Operasi Vektor dalam Matematika

Daftar Isi

1. Penjumlahan Dua Vektor

Jumlah dua vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan. Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu:

  1. Aturan segitiga Aturan Segitiga
  2. Aturan jajar genjang Aturan Jajargenjang

Pada penjumlahan Vektor berlaku:

  1. Sifat komutatif
    a‾+b‾=b‾+a‾ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}
  2. Sifat asosiatif
    (a‾+b‾)+c‾=a‾+(b‾+c‾) \left( \overline{a}+\overline{b} \right)+\overline{c}=\overline{a}+\left( \overline{b}+\overline{c} \right)
  3. Elemen identitas, yaitu Vektor nol
    a‾+0‾=a‾=0‾+a‾ \overline{a}+\overline{0}=\overline{a}=\overline{0}+\overline{a}
  4. Invers tambah
    a‾+(−a‾)=0‾ \overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0}

2. Resultan dari beberapa vektor

Mengingat aturan segitiga dan sifat asosiatif penjumlahan vektor, maka kita dapat melakukan penjumlahan Vektor dengan cara polygon. Resultan Vektor

3. Selisih Dua Vektor

Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. a‾−b‾=a‾+(−b‾) \overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+(-\overline{b}) a‾ \overline{a} dikurangi b‾ \overline{b} sama dengan a‾ \overline{a} ditambah lawan dari b‾ \overline{b} . Hal ini diperjelas secara geometri sebagai berikut Selisih Dua Vektor

4. Perkalian Vektor dengan Scalar

Hasil kali vektor a‾ \overline{a} dengan skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a‾ \overline{a} dan arahnya bergantung dengan nilai k. Perkalian Vektor Pada gambar diatas AB→=a‾, CD→=2a‾, QP→=−a‾, \overrightarrow{AB}=\overline{a},\text{ }\overrightarrow{CD}=2\overline{a},\text{ }\overrightarrow{QP}=-\overline{a}, dan KR→=−3a‾ \overrightarrow{KR}=-3\overline{a} maka CD→=2AB→ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} dan KR→=3QP→ \overrightarrow{KR}=3\overrightarrow{QP} atau KR→=−3AB→ \overrightarrow{KR}=-3\overrightarrow{AB} .
Dari sini dapat dimengerti bahwa ada 3 kemungkinan hasil kali suatu vektor dengan skalar k yaitu

  1. Jika k>0 k>0 maka k.a‾ k.\overline{a} adalah suatu vektor yang panjangnya k k kali Vektor a‾ \overline{a} dan searah dengan a‾ \overline{a}
  2. Jika k=0 k=0 maka k.a‾ k.\overline{a} adalah Vektor nol
  3. Jika k<0 k<0 maka k.a‾ k.\overline{a} adalah suatu vektor yang panjangnya k k kali Vektor a‾ \overline{a} dan berlawanan arah dengan a‾ \overline{a}

Jika a‾ \overline{a} suatu Vektor tak nol dan n,p∈R n,p\in R maka berlaku:

  1. na‾=∣n∣.∣a‾∣ n\overline{a}=\left| n \right|.\left| \overline{a} \right|
  2. n(−a‾)=−na‾ n(-\overline{a})=-n\overline{a}
  3. na‾=a‾n n\overline{a}=\overline{a}n
  4. (np)a‾=n(pa‾) (np)\overline{a}=n(p\overline{a})
  5. (n+p)a‾=na‾+pa‾ (n+p)\overline{a}=n\overline{a}+p\overline{a}
  6. n(a‾+b‾)=na‾+nb‾ n(\overline{a}+\overline{b})=n\overline{a}+n\overline{b}

5. Vektor Posisi

Vektor posisi dari titik A terhadap titik pusat O ditulis OA→ \overrightarrow{OA} atau a‾ \overline{a} . Gambar menunjukkan posisi dari titik A, B, dan C terhadap pusat O, ditulis OA→,OB→, \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}, dan OC→ \overrightarrow{OC} . Vektor OA→,OB→, \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}, dan OC→ \overrightarrow{OC} disebut vektor posisi dari titik A, B, dan C. Vektor posisi dari titik A, B, dan C sering ditulis dengan huruf kecil a‾,b‾, \overline{a},\overline{b}, dan c‾ \overline{c} . Vektor Posisi Perhatikan ∆ABO, terlihat bahwa AB→=AO→+OB→AB→=−OA→+OB→AB→=OB→−OA→ \begin{align*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} \\ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \end{align*} ∴AB→=b‾−a‾ \therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}

Contoh

Contoh Menggambar vektor

Diketahui vektor a‾,b‾, \overline{a},\overline{b}, dan c‾ \overline{c} digambarkan sebagai berikut Menggambar Vektor Gambarlah diagram vektor diatas yang menunjukkan 2a‾+12b‾−23c‾ 2\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}-\frac{2}{3}\overline{c} Alternatif penyelesaian Menggambar Vektor Jawaban

Contoh Pembuktian vektor dengan aturan penjumlahan

Buktikan dengan aturan penjumlahan bahwa AD→+BC→=AC→+BD→ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}

Alternatif Penyelesaian
(AD→+BC→)−(AC→+BD→)=O→AD→+BC→−AC→−BD→=O→(AD→−AC→)+(BC→−BD→)=O→(CA→+AD→)+(DB→−BC→)=O→CD→+DC→=O→CC→=O→ \begin{align*} (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{O}\\ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{O}\\ (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{O}\\ (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{O}\\ \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{O}\\ \overrightarrow{CC}=\overrightarrow{O} \end{align*} Jadi, AD→+BC→=AC→+BD→ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} (Terbukti)

Contoh Pembuktian Secara Geometri

Pada trapesium ABCD, diberikan titik-titik tengah pada sisi AB, BC, CD, dan DA, yaitu titik P, Q, R, dan S, seperti pada gambar. Buktikan bahwa PQRS merupakan jajargenjang.

