Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) - Matematika Kelas X Fase E

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan materi Matematika yang kamu pelajari di kelas 10 atau fase E di kurikulum merdeka. Cari tahu pengertian, bentuk, rumus, dan cara penyelesaiannya di artikel ini.

Sistem Persamaan Linear Dua variabel sebenarnya sudah kalian pelajari di SMP. Bagi yang masih belum paham, mari kita ingat kembali ya agar lebih mudah. Materi ini menjadi dasar kamu untuk belajar materi selanjutnya. Ini merupakan materi bagian dari Aljabar

Mari kita ulas sedikit tentang bentuk umum SPLDV. Dua atau lebih persamaan linear jika digabungkan akan membentuk sistem persamaan linear. Disini kita akan membahas sistem persamaan linear dua variabel.

Pngertian Sistem Persamaan Linear Dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel atau dalam matematika biasa disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear (PLDV), yang masing-masing bervariabel dua, misalnya variabel x dan variabel y. catatan: variabel yang digunakan tidak hanya x, y, dan z dapat kamu gunakan pasangan huruf lain misalnya p, q, dan r atau huruf lainnya.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear Dua variabel (SPLDV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh dua persamaan linear dengan dua variabel (misalnya x dan y) dan setiap variabelnya berpangkat satu. catatan: variabel yang digunakan tidak hanya x dan y dapat kamu gunakan pasangan huruf lain misalnya p dan q, atau huruf lainnya.

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua variabel adalah sebagai berikut: $$\begin{cases} a_1x+b_1y = c_1 \\ a_2x+b_2y = c_2 \\ \end{cases}$$

Keterangan:

• Variabel adalah $x, y$
• Koefisien adalah $a_1, a_2, b_1, b_2$
• konstanta adalah $c_1, c_2, c_3$

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep SPLDV. Contohnya

Perhatikan gambar berikut Berapakah harga minyak goreng per liter dan telur per kilonya?

Berdasarkan gambar buatlah model matematika dalam bentuk SPLDV!

Alternatif Penyelesaian ✍️

• misalkan :

  x = harga minyak per liter (dalam rupiah)

  y = harga telur per kg (dalam rupiah)

• Maka, model persamaan matematikanya menjadi
  $2x+y=54.000$ …. Persamaan (1)
  $3x+2y=94.000$ …. Persamaan (2)

dari permodelan tersebut selanjutnya akan kita cari solusinya.

Solusi dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Solusi dari SPLDV adalah pasangan terurut yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem. Perhatikan SPLDV yang diperoleh dari situasi sebelumnya. kita dapatkan SPLDV

$2x+y=54.000$ …. Persamaan (1)
$3x+2y=94.000$ …. Persamaan (2)

Kira-kira, berapa nilai x dan y yang memenuhi persamaan di atas? Kita coba satu-satu, ya. Misal x dan y adalah (10.000, 23.000). Maka,

$$2x+y=54.000 \\ \rightarrow 2(10.000) + 23.000 \stackrel{?}{=} 54.000 \\ \rightarrow 20.000 + 23.000 \stackrel{?}{=} 54.000 \\ \rightarrow 20.000 + 23.000 \stackrel{?}{=} 54.000 \\\rightarrow 43.000 \not = 54.000 \\ \text{ tidak memenuhi}$$

Karena (10.000, 23.000) nggak memenuhi persamaan linear Dua variabel di atas, sekarang kita coba pakai nilai x dan adalah (14.000, 26.000). Substitusikan ke setiap persamaan.

• Pada persamaan (1) $$\begin{align*} 2x+y=54.000 \\ 2(14.000) + 26.000 = 54.000 \\ 28.000+26.000=54.000 \\ 54.000=54.000 \end{align*}$$ nilai yang terbentuk memenuhi

• Pada persamaan (2) $$\begin{align*} 3x+2y=94.000 \\ 3(14.000) + 2(26.000) =94.000 \\ 42.000 + 52.000 =94.000 \\ 94.000=94.000 \end{align*}$$ nilai yang terbentuk memenuhi

Nah, karena nilai (14.000, 26.000) memenuhi kedua persamaan, artinya solusi dari contoh soal di atas adalah $(14.000, 26.000)$.

