Cara Mudah Memahami Dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dalam matematika fase E, simak cara mudah penyelesaian beserta contohnya berikut ini!

Persamaan kuadrat merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang tentunya kamu pelajari pada jenjang SMP maupun SMA. Persamaan kuadrat merupakan bagian dari elemen aljabar pada kurikulum merdeka. Sebenarnya banyak sekali persamaan dalam matematika. Ada persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan eksponen, persamaan logaritma, persamaan trigonometri, dan lain sebagainya.

Kamu akan mudah memahami materi ini, asalkan kamu bener-bener memahami konsepnya dan sering-sering mengerjakan latihan soal. Nah, kali ini, kita akan belajar bersama tentang persamaan kuadrat.

1. Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan matematika yang memuat satu variabel dan derajat tertinggi variabelnya adalah dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Dengan:

• $a$, $b$, dan $c$ adalah koefisien, di mana $a$ tidak boleh sama dengan nol ($a \neq 0$).
• $x$ adalah variabel.
• $x^2$ menyatakan suku kuadrat.
• $bx$ adalah suku linear.
• $c$ adalah konstanta.

Persamaan ini dikenal sebagai “kuadrat” karena derajat tertinggi variabelnya ($x$) adalah pangkat dua.

Misalkan terdapat persamaan kuadrat $2x^2+x-8=0$ maka diperoleh nilai $a=2$, $b=1$, dan $c=-8$.

Nah, setiap persamaan dalam matematika pasti ada penyelesaiannya. Penyelesaian persamaan kuadrat artinya mencari solusi atau nilai dari variabelnya.

Terus, bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat ?

2. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadratik atau biasa disebut juga sebagai rumus ABC.

Penyelesaian persamaan kudrat juga bisa dinamakan mencari akar persamaan kudrat. Akar persamaan kuadrat adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan kudrat tersebut. Dengan kata lain, jika nilai variabel tersebut kita masukkan dalam persamaan maka akan bernilai benar.

Berikut cara penyelesaian persamaan kuadrat

a. Metode Pemfaktoran

Pemfaktoran merupakan cara mencari penyelesaian dari persamaan kuadrat, dengan cara mencari nilai yang jika dikalikan, maka akan menghasilkan nilai lain. perhatikan contoh berikut

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan metode pemfaktoran melibatkan faktorisasi persamaan tersebut sehingga kita dapat menemukan nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Misalkan kita punya persamaan kuadrat: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Langkah-langkah Pemfaktoran:

1. Tuliskan Persamaan dalam Bentuk Standar: Persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$ sudah dalam bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Faktorkan Persamaan (Jika Memungkinkan): Coba faktorkan persamaan. Dalam contoh ini,

   • kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan menghasilkan $-5$ (koefisien $b$) dan
   • jika dikalikan menghasilkan $6$ (koefisien $c$). Bilangan tersebut adalah $-2$ dan $-3$ karena $(-2) + (-3) = -5$ dan $(-2) \times (-3) = 6$.

   Oleh karena itu, kita dapat faktorkan persamaan sebagai $(x - 2)(x - 3) = 0$.

3. Buat Setiap Faktor Sama dengan Nol: Buat masing-masing faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk $x$:

   $(x - 2) = 0$ –> $x = 2$

   $(x - 3) = 0$ –> $x = 3$

Dengan demikian, persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$ memiliki solusi $x = 2$ dan $x = 3$.

Contoh Pemfaktoran lain

1. Carilah akar persamaan kuadrat $2x^2 - 4x - 6 = 0$.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   $$\begin{align*}2x^2 - 4x - 6 = 0 \\ x^2 - 2x - 3 = 0 \\ (x - 3)(x + 1) = 0 \\ x-3 =0 \cup x+1=0 \\ x=3 \cup x=-1 \end{align*}$$ Jadi, akar-akarnya adalah $x = 3$ dan $x = -1$.

2. Carilah solusi persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   $$\begin{align*} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ (x - 3)(x - 2) = 0 \\ x-3 =0 \cup x-2=0 \\ x=3 \cup x=2 \end{align*}$$ Jadi, akar-akarnya adalah $x = 3$ dan $x = 2$.

b. Melengkapi Kuadrat Sempurna

Melengkapi kuadrat sempurna adalah cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapi persamaan kuadrat menjadi kuadrat sempurna. Kuadrat sempurna adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua bilangan bulat yang sama. Ingat bahwa $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$.

Misalkan kita punya persamaan kuadrat: $2x^2 - 3x -9 = 0$.

Langkah-langkah untuk menentukan akar persamaan kuadrat dengan metode melengkapi kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.

