Persamaan eksponen lanjut. Dari berbagai bentuk persamaan eksponen yang ada, cara penyelesaiannya bergantung pada bentuknya.

Daftar Isi

Persamaan eksponen lanjut.

Persamaan Bentuk af(x)=bf(x){{a}^{f(x)}}={{b}^{f(x)}}

Penyelesaian persamaan berbentuk af(x)=bf(x){{a}^{f(x)}}={{b}^{f(x)}} mengikuti aturan berikut :

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari

  1. 6x2−5x+6=7x2−5x+6{{6}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{7}^{{{x}^{2}}-5x+6}}
  2. 78.3x2−8=32x.7x2−2x{{7}^{8}}{{.3}^{{{x}^{2}}-8}}={{3}^{2x}}{{.7}^{{{x}^{2}}-2x}}

Alternatif Penyelesaian

  1. 6x2−5x+6=7x2−5x+6{{6}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{7}^{{{x}^{2}}-5x+6}}

    Maka

    x2−5x+6=0(x−3)(x−2)=0{{x}^{2}}-5x+6=0 \newline (x-3)(x-2)=0

    x=3x=3 atau x=2x=2

    Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

  2. 78.3x2−8=32x.7x2−2x{{7}^{8}}{{.3}^{{{x}^{2}}-8}}={{3}^{2x}}{{.7}^{{{x}^{2}}-2x}} 3x2−832x=7x2−2x783x2−2x−8=7x2−2x−8\frac{{{3}^{{{x}^{2}}-8}}}{{{3}^{2x}}}=\frac{{{7}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{7}^{8}}} \newline {{3}^{{{x}^{2}}-2x-8}}={{7}^{{{x}^{2}}-2x-8}}

    Maka

    x2−2x−8=0(x+2)(x−4)=0{{x}^{2}}-2x-8=0 \newline (x+2)(x-4)=0

    x=−2x=-2 atau x=4x=4

    Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 4}

Persamaan Bentuk [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x){{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}

Penyelesaian persamaan berbentuk [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x){{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}} mempunyai beberapa kemungkinan:

  1. Persamaan berlaku jika pangkatnya sama atau g(x) = h(x), dengan syarat untuk bilangan pokok = 0, pangkat bernilai positif, atau untuk h(x) = 0 maka f(x) dan g(x) bernilai positif.
  2. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 1 atau h(x) = 1
  3. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 0 atau h(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai positif.
  4. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = −1, dengan syarat f(x) dan g(x) bernilai genap atau f(x) dan g(x) bernilai ganjil.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari

  1. (2x−5)4x+3=(2x−5)2x−7{{\left( 2x-5 \right)}^{4x+3}}={{\left( 2x-5 \right)}^{2x-7}}
  2. (3x−10)x2=(3x−10)2x{{\left( 3x-10 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( 3x-10 \right)}^{2x}}

Alternatif Penyelesaian

  1. (2x−5)4x+3=(2x−5)2x−7{{\left( 2x-5 \right)}^{4x+3}}={{\left( 2x-5 \right)}^{2x-7}}

    h(x)=2x−5f(x)=4x+3g(x)=2x−7h(x)=2x-5 \newline f(x)=4x+3 \newline g(x)=2x-7

    1. Kemungkinan 1:

      [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒f(x)=g(x){{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow f(x)=g(x)

      4x+3=2x−74x+3=2x-7

      2x=−10x=−5 2x=-10 \newline x=-5 \newline

    2. Kemungkinan 2:

      [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=1{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=1

      2x−5=12x=6x=32x-5=1 \newline 2x=6 \newline x=3

    3. Kemungkinan 3:

      [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=0{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=0
      asal f(x) dan g(x) positif

      2x−5=02x=5x=522x-5=0 \newline 2x=5 \newline x=\frac{5}{2}

      Cek apakah f(x) dan g(x) positif

      f(x)=4x+3f(52)=4(52)+3=13>0g(x)=2x−7g(52)=2(52)−7=−2<0f(x)=4x+3 \newline f\left( \frac{5}{2} \right)=4\left( \frac{5}{2} \right)+3=13>0 \newline g(x)=2x-7 \newline g\left( \frac{5}{2} \right)=2\left( \frac{5}{2} \right)-7=-2<0 \newline

      Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka x=52x=\frac{5}{2} tidak memenuhi

    4. Kemungkinan 4:
      [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=−1{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=-1
      asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

      2x−5=−12x=4x=2 2x-5=-1 \newline 2x=4 \newline x=2

      Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

      f(x)=4x+3f(2)=4(2)+3=11 (ganjil)g(x)=2x−7g(2)=2(2)−7=−3 (ganjil)f(x)=4x+3 \newline f\left( 2 \right)=4\left( 2 \right)+3=11\text{ (ganjil)} \newline g(x)=2x-7 \newline g\left( 2 \right)=2\left( 2 \right)-7=-3\text{ (ganjil)}
      Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka x=2x=2 memenuhi

