Proyeksi orthogonal suatu vektor ke vektor yang lain, hasilnya berupa vektor. Sedangkan panjang proyeksi vektor orthogonal suatu vektor pada vektor yang lain selalu bernilai bilangan/skalar real positif.

Pada artikel kali ini kita akan membahas proyeksi vektor khususnya proyeksi vektor secara ortogonal (tegak lurus). Proyeksi orthogonal suatu vektor ke vektor yang lain, hasilnya berupa vektor. Sedangkan panjang proyeksi vektor orthogonal suatu vektor pada vektor yang lain selalu bernilai bilangan/skalar real positif. proyeksi vektor Proyeksi orthogonal vektor u⃗\vec{u} pada vektor v⃗\vec{v} dapat dinotasikan oleh u⃗v⃗{\vec{u}}_{\vec{v}} atau p⃗\vec{p} dan ditentukan oleh dalil berikut.

Dalil :

  1. Proyeksi skalar orthogonal u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah ∣∣p⃗∣∣=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣\left| \left| \vec{p}\right| \right|=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left| \vec{v}\right|}
  2. Proyeksi vektor u⃗\vec{u} ke vektor v⃗\vec{v} adalah vektor u⃗v⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗ atau p⃗=u⃗∣v⃗∣∣∣p⃗∣∣{\vec{u}}_{\vec{v}}=\left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left| \vec{v} \right|^2} \right)\vec{v}\text{ atau } \vec{p}=\frac{\vec{u}}{\left| \vec{v} \right|} \left| \left| \vec{p} \right| \right|
  3. Panjang proyeksi vektor u⃗\vec{u} ke vektor v⃗\vec{v} adalah ∣u⃗v⃗∣=∣u⃗⋅ev⃗∣ \lvert \vec{u}_{\vec{v}}\rvert=\left| \vec{u}\cdot e_{\vec{v}} \right| dengan ev⃗e_{\vec{v}} adalah vektor satuan ke arah v⃗\vec{v} atau ∣u⃗v⃗∣=∣u⃗.v⃗∣v⃗∣∣\left| \vec{u}_{\vec{v}} \right|=\left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \right| .

Contoh 1:

Diketahui a⃗=2i^−6j^−3k^\vec{a}=2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k} dan b⃗=4i^+2j^−4k^\vec{b}=4\widehat{i}+2\widehat{j}-4\widehat{k}. Tentukan:

  1. Panjang proyeksi vektor a⃗\vec{a} pada b⃗\vec{b}
  2. Proyeksi orthogonal vektor a⃗\vec{a} pada b⃗\vec{b}
  3. Proyeksi orthogonal vektor b⃗\vec{b} pada a⃗\vec{a}

Alternatif Penyelesaan:

  1. Panjang proyeksi vektor a⃗\vec{a} pada b⃗\vec{b} ∣a⃗b⃗∣=∣a⃗.b⃗∣b⃗∣∣=∣(2i^−6j^−3k^)⋅(4i^+2j^−4k^)42+22+(−4)2∣=∣(2)(4)+(−6)(2)+(−3)(−4)16+4+16∣=∣8−12+1236∣=∣86∣\begin{align*} \left| \vec{a}_{\vec{b}} \right|=\left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|} \right|&=\left| \frac{(2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k})\cdot (4\widehat{i}+2\widehat{j}-4\widehat{k})}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}} \right| \\ &=\left| \frac{(2)(4)+(-6)(2)+(-3)(-4)}{\sqrt{16+4+16}} \right| \\ &=\left| \frac{8-12+12}{\sqrt{36}} \right|=\left| \frac{8}{6} \right| \end{align*} ∴∣a⃗b⃗∣=43 \therefore \left| \vec{a}_{\vec{b}} \right|=\frac{4}{3}

  2. Proyeksi orthogonal vektor a⃗\vec{a} pada b⃗\vec{b}
    a⃗b⃗=∣∣a⃗b⃗∣∣b⃗∣b⃗∣\vec{a}_{\vec{b}}=\left| \left| \vec{a}_{\vec{b}} \right| \right|\frac{\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}, karena ∣b⃗∣=6\left| \vec{b} \right|=6 dan ∣∣a⃗b⃗∣∣=43\left| \left| {{\vec{a}}_{\vec{b}}} \right| \right|=\frac{4}{3}
    a⃗b⃗=43.4i^+2j^−4k^6=89i^+49j^−89k^\begin{align*} \vec{a}_{\vec{b}}&=\frac{4}{3}.\frac{4\widehat{i}+2\widehat{j}-4\widehat{k}}{6} \\ & =\frac{8}{9}\widehat{i}+\frac{4}{9}\widehat{j}-\frac{8}{9}\widehat{k} \end{align*}