Langkah-langkah Melengkapi Kuadrat Sempurna:

Dari persamaan $2x^2 - 3x - 9 = 0$ diperoleh $a=2$, $b=-3$, $c=-9$

1. Ubah nilai $a$ menjadi 1, jika belum persamaan harus dibagi dengan $a$

   $$2x^2 - 3x -9 = 0\\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=0$$

2. Buat agar nilai c berada di ruas kanan $$2x^2 - 3x -9 = 0\\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=0 \\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$

3. Tambahkan setiap ruas dengan kuadrat dari $\frac12 b$ $$2x^2 - 3x -9 = 0\\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=0 \\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}=\frac{9}{2} \\ \leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^2$$

4. Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh $$2x^2 - 3x -9 = 0\\ \leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=0 \\ \Leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}=\frac{9}{2} \\ \leftrightarrow x^2-\frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \\ \leftrightarrow \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \\ \leftrightarrow \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{2} + \frac{9}{16} \\ \leftrightarrow \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{72}{16} + \frac{9}{16} \\ \leftrightarrow \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{81}{16} \\ \leftrightarrow x-\frac{3}{4}=\pm \sqrt{\frac{81}{16}} \\ \leftrightarrow x-\frac{3}{4}=\pm \frac{9}{4} \\ \leftrightarrow x_1-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} \cup x_2-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4} \\ \leftrightarrow x_1=\frac{12}{4} \cup x_2=-\frac{6}{4} \\ \leftrightarrow x_1=3 \cup x_2=-\frac{3}{2}$$

   Dengan demikian, persamaan $2x^2 - 3x - 9 = 0$ memiliki solusi $x = 3$ dan $x = \frac32$.

Contoh metode kuadrat sempurna

1. Carilah akar persamaan kuadrat $x^2 - 8x - 33 = 0$.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   $$\begin{gather*}&&x^2 - 8x - 33 = 0 \\ &\Leftrightarrow &x^2 - 8x = 33 \\ &\Leftrightarrow &x^2 - 8x + 4^2= 33 + 4^2 \\ &\Leftrightarrow &x^2 - 8x +4^2= 33 + 16 \\ &\Leftrightarrow &(x-4)^2=49 \\ &\Leftrightarrow &x-4=\pm\sqrt{49}\\ &\Leftrightarrow &x-4=\pm 7 \\ &\Leftrightarrow &x-4= 7 \cup x-4= -7 \\ &\Leftrightarrow &x=11 \cup x=-3 \end{gather*}$$ Jadi, akar-akarnya adalah $x = -3$ dan $x = 11$.

c. Metode Rumus abc atau Kudratik

Persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi, yang bisa berupa bilangan riil atau kompleks. Solusi-solusi ini dapat ditemukan menggunakan rumus kuadrat, yaitu:

$$x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}}$$

Dalam rumus tersebut, $b^2 - 4ac$ dikenal sebagai diskriminan, dan sifat-sifat dari diskriminan ini menentukan jenis solusi yang akan diperoleh:

• Jika $b^2 - 4ac > 0$, maka persamaan memiliki dua akar riil berbeda.
• Jika $b^2 - 4ac = 0$, maka persamaan memiliki satu akar ganda (akar rangkap).
• Jika $b^2 - 4ac < 0$, maka persamaan memiliki dua akar kompleks konjugat.

Contoh Soal

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 - 6x - 27 = 0$ dengan menggunakan rumus ABC.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   1. Identifikasi koefisien $a$, $b$, dan $c$ dari persamaan kuadrat tersebut:

      • $a = 3$
      • $b = -6$
      • $c = -27$

   2. Gunakan rumus ABC: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

      Substitusi nilai $a$, $b$, dan $c$: $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-27)}}{2(3)}$$

      Sederhanakan: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 324}}{6}\\ x = \frac{6 \pm \sqrt{360}}{6} \\ x = \frac{6 \pm 6\sqrt{10}}{{6}} \\ x = 1 \pm \sqrt{10}$$

   3. Jadi, akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 - 6x - 27 = 0$ adalah $x = 1 + \sqrt{10}$ dan $x = 1 - \sqrt{10}$.

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 5x - 12 = 0$ dengan menggunakan rumus ABC.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   1. Identifikasi koefisien $a$, $b$, dan $c$ dari persamaan kuadrat tersebut:

      • $a = 2$
      • $b = -5$
      • $c = -12$

   2. Gunakan rumus ABC: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

      Substitusi nilai $a$, $b$, dan $c$: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-12)}}{2(2)}$$

      Sederhanakan: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}\\ x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{4} \\ x = \frac{5 \pm 11}{4} \\ x = \frac{5+11}{4} \cup x = \frac{5-11}{4} \\ x = 4 \cup x = -\frac{3}{2}$$

   3. Jadi, akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 5x - 12 = 0$ adalah $x = 4$ dan $x = -\frac{3}{2}$.

Dengan menggunakan rumus ABC, kita dapat dengan cepat menemukan akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu melakukan faktorisasi atau mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Rumus ini sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan kuadrat secara umum jika dengan pemfaktoran kita kesulitan.

Persamaan kuadrat memiliki berbagai aplikasi dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan lainnya, seperti fisika, ekonomi, dan rekayasa. Kemampuan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat penting karena memungkinkan pemahaman dan analisis terhadap banyak fenomena yang dapat dimodelkan dengan persamaan matematika ini.