Contoh soal SPLDV di atas kita kerjakan menggunakan cara menebak. kalau kita gunakan menebak, pasti bakal ngabisin banyak waktu dong.

Terus, gimana cara menemukan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dua variabel yang sebenarnya?

Metode menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Agar solusi SPLDV lebih cepat diperoleh, ada beberapa metode yang dapat digunakan. SPLDV dapat kita selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi atau keduanya (campuran).

1. Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode eliminasi adalah dengan menghapus atau menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan tersebut. Misal, variabel dalam persamaan adalah x dan y, nah untuk mencari nilai x, kita harus menghilangkan y terlebih dahulu, begitu juga sebaliknya.

Perhatikan SPLDV yang diperoleh dari situasi tadi. Kita dapatkan 2 persamaan yaitu $$\begin{cases} 2x+y&=54.000 &\text{…pers (1) } \\ 3x+2y&=94.000 &\text{…pers (2) } \end{cases}$$

Misalkan kita akan mencari nilai variabel x, maka variabel yang akan kita hilangkan adalah variabel y. lakukan eliminasi variabel y.

$$\begin{array}{c|c|cc} 2x+y=54.000 & \times 2 & 4x+2y&=108.000 & \\ 3x+2y=94.000 & \times 1 &3x+2y&=94.000 & - \\ \hline & & x &= 14.000 & \end{array}$$

Sudah ketemu nilai dari variabel x yaitu $x=14.000$.

Selanjutnya kamu bisa mencari nilai y, dengan mengeliminasi variabel x. $$\begin{array}{c|c|cc} 2x+y=54.000 & \times 3 & 6x+3y&=162.000 & \\ 3x+2y=94.000 & \times 2 &6x+4y&=188.000 & - \\ \hline & & -y &= -26.000 & \\ & & y &= 26.000 & \end{array}$$ Jadi, solusi atau himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\{(14.000,26.000)\}$ atau harga 1 liter minyak goreng adalah Rp 14.000 dan harga 1 kg telur adalah Rp26.000

2. Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu cara menyelesaikan SPLDV dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel dari persamaan lain.

Masih dengan soal diatas ya.. Kita akan mencari nilai x dan y dari $$\begin{cases} 2x+y&=54.000 &\text{…pers (1) } \\ 3x+2y&=94.000 &\text{…pers (2) } \end{cases}$$

Misalkan kita akan mencari nilai variabel x maka kita rubah salah satu persamaan mejadi y = ….. Misal kita pilih pers (1) maka $2x+y=54.000$ dirubah menjadi $y=-2x + 54.000$

• substitusi pers (1) ke pers (2) atau substitusi $y=-2x + 54.000$ ke persamaan $3x+2y=94.000$. $$\begin{align*} 3x+2y &= 94.000\\ \Leftrightarrow 3x+2(-2x+54.000) &= 94.000\\ \Leftrightarrow 3x-4x.000+108.000 &= 94.000\\ \Leftrightarrow -x &= 94.000-108.000\\ \Leftrightarrow -x &= -14.000\\ \Leftrightarrow x &= 14.000 \end{align*}$$

• substitusi $x=14.000$ ke pers (1). $$\begin{align*} 2x+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow 2(14.000)+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow 28.000+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow y &= 54.000-28.000\\ \Leftrightarrow y &= 26.000 \end{align*}$$ Jadi, solusi atau himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\{(14.000,26.000)\}$ atau harga 1 liter minyak goreng adalah Rp 14.000 dan harga 1 kg telur adalah Rp26.000

3. Metode Campuran

Metode campuran adalah penyelesaian SPLDV dengan kombinasi antara metode eliminasi dan metode substitusi. Langsung saja kita gunakan soal yang sama ya..

