Persamaan eksponen lanjut.
Persamaan Bentuk ${{a}^{f(x)}}={{b}^{f(x)}}$
Penyelesaian persamaan berbentuk ${{a}^{f(x)}}={{b}^{f(x)}}$ mengikuti aturan berikut :
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${{6}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{7}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$
- ${{7}^{8}}{{.3}^{{{x}^{2}}-8}}={{3}^{2x}}{{.7}^{{{x}^{2}}-2x}}$
Alternatif Penyelesaian
${{6}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{7}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$
Maka
${{x}^{2}}-5x+6=0 \newline (x-3)(x-2)=0$
$x=3$ atau $x=2$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}
${{7}^{8}}{{.3}^{{{x}^{2}}-8}}={{3}^{2x}}{{.7}^{{{x}^{2}}-2x}}$ $\frac{{{3}^{{{x}^{2}}-8}}}{{{3}^{2x}}}=\frac{{{7}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{7}^{8}}} \newline {{3}^{{{x}^{2}}-2x-8}}={{7}^{{{x}^{2}}-2x-8}}$
Maka
${{x}^{2}}-2x-8=0 \newline (x+2)(x-4)=0$
$x=-2$ atau $x=4$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 4}
Persamaan Bentuk ${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}$
Penyelesaian persamaan berbentuk ${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}$ mempunyai beberapa kemungkinan:
- Persamaan berlaku jika pangkatnya sama atau g(x) = h(x), dengan syarat untuk bilangan pokok = 0, pangkat bernilai positif, atau untuk h(x) = 0 maka f(x) dan g(x) bernilai positif.
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 1 atau h(x) = 1
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 0 atau h(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai positif.
- Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = −1, dengan syarat f(x) dan g(x) bernilai genap atau f(x) dan g(x) bernilai ganjil.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${{\left( 2x-5 \right)}^{4x+3}}={{\left( 2x-5 \right)}^{2x-7}}$
- ${{\left( 3x-10 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( 3x-10 \right)}^{2x}}$
Alternatif Penyelesaian
${{\left( 2x-5 \right)}^{4x+3}}={{\left( 2x-5 \right)}^{2x-7}}$
$h(x)=2x-5 \newline f(x)=4x+3 \newline g(x)=2x-7$
Kemungkinan 1:
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$4x+3=2x-7$
$ 2x=-10 \newline x=-5 \newline $
Kemungkinan 2:
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=1$
$2x-5=1 \newline 2x=6 \newline x=3 $
Kemungkinan 3:
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif$2x-5=0 \newline 2x=5 \newline x=\frac{5}{2} $
Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$f(x)=4x+3 \newline f\left( \frac{5}{2} \right)=4\left( \frac{5}{2} \right)+3=13>0 \newline g(x)=2x-7 \newline g\left( \frac{5}{2} \right)=2\left( \frac{5}{2} \right)-7=-2<0 \newline$
Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka $x=\frac{5}{2}$ tidak memenuhi
Kemungkinan 4:
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$ 2x-5=-1 \newline 2x=4 \newline x=2$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=4x+3 \newline f\left( 2 \right)=4\left( 2 \right)+3=11\text{ (ganjil)} \newline g(x)=2x-7 \newline g\left( 2 \right)=2\left( 2 \right)-7=-3\text{ (ganjil)}$
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=2$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah ${ -5,2,3 }$
${{\left( 3x-10 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( 3x-10 \right)}^{2x}}$
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow f(x)=g(x)$
${{x}^{2}}=2x$
${{x}^{2}}-2x=0 \newline x(x-2)=0 $
$x=0$ atau $x=2$${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=1$
$ 3x-10=1 \newline 3x=11 \newline x=\frac{11}{3} $${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$ 3x-10=0 \newline 3x=10 \newline x=\frac{10}{3} \newline $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$ f\left( \frac{10}{3} \right)={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{2}}>0 \newline g\left( \frac{10}{3} \right)=2\left( \frac{10}{3} \right)>0$Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka $x=\frac{10}{3}$ memenuhi
${{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=-1$asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
\begin{align} & 3x-10=-1 \newline & 3x=9 \newline & x=3 \newline \end{align}
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
\begin{align} & f(x)={{x}^{2}} \newline & f\left( 3 \right)={{3}^{2}}=9\text{ (ganjil)} \newline & g(x)=2x \newline & g\left( 3 \right)=2(3)=6\text{ (genap)} \newline \end{align}
Karena f(x) ganjil dan g(x) genap maka $x=3$ tidak memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $ 0,2,3,\frac{10}{3},\frac{11}{3} $
Persamaan Bentuk $A{{\left[ {{a}^{f(x)}} \right]}^{2}}+B\left[ {{a}^{f(x)}} \right]+C=0$
Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan kuadrat. Dengan memisalkan ${{a}^{f(x)}}=p$, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat $A{{p}^{2}}+Bp+C=0$.
Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${{2}^{2x}}-{{3.2}^{x+2}}+32=0$
- ${{4}^{x+2}}+{{15.2}^{x}}-1=0$
Alternatif Penyelesaian
${{2}^{2x}}-{{3.2}^{x+2}}+32=0$
\begin{align} & {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-3\left( {{2}^{x}} \right){{2}^{2}}+32=0 \newline & {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-12\left( {{2}^{x}} \right)+32=0 \newline \end{align} Misalkan ${{2}^{x}}=p$, maka \begin{align} & {{p}^{2}}-12p+32=0 \newline & (p-8)(p-4)=0 \newline \end{align}$p=8$ atau $p=4$
Untuk $p=8\Rightarrow {{2}^{x}}=8$
\begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{3}} \newline & x=3 \newline \end{align}
Untuk $p=4\Rightarrow {{2}^{x}}=4$
\begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{2}} \newline & x=2 \newline \end{align}
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah ${2,3}$
${{4}^{x+2}}+{{15.2}^{x}}-1=0$
\begin{align} & {{4}^{x}}{{.4}^{2}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline & {{16.2}^{2x}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline & 16{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+15\left( {{2}^{x}} \right)-1=0 \newline \end{align}Misalkan ${{2}^{x}}=p$, maka
\begin{align} & 16{{p}^{2}}+15p-1=0 \newline & (16p-1)(p+1)=0 \newline \end{align}
$p=\frac{1}{16}$ atau $p=-1$
Untuk $p=\frac{1}{16}\Rightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{16}$
\begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{-4}} \newline & x=-4 \newline \end{align}
Untuk $p=-1\Rightarrow {{2}^{x}}=-1$ tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {-4}.