Latihan Soal PTS Dimensi 3 Kelas XII

Sudah pertengahan september nih, bagi kamu yang mau penilaian tengah semester atau PTS penulis bagikan beberapa soal ya untuk berlatih..

Sudah pertengahan september nih, bagi kamu yang mau penilaian tengah semester atau PTS penulis bagikan beberapa soal ya untuk berlatih..

Kali ini saya bagikan soal tentang dimensi tiga, ini materi kelas XII matematika umum. Sudah tau materinya belum?? kalau belum baca dulu materi tentang dimensi tiga. Di kelas XII materi dimensi tiga membahas tentang jarak titik, garis dan bidang. Silakan dicermati dulu materinya. Konsep jarak titik, garis dan bidang↝

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24 cm. Titik P di tengah rusuk AF. Titik Q terletak di rusuk EF dengan perbandingan EQ:QF=1:3.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24 cm. Titik P di tengah rusuk AE. Titik Q terletak di rusuk EF dengan perbandingan EQ:QF=1:3. Hitunglah:

1. Jarak titik Q ke titik C
2. Jarak titik Q ke garis BG
3. Jarak titik P ke bidang BDHF
4. Jarak garis CG ke garis HB
5. Jarak antara bidang ACH dan BEG

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut Diketahui panjang rusuk 24 cm, P ditengah AE dan $EQ:QF=1:3$
$EQ=\dfrac14 EF=\dfrac14 \times 24 =6$ cm
$EQ=\dfrac34 EF=\dfrac34 \times 24 =18$ cm

1. Jarak titik Q ke titik C $$\begin{align*} QC&=\sqrt{QF^2+FG^2+GC^2}\\ &=\sqrt{18^2+24^2+24^2}\\ &=\sqrt{6^2(3^2+4^2+4^2}\\ &=6\sqrt{9+16+16}\\ &=6\sqrt{41}\\ \end{align*}$$ Jadi, Jarak titik Q ke titik C adalah $6\sqrt{41}$ cm.
2. Jarak titik Q ke garis BG
   Perhatikan $\vartriangle BGQ$ sama kaki
   cari panjang $GQ$
   $$\begin{align*} GQ&=\sqrt{QF^2+FG^2}\\ &=\sqrt{18^2+24^2}\\ &=\sqrt{6^2(3^2+4^2}\\ &=6\sqrt{9+16}\\ &=6\sqrt{25}\\ &=6\times 5 \\ &=30 \\ \end{align*}$$ Misal S proyeksi Q pada BG sehingga jarak titik Q ke garis BG adalah QS. BG merupakan diagonal bidang sehingga $BG=24\sqrt2$ Panjang QS dapat dicari dengan menggunakan teorema pythagoras $$\begin{align*} QS&=\sqrt{GQ^2-SG^2}\\ &=\sqrt{30^2-(12\sqrt2 )^2}\\ &=\sqrt{900 - 288}\\ &=\sqrt{612}\\ &=6\sqrt{17}\\ \end{align*}$$ Jadi, Jarak titik Q ke garis BG adalah $6\sqrt{17}$ cm
3. Jarak titik P ke bidang BDHF
   Perhatikan gambar berikut untuk nomor 3 dan 4 Jarak P ke bidang BDHF merupakan setengah dari diagonal bidang sehingga jaraknya $12\sqrt2$ cm
4. Jarak garis CG ke garis HB
   Jarak CG ke garis HB merupakan setengah dari diagonal bidang sehingga jaraknya $12\sqrt2$ cm
5. Jarak antara bidang ACH dan BEG
   Perhatikan gambar berikut untuk nomor 5 Jarak bidang ACH dan BEG adalah ruas garis SM, panjang ruas garis $SM=\dfrac13$ diagonal ruang. Sehingga
   Jarak bidang ACH dan BEG = $\dfrac13\times 24\sqrt 3 = 8\sqrt3$ cm.

2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=28 cm, BC=18 cm, dan CG=24 cm. Titik P terletak pada HG dengan perbandingan HP:PG=3:5.

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=32 cm, BC=18 cm, dan CG=24 cm. Titik P terletak pada HG dengan perbandingan HP:PG=3:5. Hitunglah

1. Jarak titik A ke titik P
2. Jarak titik C ke garis BD
3. Jarak garis FG ke bidang BCHE

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut untuk soal 1 dan 2 Diketahui balok ABCD.EFGH
$AB=32$ cm,
$BC=18$ cm
$CG=24$ cm
Titik $P$ pada $HG$ dengan $HP:PG=3:5$ sehingga
$HP=\dfrac38 HG=\dfrac38 \times 32 =12$ cm
$PG=\dfrac58 HG=\dfrac58 \times 32 =20$ cm

