Hai Sobat Sinmat!, kali ini kita akan lanjutin membahas mengenai materi sistem pertidaksamaan linear dua variabel ya.

Sebelum lanjut, apakah kamu sudah memahami materi sebelumnya tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)?.

Bagi yang belum coba pahami kembali ya agar memahami sistem pertidaksamaan linear dua variabel ini lebih mudah.

Dalam persamaan linear dua variabel, kita tahu bentuk umum ax+by=c, dengan a adalah koefisien dari variabel x, y adalah koefisien dari variabel y, dan c adalah konstanta. Disitu memuat lambang sama dengan (=). ini menunjukkan bahwa bentuk tersebut namanya persamaan linear. Bagaimana kalau pertidaksamaan?

Pertidaksamaan itu bentuknya bukan sama dengan ya? yups.. dari namanya aja “pertidaksamaan”.

Berarti notasi yang digunakan selain sama dengan, seperti ≤ (kurang dari sama dengan), ≥ (lebih dari sama dengan), ≠ (tidak sama dengan), < (kurang dari), dan > (lebih dari).

Oke yuk kita bahas sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Bentuk Umum Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Untuk mengetahui apa itu sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV), sebenarnya mudah ya, kita pahami saja dari istilahnya.

Kita tau dulu, Pertidaksamaan Linear Dua variabel (PtLDV) adalah pertidaksamaan yang terdiri dari dua variabel misalkan saja variabelnya x dan y. Berikut adalah ciri-ciri PtLDV:

  • Terdiri dari dua variabel misalkan x dan y (variabel ini bebas ya tidak hanya x dan y saja).
  • Lambangnya selain sama dengan (=), berarti $≠, >, <, ≥,$ dan $≤$.
  • pangkat tertinggi variabelnya satu (garis lurus), tidak ada kuadrat 2, 3, dst.

Sehingga, pertidaksamaan linear dua variabel bisa berbentuk:

  • $ax+by<c$ atau
  • $ax+by>c$ atau
  • $ax+by\le c$ atau
  • $ax+by\ge c$

dengan $a,b,c \in $ bilangan real serta $a$ dan $b$ keduanya tidak boleh 0.

Balik lagi nih ke istilahnya, yaitu Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Ada kata sistem yang berarti Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) merupakan gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan variabel yang sama.

Contoh dari bentuk SPtLDV $$\begin{cases} 2x+y\le 12 \\ x \ge 1 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ contoh lain $$\begin{cases} x+3y\le 18 \\ 2x+y \ge 10 \end{cases}$$

Selanjutnay bagaimana menentukan daerah penyelesaian atau nilai variabelnya?

Daerah atau Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Salah satu cara untuk menentukan daerah atau himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear adalah dengan menggunakan metode grafik.

Langsung ke contoh soal saja ya..

Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $5x + 2y – 10 ≥ 0$ !

Untuk menentukan daerah penyelesaian dalam bentuk grafik ikuti beberapa langkah berikut

  1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan (sementara ganti tanda pertidaksamaannya menjadi =) $$5x+2y\ge 10 \rightarrow 5x+2y = 10 $$

  2. Tentukan titik potong terhadap sumbu y dan sumbu x, jika kita mau menentukan titik potong sumbu x maka buat y=0 begitu juga sebaliknya

    • Misal kita mau menentukan titik potong terhadap sumbu x, maka substitusi y=0 ke dalam persamaan, sehingga $$\begin{align*}5x+2y &= 10 \\ 5x+2(0) &= 10 \\ 5x&=10 \\ x&=\frac{10}{5}\\ x&=2 \end{align*}$$ maka titik potongnya (2,0)
    • menentukan titik potong terhadap sumbu y, maka maka substitusi y=0 ke dalam persamaan, sehingga $$\begin{align*}5x+2y &= 10 \\ 5(0)+2y &= 10 \\ 2y&=10 \\ y&=\frac{10}{2}\\ y&=5 \end{align*}$$ maka titik potongnya (0,5)

    untuk lebih mudah kamu bisa menggunakan tabel seperti ini ya.. Tabel SPTLDV

    gambar garisnya Grafik SPTLDV

  3. Ambil sembarang titik uji yang tidak terletak pada garis, untuk menentukan daerah penyelesaiannya

    Misalnya ambil titik di sebelah kiri garis tadi, misalkan titik (0,0). Sekarang kita substitusi ke dalam persamaan 5x + 2y ≥ 10 menjadi 5(0) + 2(0) ≥ 10, hasilnya 0 ≥ 12 (tidak memenuhi).

    Kira-kira benar gak kalau 0 lebih besar sama dengan 10? Salah ya, berarti titik (0,0) tidak memenuhi sehingga daerah penyelesaiannya ada di kanan garis atau di luar garis. Grafik arsir SPTLDV

    Dari sini kita bisa lihat, jika hasil uji titiknya salah, maka daerahnya ada sisi lawannya.

Lalu, apa perbedaan antara notasi ≥ dan > atau ≤ dan <?

Letak perbedaannya ada pada garis. Untuk notasi yang ada sama dengannya (=) misal lebih besar sama dengan (≥) dan kurang dari sama dengan (≤), maka garisnya nyambung, tidak terputus seperti pada contoh penyelesaian daerah di atas. Sedangkan, untuk notasi lebih dari (>) dan kurang dari (<), garisnya putus-putus seperti ini. Perbedaan tanda SPTLDV

Contoh Soal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel SPtLDV

Contoh 1

Perhatikan bentuk persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini:

  1. $x^2 + 7x + 8 ≥ 6$
  2. $3x + 2y = 7$
  3. $x + 3y ≤ 6$
  4. $3y \le 6$
  5. $x \ge 2$

Manakah yang merupakan pertidaksamaan linear?

Alternatif Penyelesaian ✍️

Ingat tentang pertidaksamaan linear, tandanya bukan sama dengan dan hanya satu linear atau pangkat tertinggi satu. Kira-kira dari kelima poin di atas, kamu sudah bisa menebak jawabannya kan? Yap, jawabannya adalah 3,4, dan 5.

Contoh 2

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut ini!

$$ \begin{cases}3x + 2y ≤ 6\\ x + 3y ≤ 6\\ x ≥ 0\\ y ≥ 0\\ \end{cases}$$

Alternatif Penyelesaian ✍️

  • Ubah pertidaksamaan menjadi sama dengan dan tentukan titik poinnya. Tabel penyelesaian SPTLDV
  • Gambar titik potong dari kedua persamaan. Grafik penyelesaian SPTLDV
  • Lakukan uji titik untuk mendapatkan daerah penyelesaiannya. Grafik daerah SPTLDV

Sekian dulu ya uraian mengenai materi sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV). Silakan kamu kembangkan dan nantinya ini akan kita gunakan untuk materi program linear, dan mencari titik optimum dari program linear.. sampai ketemu lagi..