Persamaan Matematika Paling Cantik (the Most Beautiful Equation ever)

Banyak Matematikawan yang beranggapan bahwa persamaan matematika yang paling cantik yang permah ada (the Most Beautiful Equation ever) adalah  eiπ+1=0{{e}^{i\pi }}+1=0

dengan

 ee adalah Euler’s Number atau bilangan Euler, basis dari Natural Logarithms,
 ii adalah Bilangan imajiner, yang memenuhi  i2=1i^2=1 dan
 π\pi adalah pi, Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.

persamaan tersebut terkadang disebut dengan identitas euler (euler’s identity).

Kenapa itu disebut persamaan yang paling cantik? Karena ke-5 bilangan paling penting dalam matematika ada disitu e,i,π,1,0e,i,\pi ,1,0. Selain itu, persamaan tersebut menggunakan 3 operasi terpenting dalam matematika yaitu penjumlahan perkalian dan eksponensial. Ada yang mengatakan bahwa persamaan tersebut mengandung makna filosofi dan spritual. Perpaduan antara bilangan real dan imajiner menghasilkan kosong. Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi.

Bagaimana Pembuktiannya?

Bukti: ambil

z=cosθ+i.sinθ(1)z=\cos \theta +i.\sin \theta …(1)    Persamaan di bilangan kompleks

Turunan pertama zz terhadap θ\theta diperoleh: dzdθ=sinθ+i.cosθ\frac{dz}{d\theta }=-\sin \theta +i.\cos \theta

Padahal

iz=i.cosθsinθ=sinθ+i.cosθiz=i.\cos \theta -\sin \theta =-\sin \theta +i.\cos \theta

Jadi

dzdθ=iz\frac{dz}{d\theta }=iz dzz=i.dθ\frac{dz}{z}=i.d\theta Masing-masing ruas kita integralkan

dzz=i dθ\int{\frac{dz}{z}}=\int{i}\text{ }d\theta lnz=iθ+C\ln z=i\theta +C Diperoleh: z=eiπ+C(2)z={{e}^{i\pi +C}}…(2) dari persamaan (1) dan (2) cosθisinθ=eiθ+C\cos \theta -i\sin \theta ={{e}^{i\theta +C}} Untuk mencari nilai konstanta CC, substitusikan θ=0\theta =0   diperoleh: 1=eC1={{e}^{C}} C=0C=0 Sehingga: z=eiθ+C=eiθ=cosθ+isinθz={{e}^{i\theta +C}}={{e}^{i\theta }}=\cos \theta +i\sin \theta Itulah yang disebut persamaan Euler. Sekarang ambil θ=π\theta =\pi , diperoleh: eiπ=cosπ+isinπ{{e}^{i\pi }}=\cos \pi +i\sin \pi eiπ=1{{e}^{i\pi }}=-1 dan akhinya kita peroleh: eiπ+1=0{{e}^{i\pi }}+1=0

The Most Beautiful Equation ever.