Alternatif penyelesaian
Pandang diagonal AC
PQ→=PB→+BQ→PQ→=12AB→+12BC→PQ→=12(AB→+BC→)PQ→=12AC→ \begin{align*} \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ} \\ \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) \\ \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{align*} SR→=SD→+DR→PQ→=12AD→+12DC→PQ→=12(AD→+DC→)SR→=12AC→ \begin{align*} \overrightarrow{SR}=\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{DR} \\ \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}) \\ \overrightarrow{SR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{align*} Hal ini berarti PQ→=SR→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR} dan PQ→\overrightarrow{PQ} sejajar SR→\overrightarrow{SR}
Jadi, PQRS merupakan jajargenjang.

Contoh Pembuktian vektor secara geometri

Buktikan bahwa diagonal jajargenjang OABC saling berpotongan di tengah

Aternatif penyelesaian
Perhatikan jajargenjang OABC disamping.
Pembuktian vektor secara geometri Vektor posisi dari titik A, B, dan C adalah a‾,b‾, \overline{a},\overline{b}, dan c‾ \overline{c} .
M titik tengah AC→ \overrightarrow{AC} , sehingga OM→=OA→+AM→OM→=OA→+12AC→OM→=OA→+12(OC→−OA→)OM→=12(OA→+OC→)OM→=12(a‾+c‾) \begin{align*} \overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM} \\ \overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}) \\ \overrightarrow{OM}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}) \\ \overrightarrow{OM}&=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{c}) \end{align*} Titik tengah OB→ \overrightarrow{OB} ditentukan oleh 12b‾ \frac{1}{2}\overline{b} , maka 12b‾=12(OA→+AB→)12b‾=12(a‾+OC→)12b‾=12(a‾+OC→)12b‾=12(a‾+c‾) \begin{align*} \frac{1}{2}\overline{b}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}) \\ \frac{1}{2}\overline{b}&=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overrightarrow{OC}) \\ \frac{1}{2}\overline{b}&=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overrightarrow{OC}) \\ \frac{1}{2}\overline{b}&=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{c}) \end{align*} Jadi, titik tengah AC→ \overrightarrow{AC} ditentukan oleh 12(a‾+c‾) \frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{c}) dan titik titik tengah OB→ \overrightarrow{OB} ditentukan oleh 12b‾=12(a‾+c‾) \frac{1}{2}\overline{b}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{c}) . Hal ini menunjukkan bahwa diagonal OB→ \overrightarrow{OB} dan AC→ \overrightarrow{AC} saling berpotongan di tengah

Latihan Soal

  1. Gambarlah vektor-vektor berikut

    • v‾=a‾+b‾−c‾ \overline{v}=\overline{a}+\overline{b}-\overline{c}
    • w‾=−23a‾+b‾−3c‾ \overline{w}=-\frac{2}{3}\overline{a}+\overline{b}-3\overline{c}

  2. Diketahui ABCDE merupakan segilima beraturan
    Sederhanakanlah

    • AE→+EC→+CD→−AB→ \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}
    • AB→+BC→−EC→−DE→ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{DE}

  3. Jika titik A, B, dan M mempunyai vektor posisi a‾,b‾ \overline{a},\overline{b} dan m‾ \overline{m} terhadap titik O dan titik M merupakan titik tengah ruas garis AB, buktikan bahwa m‾=12(a‾+b‾) \overline{m}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})

  4. Pada gambar berikut, terlihat bahwa PQRS sebuah jajargenjang. A dan B merupakan titik tengah PQ dan PS Jika RA→=u‾ \overrightarrow{RA}=\overline{u} dan RB→=v‾ \overrightarrow{RB}=\overline{v} , nyatakan:

    • PQ→ \overrightarrow{PQ} dan RS→ \overrightarrow{RS} dalam bentuk u‾ \overline{u} dan v‾ \overline{v}
    • PQ→ \overrightarrow{PQ} dan RS→ \overrightarrow{RS} dalam bentuk u‾ \overline{u} dan v‾ \overline{v}

  5. Pada ∆ABC, AB→,BC→ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} dan CA→ \overrightarrow{CA} mewakili Vektor-vektor a‾,b‾, \overline{a},\overline{b}, dan c‾ \overline{c} . P dan Q adalah titik tengah BC dan CA. Misalkan garis yang melalui Q sejajar BC dan memotong AB di R.

    • Buktikan bahwa QR→ \overrightarrow{QR} mewakili Vektor 12c‾+ka‾ \frac{1}{2}\overline{c}+k\overline{a} untuk suatu k k
    • Buktikan bahwa QR→ \overrightarrow{QR} mewakili Vektor pb‾ p\overline{b} untuk suatu p p
    • Dengan menggunakan a‾+b‾+c‾=O→; \overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overrightarrow{O}; buktikan bahwa jika (l+k)a‾+(l+12)c‾=O→, (l+k)\overline{a}+\left( l+\frac{1}{2} \right)\overline{c}=\overrightarrow{O}, maka k=12 k=\frac{1}{2} dan l=−12 l=-\frac{1}{2}