Luas segitiga yang kita pahami sebelumnya dihitung dengan rumus luas alas dikali tinggi dibagi dua atau bisa dituliskan $$ L\triangle=\frac12\times a \times t$$

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri lho. Tapi sebelumnya silahkan pelajari Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku↝ , Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa↝ , dan juga Aturan Sinus dan Cosinus↝ agar lebih paham tentang trigonometri.

Luas Segitiga dengan Aturan Trigonometri

1. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut

Perhatikan segitiga ABC berikut dengan diberikan sudut dan sisi-sisinya !

Luas Segitiga

Luas segitiga ABC adalah : $$\begin{align} L \triangle ABC &= \frac12 \times \text{alas} \times \text{tinggi}\nonumber\\ &= \frac12 \times c \times t \end{align}$$ Perhatikan bahwa segitiga ADC, dengan perbandingan trigonometri diperoleh $$\sin\alpha=\frac{t}{b}$$ atau $$\begin{align}t=b\sin\alpha\end{align}$$ Dari pers (1) dan pers (2), maka $$\begin{align}L \triangle ABC &= \frac12\times c \times t\nonumber\\ &= \frac12 \times c \times b \sin\alpha \nonumber\\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}bc\sin\alpha \end{align}$$ Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

$$\begin{align*} L \triangle ABC &= \frac{1}{2}bc\sin\alpha \\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}ac\sin\beta \\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}ab\sin\gamma \end{align*}$$

Contoh Soal

Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui sisi $BC=4$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm dan $\angle C=60\degree$.

Alternatif Penyelesaian ✍️

$BC=4$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm dan $\angle C=60\degree$ Soal Luas Segitiga Trigonometri

Dengan menggunukan rumus luas segitiga aturan trigonometri $$\begin{align*}L \triangle ABC &= \frac{1}{2}BC.AC.\sin C \\ &= \frac{1}{2}(4)(7\sqrt3)\sin 60\degree \\ &= \frac{1}{2}(4)(7\sqrt3)\frac12\sqrt3 \\ &= \frac{1}{4}(4)(7\sqrt3)(\sqrt3) \\ &= (7)(3) \\&= 21 \end{align*}$$ Jadi, luas segitiga ABC adalah $21 \text{ cm}^2$.

2. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya

Pembuktian rumus Heron

  • Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut A $$\begin{align*}a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc}\tag{1} \end{align*}$$
  • Identitas Trigonometri : $$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \\ \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A \\ \rightarrow \sin ^2 A = (1-\cos A)(1+\cos A) \tag{2}$$
  • Substitusikan pers (1) ke pers (2)

$$ \begin{align*}\sin ^2 A &= 1 - \cos ^2 A \\\sin ^2 A &= (1 - \cos A )(1 + \cos A )\\ &= \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} \right)\\ \sin ^2 A &= \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{(2bc)(2bc)} \\ \sin A &= \sqrt{ \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{(2bc)(2bc)} } \\ \sin A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) } \end{align*} $$

  • misalkan : $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $ oleh karena itu

    • $2s=a+b+c$
    • $b+c-a=(a+b+c)-2a=2s-2a=2(s-a)$
    • $a+c-b=(a+b+c)-2b=2s-2b=2(s-b)$
    • $a+b-c=(a+b+c)-2c=2s-2c=2(s-c)$

    sehingga diperoleh $$\begin{align*} \sin A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }\\ &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ 2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c) }\\ A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ 16s(s-a)(s-b)(s-c) }\\ A &= \frac{4}{2bc}\sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }\\ \sin A &= \frac{2}{bc}\sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{align*}$$

  • Luas segitiga ABC menggunakan sudut A : $$ \begin{align*}L &= \frac{1}{2}.AB.AC. \sin A\\ &= \frac{1}{2}.c.b. \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) }\\ &= \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align*} $$ Jadi, terbukti luas segitiganya.

Contoh Soal

Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui sisi $a=13$ cm, $b=14$ cm dan $c=15$ cm.

Alternatif Penyelesaian ✍️

$a=13$ cm, $b=14$ cm dan $c=15$ cm.

$$\begin{align*}s&=\frac12(a+b+c)\\ &=\frac12(13+14+15) \\ &= 21 \end{align*}$$ Gunakan rumus luas segitiga jika kegita sisi diketahui $$ \begin{align*}L\triangle ABC &= \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ &= \sqrt{ 21 (21-13)(21-14)(21-15) } \\ &= \sqrt{ 21 (8)(7)(6) } \\ &= \sqrt{ 7056 } \\ &= 84 \end{align*} $$

Jadi, luas segitiga ABC adalah $84 \text{ cm}^2$.