Kali ini kita akan membahas beberapa soal mengenai persamaan eksponen lanjut. Namun, sebelumnya silahkan pelajari materinya dulu ya.
Kali ini kita akan membahas beberapa soal mengenai persamaan eksponen lanjut. Namun, sebelumnya silahkan pelajari materinya dulu ya Persamaan Eksponen Lanjut↝ .
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- $5^{x-7}=11^{x-7}$
- $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
- $5^{x-7}=11^{x-7}$
Maka
$x-7=0 \newline x=7$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7} - $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
$7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 16 \newline 7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 2^4 \newline \frac{7^{4x+5}}{7} = \frac{2^4}{2^{-4x}} \newline 7^{4x+4}=2^{4x+4}$ maka
$4x+4=0 \newline 4x=-4 \newline x=1$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut
- $2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
- $5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
$2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
Maka
$x^2-6x-16=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-8)(x+2)=0$
$x=8\text{ atau }x=-2$Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,8}
$5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$ (jika bilangan itu bisa dirubah ke bentuk pangkat rubahlah ke bentuk pangkat)
$$\begin{align*}5^{x^2+2x-6}&=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\5^{x^2+2x-6}&=\frac{5^2}{2^5}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\\frac{5^{x^2+2x-6}}{5^2}&=\frac{2^{x^2+2x-3}}{2^5}\\5^{x^2+2x-8}&=2^{x^2+2x-8}\end{align*}$$Maka
$x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2$Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-4,2}
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
- ${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
$h(x)=3x+2 \newline f(x)=2x+5 \newline g(x)=x-2$Kemungkinan 1:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$2x+5=x-2$
$ 2x-x=-2-5 \newline x=-7 $Kemungkinan 2:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$3x+2=1 \newline 3x=-1 \newline x=-\frac{1}{3} $Kemungkinan 3:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$3x+2=0 \newline 3x=-2 \newline x=-\frac{2}{3} $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$f(x)=2x+5 \newline f\left(-\frac{2}{3} \right)=2\left( -\frac{2}{3} \right)+5=\frac73>0$$g(x)=x-2 \newline g\left( -\frac{2}{3} \right)=\left( -\frac{2}{3} \right)-2=-\frac83<0 \newline$
Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka $x=-\frac{2}{3}$ tidak memenuhi
Kemungkinan 4:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$3x+2=-1 \newline 3x=-3 \newline x=-1$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=2x+5 \newline f\left( -1 \right)=2\left( -1 \right)+5=3$ (ganjil)
$g(x)=x-2 \newline g\left( -1 \right)=\left( -1 \right)-2=-3$ (ganjil)
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=-1$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -7,-1,-\frac13 \rbrace$
${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
$h(x)=x-3 \newline f(x)=x+5 \newline g(x)=x^2-x-3$${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$x+5=x^2-x-3$
$x^2-2x-8=0 \newline (x-4)(x+2)=0 $
$x=4$ atau $x=-2$${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$ x-3=1 \newline x=4 $${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$ x-3=0 \newline x=3 \newline $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$ f(x)=x+5 \newline f\left( 3 \right)=3+5=8>0 $$g(x)=x^2-x-3 \newline g\left( 3 \right)=3^2-3-3=3>0$
Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka $x=3$ memenuhi
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$ asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $$\begin{align*}& x-3=-1 \newline & x=2 \end{align*}$$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $$\begin{align*}& f(x)=x+5 \newline & f\left( 2 \right)=2+5=7\text{ (ganjil)} \newline & g(x)=x^2-x-3 \newline & g\left( 2 \right)=2^2-2-3=-1\text{ (ganjil)} \end{align*}$$
Karena f(x) ganjil dan g(x) ganjil maka $x=2$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -2,2,3,4 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
- ${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
$h(x)=x+3 \newline f(x)=x^2-3x-10 \newline g(x)=2x^2-x-18$Kemungkinan 1:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
$x^2-3x-10=2x^2-x-18$
$x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2 $Kemungkinan 2:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
$x+3=1 \newline x=-2 $Kemungkinan 3:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$x+3=0 \newline x=-3 $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
$f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-3 \right)=(-3)^2-3(-3)-10=8>0$$g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-3 \right)=2(-3)^2-(-3)-18=3>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=-3$ memenuhi