  3. Proyeksi orthogonal vektor b⃗\vec{b} pada a⃗\vec{a}
    b⃗a⃗=(b⃗⋅a⃗∣a⃗∣2)a⃗=(4i^+2j^−4k^)⋅(2i^−6j^−3k^)(22+(−6)2+(−3)2)2(2i^−6j^−3k^)=(4)(2)+(2)(−6)+(−4)(−3)22+(−6)2+(−3)2(2i^−6j^−3k^)=849(2i^−6j^−3k^)b⃗a⃗=1649i^−4849j^−2449k^)\begin{align*}\vec{b}_{\vec{a}}&=\left( \frac{\vec{b}\cdot \vec{a}}{{{\left| \vec{a} \right|}^{2}}} \right)\vec{a} \\ &=\frac{(4\widehat{i}+2\widehat{j}-4\widehat{k})\cdot (2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k})}{{{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{(-6)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}} \right)}^{2}}}(2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k}) \\ &=\frac{(4)(2)+(2)(-6)+(-4)(-3)}{{{2}^{2}}+{{(-6)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}(2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k}) \\ &=\frac{8}{49}(2\widehat{i}-6\widehat{j}-3\widehat{k}) \\ \vec{b}_{\vec{a}}&=\frac{16}{49}\widehat{i}-\frac{48}{49}\widehat{j}-\frac{24}{49}\widehat{k})\end{align*}

contoh 2

Diketahui vektor-vektor u⃗=(−1,1,−4) \vec{u} = (-1,1,-4) dan v⃗=(2,−1,3) \vec{v} = ( 2, -1,3) . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor (2u⃗+3v⃗) (2\vec{u} + 3\vec{v}) pada −2v⃗ -2\vec{v} !
Penyelesaian :
misalkan :
a⃗=(2u⃗+3v⃗)=(−2,2,−8)+(6,−3,9)=(4,−1,1) \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1)
b⃗=−2v⃗=(−4,2,−6) \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6)

  • Menentukan proyeksi skalar a⃗ \vec{a} pada b⃗ \vec{b}
    Proyeksi skalar =a⃗.b⃗∣b⃗∣=4.(−4)+(−1).2+1.(−6)(−4)2+22+(−6)2=−16−2−616+4+36=−2456=−245656=−3756\begin{align*}\text{Proyeksi skalar } &= \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\&= \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\&= \frac{-16 - 2 - 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\&= \frac{-24}{\sqrt{56} } \\&= \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\&= -\frac{3}{7} \sqrt{56}\end{align*}
    ∴\therefore sehingga proyeksi skalarnya adalah −3756 -\frac{3}{7} \sqrt{56} .
  • Menentukan proyeksi vektor a⃗ \vec{a} pada b⃗ \vec{b}
    Proyeksi vektor =(a⃗.b⃗∣b⃗∣2)b⃗=(−24(56)2)(−4,2,−6)=(−2456)(−4,2,−6)=(−37)(−4,2,−6)=(127,−67,187)\begin{align*}\text{Proyeksi vektor } &= \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}\\&= \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6)\\&= \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6)\\ &= \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6)\\&= \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right)\end{align*}
    ∴\therefore jadi, proyeksi vektornya adalah (127,−67,187) \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) .

Contoh 3

Diketahui vektor p⃗=2i⃗+j⃗+2k⃗ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} dan q⃗=3i⃗+bj⃗+k⃗ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} . Jika ∣r⃗∣ |\vec{r}| adalah panjang proyeksi vektor q⃗ \vec{q} pada p⃗ \vec{p} dan ∣r⃗∣=4 |\vec{r}| = 4 , maka tentukan nilai b b !
Penyelesaian :
Diketahui vektor p⃗=(2,1,2) \vec{p} = (2, 1, 2) dan q⃗=(3,b,1) \vec{q} = (3, b, 1) .

  • Menentukan nilai b b dengan proyeksi ortogonal q⃗ \vec{q} pada p⃗ \vec{p} :
    Panjang proyeksi =∣q⃗.p⃗∣p⃗∣∣∣r⃗∣=∣q⃗.p⃗∣p⃗∣∣4=∣2.3+1.b+2.122+12+22∣4=∣b+89∣4=∣b+83∣∣b+8∣=12b=4∨b=−20\begin{align*}\text{Panjang proyeksi } &= \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right|\\|\vec{r}| &= \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right|\\4 &= \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right|\\4 &= \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right|\\4 &= \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\| b + 8 | &= 12 \\ b &= 4 \vee b = -20 \end{align*}
    Jadi, nilai b b yang mungkin adalah b=−20 b = -20 atau b=4 b = 4 .

Contoh 4

Tentukan proyeksi vektor a⃗=(2,0,1) \vec{a} = (2,0,1) pada vektor b⃗ \vec{b} yang sejajar dan sama panjang tetapi berlawanan arah dengan vektor c⃗=(0,2,−2) \vec{c} = (0, 2, -2 ) !
Penyelesaian :
Diketahui vektor b⃗=−c⃗=−(0,2,−2)=(0,−2,2) \vec{b} = - \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) .

  • Menentukan proyeksi vektor a⃗ \vec{a} pada b⃗ \vec{b} :
    Proyeksi vektor =(a⃗.b⃗∣b⃗∣2)b⃗=(2.0+0.(−2)+1.2(02+(−2)2+22)2)(0,−2,2)=(2(8)2)(0,−2,2)=(28)(0,−2,2)=(14)(0,−2,2)=(0,−12,12)\begin{align*}\text{Proyeksi vektor } &= \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\&= \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2)\\&= \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2)\\ &= \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\&= \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2)\\&= \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align*}
    Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah (0,−12,12) \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) .