Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang persamaan lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Kita mulai dari kedudukan titik terhadap lingkaran. Jika titik $P(x_1,y_1)$ sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari $r$ maka ada tiga posisi titik $P$ terhadap lingkaran L yaitu
- Titik P terletak pada lingkaran
- Titik P di dalam lingkaran dan
- Titik P diluar lingkaran
Untuk memahami materi ini perlu diingat tentang persamaan lingkaran yaitu:
- persamaan lingkaran dengan pusatnya O(0,0) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $x^2+y^2=r^2$
- persamaan baku lingkaran yaitu jika pusatnya P(a,b) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- persamaan umum lingkaran yaitu $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan pusat $P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r=\sqrt{(\frac{1}{2}A)^2+(\frac{1}{2}B)^2-C}$
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
1. Titik di dalam lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik $B(π₯, π¦)$ terletak di dalam lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang $PB<r$ oleh karena itu
- jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2<r^2$
- jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$
- pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C<0$
2. Titik pada lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik $C(π₯, π¦)$ terletak tepat pada lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang $PC=r$ oleh karena itu
- jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2=r^2$
- jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
3. Titik di luar lingkaran
Perhatikan gambar berikut
misalkan titik $D(π₯, π¦)$ terletak di luar lingkaran yang berjari-jari π dengan pusat P. Maka panjang $PD>r$ oleh karena itu
- jika pusat $O(0,0)$ maka $x^2+y^2>r^2$
- jika pusat $P(a,b)$ atau persamaan baku lingkaran maka $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2$
- pada persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C>0$
Contoh 1
Tentukan kedudukan titik π΄(β3,5), π΅(7,6), dan πΆ(1,β2) terhadap lingkaran $π₯^2+π¦^2=34$.
Pembahasan
Substitusi titik π΄, π΅, dan πΆ ke pers. lingkaran $π₯^2+π¦^2$ (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai $π^2=34$ (di ruas kanan).
- $π΄(β3,5)=π΄(π₯_π, π¦_π)$ sehingga $π₯_π = β3$ dan $π¦_π=5$ $$\begin{align*} π₯_π^2+π¦_π^2&=(β3)^2+5^2\\π₯_π^2+π¦_π^2&=9+25\\π₯_π^2+π¦_π^2&=34=r^2 \end{align*}$$ Karena $34=r^2$ Berarti titik π΄(β3, 5) terletak pada lingkaran.
- $π΅(7,6)=π΅(π₯_π, π¦_π)$ sehingga $π₯_π=7$ dan $π¦_π=6$ $$\begin{align*} π₯_π^2+π¦_π^2&=7^2+6^2\\π₯_π^2+π¦_π^2&=49+36\\π₯_π^2+π¦_π^2&=75>r^2 \end{align*}$$ Karena $75>r^2$ Berarti titik π΅(7,6) terletak diluar lingkaran.
- $πΆ(1,β2)=πΆ(π₯_π, π¦_π)$ sehingga $π₯_π=1$ dan $π¦_π=β2$ $$\begin{align*} π₯_π^2+π¦_π^2&=1^2+(β2)^2\\π₯_π^2+π¦_π^2&=1+4\\π₯_π^2+π¦_π^2&=5<r^2 \end{align*}$$ Karena $5<r^2$ Berarti titik πΆ(1, β2) terletak di dalam lingkaran.
Contoh 2
Tentukan kedudukan titik π΄(7, 5) terhadap lingkaran berpusat di titik (1, 3) dengan jari-jari 5.
Pembahasan
menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $π(π, π)$ dan memiliki jari-jari π adalah $(π₯βπ)^2+(π¦βπ)^2=π^2$.
Titik Pusat (1,3) dan jari $π=5$
$$\begin{align*}
(π₯β1)^2+(π¦β3)^2=5^2\\(π₯β1)^2+(π¦β3)^2=25
\end{align*}$$
Substitusi titik $π΄(7,5)$ ke pers. lingkaran (ruas kiri), kemudian membandingkan dengan nilai $π^2=25$ (di ruas kanan).
$$\begin{align*}
(π₯_πβπ)^2+(π¦_πβπ)^2&=(7β1)^2+(5β3)^2\\&=6^2+2^2\\&=36+4\\&=40\rightarrow 40>r^2
\end{align*}$$
Karena $40>r^2$, berarti titik $π΄(7,5)$ terletak di luar lingkaran.
Contoh 3
Tentukan kedudukan titik $π(1,2)$ terhadap lingkaran $π₯^2+π¦^2β8π₯+12π¦+36=0$.
Pembahasan
substitusikan titik $π(1, 2)$ kedalam $π₯^2+π¦^2β8π₯+12π¦+36$ kemudian bandingkan dengan 0.
$$\begin{align*}
π₯^2+π¦^2β8π₯+12π¦+36&=1^2+2^2β8(1)+12(2)+36\\&=1+4-8+24+36\\&=57\rightarrow 57>0
\end{align*}$$
Karena $57>0$, berarti titik $π(1, 2)$ terletak di luar lingkaran.
Contoh 4
Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran $3π₯^2+3π¦^2+ππ₯β6π¦β9=0$, tentukan:
- nilai a
- pusat dan jari-jari lingkaran.
Alternatif Penyelesaian
- Titik (1, 3) terletak pada lingkaran $3π₯^2+3π¦^2+ππ₯β6π¦β9=0$ sehingga $$\begin{align*} 3(1)^2+3(3)^2+π(1)β6(3)β9&=0\\3+27+πβ18β9&=0\\π+3&=0\\ a&=-3 \end{align*}$$
- Pers. lingkaran $3π₯^2+3π¦^2β3π₯β6π¦β9=0$ berarti persamaan umum lingkarannya $π₯^2+π¦^2βπ₯β2π¦β3=0 $
Diperoleh $π΄=β1, π΅=β2, πΆ=β3$
Pusatnya adalah $(β\frac{1}{2}A,β\frac{1}{2}B)=(β\frac{1}{2}(-1),β\frac{1}{2}(-2))=(\frac{1}{2},1)$
Jari-jari $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$ $$\begin{align*} r&=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+1^2β(β3)}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}+1+3)}\\&=\sqrt{\frac{17}{4}}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{17} \end{align*}$$