Persamaan eksponen lanjut. Dari berbagai bentuk persamaan eksponen yang ada, cara penyelesaiannya bergantung pada bentuknya.
Persamaan eksponen lanjut.
Persamaan Bentuk af(x)=bf(x)
Penyelesaian persamaan berbentuk af(x)=bf(x) mengikuti aturan berikut :
Jika
af(x)=bf(x) dimana a > 0 ,b > 0 dan a β 1, b β 1, maka
f(x)=0Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- 6x2β5x+6=7x2β5x+6
- 78.3x2β8=32x.7x2β2x
Alternatif Penyelesaian
6x2β5x+6=7x2β5x+6
Maka
x2β5x+6=0(xβ3)(xβ2)=0
x=3 atau x=2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}
78.3x2β8=32x.7x2β2x
32x3x2β8β=787x2β2xβ3x2β2xβ8=7x2β2xβ8
Maka
x2β2xβ8=0(x+2)(xβ4)=0
x=β2 atau x=4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 4}
Persamaan Bentuk [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)
Penyelesaian persamaan berbentuk [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x) mempunyai beberapa kemungkinan:
- Persamaan berlaku jika pangkatnya sama atau g(x) = h(x), dengan syarat untuk bilangan pokok = 0, pangkat bernilai positif, atau untuk h(x) = 0 maka f(x) dan g(x) bernilai positif.
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 1 atau h(x) = 1
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 0 atau h(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai positif.
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = β1, dengan syarat f(x) dan g(x) bernilai genap atau f(x) dan g(x) bernilai ganjil.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- (2xβ5)4x+3=(2xβ5)2xβ7
- (3xβ10)x2=(3xβ10)2x
Alternatif Penyelesaian
(2xβ5)4x+3=(2xβ5)2xβ7
h(x)=2xβ5f(x)=4x+3g(x)=2xβ7
Kemungkinan 1:
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βf(x)=g(x)
4x+3=2xβ7
2x=β10x=β5
Kemungkinan 2:
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=1
2xβ5=12x=6x=3
Kemungkinan 3:
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=0
asal f(x) dan g(x) positif
2xβ5=02x=5x=25β
Cek apakah f(x) dan g(x) positif
f(x)=4x+3f(25β)=4(25β)+3=13>0g(x)=2xβ7g(25β)=2(25β)β7=β2<0
Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka x=25β tidak memenuhi
Kemungkinan 4:
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=β1
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
2xβ5=β12x=4x=2
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
f(x)=4x+3f(2)=4(2)+3=11 (ganjil)g(x)=2xβ7g(2)=2(2)β7=β3 (ganjil)
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka x=2 memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah β5,2,3
(3xβ10)x2=(3xβ10)2x
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βf(x)=g(x)
x2=2x
x2β2x=0x(xβ2)=0
x=0 atau x=2
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=1
3xβ10=13x=11x=311β
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=0
asal f(x) dan g(x) positif
3xβ10=03x=10x=310β
Cek apakah f(x) dan g(x) positif
f(310β)=(310β)2>0g(310β)=2(310β)>0
Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka x=310β memenuhi
[h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)βh(x)=β1asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
\begin{align}
& 3x-10=-1 \newline
& 3x=9 \newline
& x=3 \newline
\end{align}
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
\begin{align}
& f(x)={{x}^{2}} \newline
& f\left( 3 \right)={{3}^{2}}=9\text{ (ganjil)} \newline
& g(x)=2x \newline
& g\left( 3 \right)=2(3)=6\text{ (genap)} \newline
\end{align}
Karena f(x) ganjil dan g(x) genap maka x=3 tidak memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah 0,2,3,310β,311β
Persamaan Bentuk A[af(x)]2+B[af(x)]+C=0
Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan kuadrat. Dengan memisalkan af(x)=p, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat Ap2+Bp+C=0.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- 22xβ3.2x+2+32=0
- 4x+2+15.2xβ1=0
Alternatif Penyelesaian
22xβ3.2x+2+32=0
\begin{align}
& {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-3\left( {{2}^{x}} \right){{2}^{2}}+32=0 \newline
& {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-12\left( {{2}^{x}} \right)+32=0 \newline
\end{align}
Misalkan 2x=p, maka
\begin{align}
& {{p}^{2}}-12p+32=0 \newline
& (p-8)(p-4)=0 \newline
\end{align}
p=8 atau p=4
Untuk p=8β2x=8
\begin{align}
& {{2}^{x}}={{2}^{3}} \newline
& x=3 \newline
\end{align}
Untuk p=4β2x=4
\begin{align}
& {{2}^{x}}={{2}^{2}} \newline
& x=2 \newline
\end{align}
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah 2,3
4x+2+15.2xβ1=0
\begin{align}
& {{4}^{x}}{{.4}^{2}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline
& {{16.2}^{2x}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline
& 16{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+15\left( {{2}^{x}} \right)-1=0 \newline
\end{align}
Misalkan 2x=p, maka
\begin{align}
& 16{{p}^{2}}+15p-1=0 \newline
& (16p-1)(p+1)=0 \newline
\end{align}
p=161β atau p=β1
Untuk p=161ββ2x=161β
\begin{align}
& {{2}^{x}}={{2}^{-4}} \newline
& x=-4 \newline
\end{align}
Untuk p=β1β2x=β1 tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {-4}.