Kali ini kita akan membahas beberapa soal mengenai persamaan eksponen lanjut. Namun, sebelumnya silahkan pelajari materinya dulu ya Persamaan Eksponen Lanjut↝ .
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- $5^{x-7}=11^{x-7}$
- $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
- $5^{x-7}=11^{x-7}$
Maka
$x-7=0 \newline x=7$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7} - $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
$7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 16 \newline 7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 2^4 \newline \frac{7^{4x+5}}{7} = \frac{2^4}{2^{-4x}} \newline 7^{4x+4}=2^{4x+4}$ maka
$4x+4=0 \newline 4x=-4 \newline x=1$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut
- $2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
- $5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
$2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
Maka
$x^2-6x-16=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-8)(x+2)=0$
$x=8\text{ atau }x=-2$Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,8}
$5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$ (jika bilangan itu bisa dirubah ke bentuk pangkat rubahlah ke bentuk pangkat)
$$\begin{align*}5^{x^2+2x-6}&=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\5^{x^2+2x-6}&=\frac{5^2}{2^5}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\\frac{5^{x^2+2x-6}}{5^2}&=\frac{2^{x^2+2x-3}}{2^5}\\5^{x^2+2x-8}&=2^{x^2+2x-8}\end{align*}$$Maka
$x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2$Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-4,2}
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
- ${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
$h(x)=3x+2 \newline f(x)=2x+5 \newline g(x)=x-2$Kemungkinan 1:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$2x+5=x-2$
$ 2x-x=-2-5 \newline x=-7 $Kemungkinan 2:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$3x+2=1 \newline 3x=-1 \newline x=-\frac{1}{3} $Kemungkinan 3:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$3x+2=0 \newline 3x=-2 \newline x=-\frac{2}{3} $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$f(x)=2x+5 \newline f\left(-\frac{2}{3} \right)=2\left( -\frac{2}{3} \right)+5=\frac73>0$$g(x)=x-2 \newline g\left( -\frac{2}{3} \right)=\left( -\frac{2}{3} \right)-2=-\frac83<0 \newline$
Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka $x=-\frac{2}{3}$ tidak memenuhi
Kemungkinan 4:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$3x+2=-1 \newline 3x=-3 \newline x=-1$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=2x+5 \newline f\left( -1 \right)=2\left( -1 \right)+5=3$ (ganjil)
$g(x)=x-2 \newline g\left( -1 \right)=\left( -1 \right)-2=-3$ (ganjil)
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=-1$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -7,-1,-\frac13 \rbrace$
${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
$h(x)=x-3 \newline f(x)=x+5 \newline g(x)=x^2-x-3$${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$x+5=x^2-x-3$
$x^2-2x-8=0 \newline (x-4)(x+2)=0 $
$x=4$ atau $x=-2$${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$ x-3=1 \newline x=4 $${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$ x-3=0 \newline x=3 \newline $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$ f(x)=x+5 \newline f\left( 3 \right)=3+5=8>0 $$g(x)=x^2-x-3 \newline g\left( 3 \right)=3^2-3-3=3>0$
Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka $x=3$ memenuhi
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$ asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $$\begin{align*}& x-3=-1 \newline & x=2 \end{align*}$$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $$\begin{align*}& f(x)=x+5 \newline & f\left( 2 \right)=2+5=7\text{ (ganjil)} \newline & g(x)=x^2-x-3 \newline & g\left( 2 \right)=2^2-2-3=-1\text{ (ganjil)} \end{align*}$$
Karena f(x) ganjil dan g(x) ganjil maka $x=2$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -2,2,3,4 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
- ${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
$h(x)=x+3 \newline f(x)=x^2-3x-10 \newline g(x)=2x^2-x-18$Kemungkinan 1:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$x^2-3x-10=2x^2-x-18$
$x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2 $Kemungkinan 2:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$x+3=1 \newline x=-2 $Kemungkinan 3:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$x+3=0 \newline x=-3 $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-3 \right)=(-3)^2-3(-3)-10=8>0$$g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-3 \right)=2(-3)^2-(-3)-18=3>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=-3$ memenuhi