Kita akan mencari nilai x dan y dari $$\begin{cases} 2x+y&=54.000 &\text{…pers (1) } \\ 3x+2y&=94.000 &\text{…pers (2) } \end{cases}$$

• Misalkan kita akan mencari nilai variabel x dulu, maka lakukan eliminasi variabel y.

$$\begin{array}{c|c|cc} 2x+y=54.000 & \times 2 & 4x+2y&=108.000 & \\ 3x+2y=94.000 & \times 1 &3x+2y&=94.000 & - \\ \hline & & x &= 14.000 & \end{array}$$

• ketemu nilai x= 14.000, selanjutnya substitusikan nilai $x= 14.000$ ke salah satu persamaan. Misal pilih pers (1) $$\begin{align*} 2x+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow 2(14.000)+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow 28.000+y &= 54.000\\ \Leftrightarrow y &= 54.000-28.000\\ \Leftrightarrow y &= 26.000 \end{align*}$$

Oke ketemu nilai x dan y nya. mudah kan? hehe.. Yups agar agar kamu lebih menguasai perhatikan contoh soal berikut ya.. coba kamu berlatih tanpa melihat pembahasannya.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut! $$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$$

Alternatif Penyelesaian ✍️

• Eliminasi variabel y untuk mencari nilai x $$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 5 & \times 2 & 4x + 6y = 10 & \\ 3x - 2y = 1 & \times 3 & 9x - 6y = 3 & + \\ \hline & & 13x = 13 & \\ & & x = 1 & \end{array}$$
• substitusi $x=1$ ke persamaan (1) $$\begin{align*} 2x + 3y &= 5\\ \Leftrightarrow 2(1) + 3y &= 5 \\ \Leftrightarrow 2 + 3y &= 5 \\ \Leftrightarrow 3y &= 5-2 \\ \Leftrightarrow 3y &= 3 \\ \Leftrightarrow y &= \frac{3}{3} \\ \Leftrightarrow y &= 1 \end{align*}$$ Sehingga nilai $x= 1, y=1$.

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\{ (1,1)\}$.

Contoh soal 2

Sebuah toko buku menjual $2$ buku gambar dan $8$ buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk $3$ buku gambar dan $5$ buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli $1$ buku gambar dan $2$ buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar…

Alternatif Penyelesaian ✍️

Pada soal disampaikan bahwa harga $2$ buku gambar dan $8$ buku tulis adalah $48.000$ dan $3$ buku gambar dan $5$ buku tulis adalah $37.000$.

Dengan memisalkan $\text{buku gambar}=m$ dan $\text{buku tulis}=n$ maka kita peroleh model matematika;

$$\begin{cases} 2m+8n&=48.000 &\text{…pers (1) } \\ 3m+5n&=37.000 &\text{…pers (2) } \end{cases}$$

Dari kedua persamaan di atas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh: $$\begin{array}{c|c|cc} 2m+8n = 48.000 & \times 3 &6m+ 24n = 144.000 & \\ 3m+5n = 37.000 & \times 2 &6m+10n=74.000 & - \\ \hline & & 14n = 70.000 & \\ & & n = 5.000 & \end{array}$$

$n = 5.000$ substitusi ke $2m+8n = 48.000$. $$\begin{align*} 2m+8n &= 48.000\\ 2m+8(5.000) &= 48.000\\ 2m+40.000 &= 48.000\\ 2m &= 8.000\\ m &= 4.000 \end{align*}$$

Jadi, harga yang harus dibayar untuk $1$ buku gambar dan $2$ buku tulis di toko itu adalah $1(4.000)+(2)5.000=14.000$

Ini dulu ya untuk materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).. Selanjutnya silakan pelajari materi Sistem persamaan Linear Tiga Variabel..