Banyak Matematikawan yang beranggapan bahwa persamaan matematika yang paling cantik yang permah ada (the Most Beautiful Equation ever) adalah $${{e}^{i\pi }}+1=0$$
dengan
$e$ adalah Euler’s Number atau bilangan Euler, basis dari Natural Logarithms,
$i$ adalah Bilangan imajiner, yang memenuhi $i^2=1$ dan
$\pi$ adalah pi, Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.
persamaan tersebut terkadang disebut dengan identitas euler (euler’s identity).
Kenapa itu disebut persamaan yang paling cantik? Karena ke-5 bilangan paling penting dalam matematika ada disitu $e,i,\pi ,1,0$. Selain itu, persamaan tersebut menggunakan 3 operasi terpenting dalam matematika yaitu penjumlahan perkalian dan eksponensial. Ada yang mengatakan bahwa persamaan tersebut mengandung makna filosofi dan spritual. Perpaduan antara bilangan real dan imajiner menghasilkan kosong. Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi.
Bagaimana Pembuktiannya?
Bukti: ambil
$z=\cos \theta +i.\sin \theta …(1)$ Persamaan di bilangan kompleks
Turunan pertama $z$ terhadap $\theta$ diperoleh: $$\frac{dz}{d\theta }=-\sin \theta +i.\cos \theta $$
Padahal
$$iz=i.\cos \theta -\sin \theta =-\sin \theta +i.\cos \theta $$
Jadi
$$\frac{dz}{d\theta }=iz$$ $$\frac{dz}{z}=i.d\theta $$ Masing-masing ruas kita integralkan
$$\int{\frac{dz}{z}}=\int{i}\text{ }d\theta $$ $$\ln z=i\theta +C$$ Diperoleh: $$z={{e}^{i\pi +C}}…(2)$$ dari persamaan (1) dan (2) $$\cos \theta -i\sin \theta ={{e}^{i\theta +C}}$$ Untuk mencari nilai konstanta $C$, substitusikan $\theta =0$ diperoleh: $$1={{e}^{C}}$$ $$C=0$$ Sehingga: $$z={{e}^{i\theta +C}}={{e}^{i\theta }}=\cos \theta +i\sin \theta $$ Itulah yang disebut persamaan Euler. Sekarang ambil $\theta =\pi $, diperoleh: $${{e}^{i\pi }}=\cos \pi +i\sin \pi $$ $${{e}^{i\pi }}=-1$$ dan akhinya kita peroleh: $${{e}^{i\pi }}+1=0$$
The Most Beautiful Equation ever.