Kemungkinan 4:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$x+3=-1 \newline x=-4$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-4 \right)=(-4)^2-3(-4)-10=18\text{ (genap)}$$g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-4 \right)=2(-4)^2-(-4)-18=18\text{ (genap)}$
Karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka $x=-4$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -4,-3,-2,2 \rbrace$
${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
$h(x)=x^2-10x+24 \newline f(x)=2x+1 \newline g(x)=x+2$Kemungkinan 1:
$f(x)=g(x)$
$2x+1=x+2$
$x=1$Kemungkinan 2:
$h(x)=1$
$x^2-10x+24=1 \newline x^2-10x+23=0 $
gunakan rumus abc $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ untuk mencari nilai $x$
$$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1,2}&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{100-92}}{2} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ x_{1,2}&=5\pm \sqrt{2} \end{align*}$$Kemungkinan 3:
$h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$x^2-10x+24=0 \newline (x-6)(x-4)=0 \newline x=6 \text{ atau } x=4 $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
untuk $x=6$
$f(x)=2x+1 \newline f\left(6 \right)=2(6)+1=13>0$$g(x)=x+2 \newline g\left( 6 \right)=6+2=8>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=6$ memenuhi
untuk $x=4$
$f(x)=2x+1 \newline f\left(4 \right)=2(4)+1=9>0$$g(x)=x+2 \newline g\left( 4 \right)=4+2=6>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=4$ memenuhi
Kemungkinan 4:
$h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$x^2-10x+24=-1 \newline x^2-10x+25=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-5)(x-5)=0 \newline x=5 \text{ atau } x=5$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=2x+1 \newline f\left(5 \right)=2(5)+1=11\text{ (ganjil)}$$g(x)=x+2 \newline g\left(5 \right)=5+2=7\text{ (ganjil)}$
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=5$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,5- \sqrt{2},4,5,5+ \sqrt{2},6 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- $2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0$
- $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
- $2^{2x}-10\cdot2^{x+2}+16=0$
$$\begin{align*} 2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0 \\{(2^x)}^2-10\cdot 2^x+16=0 \end{align*}$$ Misalkan $2^x=p$, maka $$\begin{align*} p^2-10p+16=0 \\ (p-8)(p-2)=0 \\ p=8 \text{ atau } p=2 \end{align*} $$ Untuk $p=8\Rightarrow 2^x=8$
$$\begin{align*}2^x=2^3 \\ x=3 \end{align*}$$ Untuk $p=4\Rightarrow 2^x=2$ $$\begin{align*}2^x=2 \\ x=1 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,3 \rbrace$ - $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
$$\begin{align*} 5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0 \\{(5^x)}^2-6\cdot 2^x+5=0 \end{align*}$$ Misalkan $5^x=p$, maka $$\begin{align*} p^2-6p+5=0 \\ (p-5)(p-1)=0 \\ p=5 \text{ atau } p=1 \end{align*} $$ Untuk $p=5\Rightarrow 5^x=5$
$$\begin{align*}5^x=5 \\ x=1 \end{align*}$$ Untuk $p=1\Rightarrow 5^x=1$ $$\begin{align*}5^x=1 \\ x=0 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 0,1 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
- $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
- ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
$$\begin{align*} &{25}^{x}+5^{3-2x}=30 \\\ &5^{2x}+\frac{5^3}{5^{2x}}=30 \\ &5^{2x}+\frac{125}{5^{2x}}=30 \text{ masing ruas }\times 5^{2x}\\\ &{(5^{2x})}^2+125=30\cdot5^{2x}\\ &{(5^{2x})}^2-30\cdot5^{2x}+125=0 \end{align*}$$ Misalkan $5^{2x}=p$, maka $$\begin{align*} & p^2-30p+125=0 \newline & (p-5)(p-25)=0 \newline &p=5 \text{ atau } p=25 \end{align*}$$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=5$ $$\begin{align*} 5^{2x}=5 \newline 2x=1 \newline x=\frac12 \end{align*}$$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=25$ $$\begin{align*} 5^{2x}=25 \newline 5^{2x}=5^2 \newline 2x=2 \newline x=1 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace \frac12,1 \rbrace$. - $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
$$\begin{align*} & 2^{x+2}-4^{x+1}=-960 \\ & 2^x\cdot 2^2-2^{2(x+1)}+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -2^{2x}\cdot2^2+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -4\cdot {(2^x)^2}+960=0 \text{ (bagi -4)}\\ & -2^x +(2^x)^2-240=0 \\ & (2^x)^2 -2^x -240=0 \\ \end{align*}$$ Misalkan $2^x=p$, maka $$\begin{align*}& p^2-p-240=0 \\ & (p-16)(p+15)=0 \\ &p=16\text{ atau }p=-15 \end{align*}$$ Untuk $p=16\Rightarrow 2^x=16$ $$\begin{align*}& 2^x=16 \\ &2^x=2^4 \\ &x=4 \end{align*}$$ Untuk $p=-15\Rightarrow 2^x=-15$ tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {4}.