    Jadi, himpunan penyelesainnya adalah −5,2,3{ -5,2,3 }

  2. (3x−10)x2=(3x−10)2x{{\left( 3x-10 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( 3x-10 \right)}^{2x}}

    1. [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒f(x)=g(x){{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow f(x)=g(x)
      x2=2x{{x}^{2}}=2x
      x2−2x=0x(x−2)=0{{x}^{2}}-2x=0 \newline x(x-2)=0
      x=0x=0 atau x=2x=2

    2. [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=1{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=1
      3x−10=13x=11x=113 3x-10=1 \newline 3x=11 \newline x=\frac{11}{3}

    3. [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=0{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=0
      asal f(x) dan g(x) positif
      3x−10=03x=10x=103 3x-10=0 \newline 3x=10 \newline x=\frac{10}{3} \newline

      Cek apakah f(x) dan g(x) positif
      f(103)=(103)2>0g(103)=2(103)>0 f\left( \frac{10}{3} \right)={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{2}}>0 \newline g\left( \frac{10}{3} \right)=2\left( \frac{10}{3} \right)>0

      Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka x=103x=\frac{10}{3} memenuhi

    4. [h(x)]f(x)=[h(x)]g(x)⇒h(x)=−1{{\left[ h(x) \right]}^{f(x)}}={{\left[ h(x) \right]}^{g(x)}}\Rightarrow h(x)=-1asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

      \begin{align} & 3x-10=-1 \newline & 3x=9 \newline & x=3 \newline \end{align}

      Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

      \begin{align} & f(x)={{x}^{2}} \newline & f\left( 3 \right)={{3}^{2}}=9\text{ (ganjil)} \newline & g(x)=2x \newline & g\left( 3 \right)=2(3)=6\text{ (genap)} \newline \end{align}

      Karena f(x) ganjil dan g(x) genap maka x=3x=3 tidak memenuhi

      Jadi, himpunan penyelesainnya adalah 0,2,3,103,113 0,2,3,\frac{10}{3},\frac{11}{3}

Persamaan Bentuk A[af(x)]2+B[af(x)]+C=0A{{\left[ {{a}^{f(x)}} \right]}^{2}}+B\left[ {{a}^{f(x)}} \right]+C=0

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan kuadrat. Dengan memisalkan af(x)=p{{a}^{f(x)}}=p, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat Ap2+Bp+C=0A{{p}^{2}}+Bp+C=0.

Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari

  1. 22x−3.2x+2+32=0{{2}^{2x}}-{{3.2}^{x+2}}+32=0
  2. 4x+2+15.2x−1=0{{4}^{x+2}}+{{15.2}^{x}}-1=0

Alternatif Penyelesaian

  1. 22x−3.2x+2+32=0{{2}^{2x}}-{{3.2}^{x+2}}+32=0
    \begin{align} & {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-3\left( {{2}^{x}} \right){{2}^{2}}+32=0 \newline & {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-12\left( {{2}^{x}} \right)+32=0 \newline \end{align} Misalkan 2x=p{{2}^{x}}=p, maka \begin{align} & {{p}^{2}}-12p+32=0 \newline & (p-8)(p-4)=0 \newline \end{align}

    p=8p=8 atau p=4p=4

    Untuk p=8⇒2x=8p=8\Rightarrow {{2}^{x}}=8

    \begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{3}} \newline & x=3 \newline \end{align}

    Untuk p=4⇒2x=4p=4\Rightarrow {{2}^{x}}=4

    \begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{2}} \newline & x=2 \newline \end{align}

    Jadi, himpunan penyelesainnya adalah 2,3{2,3}

  2. 4x+2+15.2x−1=0{{4}^{x+2}}+{{15.2}^{x}}-1=0
    \begin{align} & {{4}^{x}}{{.4}^{2}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline & {{16.2}^{2x}}+{{15.2}^{x}}-1=0 \newline & 16{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+15\left( {{2}^{x}} \right)-1=0 \newline \end{align}

    Misalkan 2x=p{{2}^{x}}=p, maka

    \begin{align} & 16{{p}^{2}}+15p-1=0 \newline & (16p-1)(p+1)=0 \newline \end{align}

    p=116p=\frac{1}{16} atau p=−1p=-1

    Untuk p=116⇒2x=116p=\frac{1}{16}\Rightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{16}

    \begin{align} & {{2}^{x}}={{2}^{-4}} \newline & x=-4 \newline \end{align}

    Untuk p=−1⇒2x=−1p=-1\Rightarrow {{2}^{x}}=-1 tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif

    Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {-4}.