π‘Ž^2+𝑦_π‘Ž^2&=(βˆ’3)^2+5^2\\π‘₯_π‘Ž^2+𝑦_π‘Ž^2&=9+25\\π‘₯_π‘Ž^2+𝑦_π‘Ž^2&=34=r^2 \end{align*}$$ Karena $34=r^2$ Berarti titik 𝐴(βˆ’3, 5) terletak pada lingkaran.
  • $𝐡(7,6)=𝐡(π‘₯_𝑏, 𝑦_𝑏)$ sehingga $π‘₯_𝑏=7$ dan $𝑦_𝑏=6$ $$\begin{align*} π‘₯_𝑏^2+𝑦_𝑏^2&=7^2+6^2\\π‘₯_𝑏^2+𝑦_𝑏^2&=49+36\\π‘₯_π‘Ž^2+𝑦_π‘Ž^2&=75>r^2 \end{align*}$$ Karena $75>r^2$ Berarti titik 𝐡(7,6) terletak diluar lingkaran.
  • $𝐢(1,βˆ’2)=𝐢(π‘₯_𝑐, 𝑦_𝑐)$ sehingga $π‘₯_𝑐=1$ dan $𝑦_𝑐=βˆ’2$ $$\begin{align*} π‘₯_𝑐^2+𝑦_𝑐^2&=1^2+(βˆ’2)^2\\π‘₯_𝑐^2+𝑦_𝑐^2&=1+4\\π‘₯_π‘Ž^2+𝑦_π‘Ž^2&=5<r^2 \end{align*}$$ Karena $5<r^2$ Berarti titik 𝐢(1, βˆ’2) terletak di dalam lingkaran.

Contoh 2

Tentukan kedudukan titik 𝐴(7, 5) terhadap lingkaran berpusat di titik (1, 3) dengan jari-jari 5.

Pembahasan
menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $𝑃(π‘Ž, 𝑏)$ dan memiliki jari-jari π‘Ÿ adalah $(π‘₯βˆ’π‘Ž)^2+(π‘¦βˆ’π‘)^2=π‘Ÿ^2$.
Titik Pusat (1,3) dan jari $π‘Ÿ=5$ $$\begin{align*} (π‘₯βˆ’1)^2+(π‘¦βˆ’3)^2=5^2\\(π‘₯βˆ’1)^2+(π‘¦βˆ’3)^2=25 \end{align*}$$ Substitusi titik $𝐴(7,5)$ ke pers. lingkaran (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai $π‘Ÿ^2=25$ (di ruas kanan). $$\begin{align*} (π‘₯_π‘Žβˆ’π‘Ž)^2+(𝑦_π‘Žβˆ’π‘)^2&=(7βˆ’1)^2+(5βˆ’3)^2\\&=6^2+2^2\\&=36+4\\&=40\rightarrow 40>r^2 \end{align*}$$ Karena $40>r^2$, berarti titik $𝐴(7,5)$ terletak di luar lingkaran.

Contoh 3

Tentukan kedudukan titik $𝑃(1,2)$ terhadap lingkaran $π‘₯^2+𝑦^2–8π‘₯+12𝑦+36=0$.

Pembahasan
substitusikan titik $𝑃(1, 2)$ kedalam $π‘₯^2+𝑦^2–8π‘₯+12𝑦+36$ kemudian bandingkan dengan 0.
$$\begin{align*} π‘₯^2+𝑦^2–8π‘₯+12𝑦+36&=1^2+2^2–8(1)+12(2)+36\\&=1+4-8+24+36\\&=57\rightarrow 57>0 \end{align*}$$ Karena $57>0$, berarti titik $𝑃(1, 2)$ terletak di luar lingkaran.

Contoh 4

Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran $3π‘₯^2+3𝑦^2+π‘Žπ‘₯–6𝑦–9=0$, tentukan:

  1. nilai a
  2. pusat dan jari-jari lingkaran.

Alternatif Penyelesaian

  1. Titik (1, 3) terletak pada lingkaran $3π‘₯^2+3𝑦^2+π‘Žπ‘₯–6𝑦–9=0$ sehingga $$\begin{align*} 3(1)^2+3(3)^2+π‘Ž(1)–6(3)–9&=0\\3+27+π‘Žβ€“18–9&=0\\π‘Ž+3&=0\\ a&=-3 \end{align*}$$
  2. Pers. lingkaran $3π‘₯^2+3𝑦^2βˆ’3π‘₯–6𝑦–9=0$ berarti persamaan umum lingkarannya $π‘₯^2+𝑦^2βˆ’π‘₯–2𝑦–3=0 $
    Diperoleh $𝐴=βˆ’1, 𝐡=βˆ’2, 𝐢=βˆ’3$
    Pusatnya adalah $(βˆ’\frac{1}{2}A,βˆ’\frac{1}{2}B)=(βˆ’\frac{1}{2}(-1),βˆ’\frac{1}{2}(-2))=(\frac{1}{2},1)$
    Jari-jari $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$ $$\begin{align*} r&=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+1^2βˆ’(βˆ’3)}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}+1+3)}\\&=\sqrt{\frac{17}{4}}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{17} \end{align*}$$