Kemungkinan 4:
${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$x+3=-1 \newline x=-4$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-4 \right)=(-4)^2-3(-4)-10=18\text{ (genap)}$$g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-4 \right)=2(-4)^2-(-4)-18=18\text{ (genap)}$
Karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka $x=-4$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -4,-3,-2,2 \rbrace$
${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
$h(x)=x^2-10x+24 \newline f(x)=2x+1 \newline g(x)=x+2$Kemungkinan 1:
$f(x)=g(x)$
$2x+1=x+2$
$x=1$Kemungkinan 2:
$h(x)=1$
$x^2-10x+24=1 \newline x^2-10x+23=0 $
gunakan rumus abc $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ untuk mencari nilai $x$
$$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1,2}&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{100-92}}{2} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ x_{1,2}&=5\pm \sqrt{2} \end{align*}$$Kemungkinan 3:
$h(x)=0$
asal f(x) dan g(x) positif
$x^2-10x+24=0 \newline (x-6)(x-4)=0 \newline x=6 \text{ atau } x=4 $Cek apakah f(x) dan g(x) positif
untuk $x=6$
$f(x)=2x+1 \newline f\left(6 \right)=2(6)+1=13>0$$g(x)=x+2 \newline g\left( 6 \right)=6+2=8>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=6$ memenuhi
untuk $x=4$
$f(x)=2x+1 \newline f\left(4 \right)=2(4)+1=9>0$$g(x)=x+2 \newline g\left( 4 \right)=4+2=6>0$
Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=4$ memenuhi
Kemungkinan 4:
$h(x)=-1$
asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil$x^2-10x+24=-1 \newline x^2-10x+25=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-5)(x-5)=0 \newline x=5 \text{ atau } x=5$
Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
$f(x)=2x+1 \newline f\left(5 \right)=2(5)+1=11\text{ (ganjil)}$$g(x)=x+2 \newline g\left(5 \right)=5+2=7\text{ (ganjil)}$
Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=5$ memenuhi
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,5- \sqrt{2},4,5,5+ \sqrt{2},6 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- $2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0$
- $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
- $2^{2x}-10\cdot2^{x+2}+16=0$
$$\begin{align*} 2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0 \\{(2^x)}^2-10\cdot 2^x+16=0 \end{align*}$$ Misalkan $2^x=p$, maka $$\begin{align*} p^2-10p+16=0 \\ (p-8)(p-2)=0 \\ p=8 \text{ atau } p=2 \end{align*} $$ Untuk $p=8\Rightarrow 2^x=8$
$$\begin{align*}2^x=2^3 \\ x=3 \end{align*}$$ Untuk $p=4\Rightarrow 2^x=2$ $$\begin{align*}2^x=2 \\ x=1 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,3 \rbrace$ - $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
$$\begin{align*} 5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0 \\{(5^x)}^2-6\cdot 2^x+5=0 \end{align*}$$ Misalkan $5^x=p$, maka $$\begin{align*} p^2-6p+5=0 \\ (p-5)(p-1)=0 \\ p=5 \text{ atau } p=1 \end{align*} $$ Untuk $p=5\Rightarrow 5^x=5$
$$\begin{align*}5^x=5 \\ x=1 \end{align*}$$ Untuk $p=1\Rightarrow 5^x=1$ $$\begin{align*}5^x=1 \\ x=0 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 0,1 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
- ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
- $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
- ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
$$\begin{align*} &{25}^{x}+5^{3-2x}=30 \\\ &5^{2x}+\frac{5^3}{5^{2x}}=30 \\ &5^{2x}+\frac{125}{5^{2x}}=30 \text{ masing ruas }\times 5^{2x}\\\ &{(5^{2x})}^2+125=30\cdot5^{2x}\\ &{(5^{2x})}^2-30\cdot5^{2x}+125=0 \end{align*}$$ Misalkan $5^{2x}=p$, maka $$\begin{align*} & p^2-30p+125=0 \newline & (p-5)(p-25)=0 \newline &p=5 \text{ atau } p=25 \end{align*}$$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=5$ $$\begin{align*} 5^{2x}=5 \newline 2x=1 \newline x=\frac12 \end{align*}$$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=25$ $$\begin{align*} 5^{2x}=25 \newline 5^{2x}=5^2 \newline 2x=2 \newline x=1 \end{align*}$$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace \frac12,1 \rbrace$. - $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
$$\begin{align*} & 2^{x+2}-4^{x+1}=-960 \\ & 2^x\cdot 2^2-2^{2(x+1)}+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -2^{2x}\cdot2^2+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -4\cdot {(2^x)^2}+960=0 \text{ (bagi -4)}\\ & -2^x +(2^x)^2-240=0 \\ & (2^x)^2 -2^x -240=0 \\ \end{align*}$$ Misalkan $2^x=p$, maka $$\begin{align*}& p^2-p-240=0 \\ & (p-16)(p+15)=0 \\ &p=16\text{ atau }p=-15 \end{align*}$$ Untuk $p=16\Rightarrow 2^x=16$ $$\begin{align*}& 2^x=16 \\ &2^x=2^4 \\ &x=4 \end{align*}$$ Untuk $p=-15\Rightarrow 2^x=-15$ tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {4}.