1. Jarak titik A ke titik P
   Jarak titik A ke P merupakan panjang ruas garis AP sehingga $$\begin{align*} AP&=\sqrt{AE^2+EH^2+HP^2}\\ &=\sqrt{AE^2+EH^2+HP^2}\\ &=\sqrt{32^2+24^2+12^2}\\ &=\sqrt{4^2(8^2+6^2+3^2)}\\ &=4\sqrt{64+36+9}\\ AP&=4\sqrt{109}\\ \end{align*}$$ Jadi, Jarak titik A ke P adalah $4\sqrt{109}$ cm
2. Jarak titik C ke garis BD
   Perhatikan gambar 2 $\vartriangle BCD$.
   Misal S adalah proyeksi titik C pada garis BD sehingga jarak titik C ke garis BD adalah ruas garis CS. Cari panjang BD dengan pythagoras $$\begin{align*} BD&=\sqrt{BC^2+CD^2}\\ &=\sqrt{18^2+32^2}\\ &=\sqrt{2^2(9^2+16^2)}\\ &=2\sqrt{81+256}\\ BD&=2\sqrt{337} \end{align*}$$ Pada $\vartriangle BCD$ berlaku kesamaan luas segitiga. $$\begin{align*} \text{Luas } \vartriangle BCD \\ \cancel{\frac12}BD\times CS = \cancel{\frac12}BC\times CD\\ BD\times CS =BC\times CD\\ CS=\frac{BC\times CD}{BD}\\ CS=\frac{18\times 32}{2\sqrt{337}}\\ CS=\frac{9\times 32}{\sqrt{337}}\\ CS=\frac{288}{\sqrt{337}}\\ CS=\frac{288}{337}\sqrt{337}\end{align*}$$ Jadi, jarak titik C ke garis BD adalah $\dfrac{288}{337}\sqrt{337}$ cm.
3. Jarak garis FG ke bidang BCHE
   Perhatikan gambar berikut. Misal Q adalah salah satu titik hasil proyeksi titik garis FG pada bidang BCHE, maka jarak garis FG ke bidang BCHE adalah panjang ruas garus FQ.
   Cari panjang BE dengan pythagoras $$\begin{align*} BE&=\sqrt{AB^2+AE^2}\\ &=\sqrt{32^2+24^2}\\ &=\sqrt{8^2(4^2+3^2)}\\ &=8\sqrt{16+9}\\ BD&=8\sqrt{25} \\ BD&=8\times 5 \\ BD&=40 \end{align*}$$ Pada $\vartriangle BEF$ berlaku kesamaan luas segitiga. $$\begin{align*} \text{Luas }\vartriangle BEF \\ \cancel{\frac12}BE\times FQ = \cancel{\frac12}BF\times FE\\ BE\times FQ =BF\times FE\\ FQ=\frac{BF\times FE}{BE}\\ FQ=\frac{24\times 32}{40}\\ CS=\frac{96}{5}\\ CS=19\frac{1}{5}\end{align*}$$ Jadi, jarak garis FG ke bidang BCHE adalah $19\frac{1}{5}$ cm.

3. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 24 cm dan rusuk tegak 20 cm.

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 24 cm dan rusuk tegak 20 cm. Hitunglah

1. jarak titik C ke bidang alas.
2. jarak titik B ke garis TD.

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut untuk soal 1 dan 2

1. jarak titik C ke bidang alas.
   Misal O pada alas sehingga jarak titik C ke bidang alas adalah panjang ruas garis TO.
   AC diagonal bidang alas sehingga $AC=24\sqrt2$ cm. $$\begin{align*} TO&=\sqrt{TC^2-OC^2}\\ &=\sqrt{TC^2-(\frac12 AC)^2}\\ &=\sqrt{20^2-(12\sqrt{2})^2}\\ &=\sqrt{400-288}\\ &=\sqrt{112}\\ TO&=4\sqrt{7} \end{align*}$$ Jadi, jarak titik C ke bidang alas adalah $4\sqrt{7}$
2. jarak titik B ke garis TD.
   Misal P adalah proyeksi B pada TD maka jarak B ke TD adalah panjang ruas garis BP.
   Perhatikan $\vartriangle BDT$ sama kaki. BP dapat diperolehdari kesamaan luas $\vartriangle BDT$. $$\begin{align*} \text{Luas } \vartriangle BDT \\ \cancel{\frac12}BD\times TO = \cancel{\frac12}DT\times PB\\ BD\times TO =DT\times PB\\ PB=\frac{BD\times TO}{DT}\\ PB=\frac{24\sqrt2 \times 4 \sqrt7}{20}\\ PB=\frac{24}{5}\sqrt{14} \end{align*}$$ jadi, jarak titik B ke garis TD adalah $\frac{24}{5}\sqrt{14}$ cm.

Demikian, beberapa soal tentang dimensi tiga. Semoga PTSnya berjalan lancar dan mendapat nilai yang maksimal ya..

Semua terasa mudah jika kita terbiasa dan banyak berlatih..