Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma didalamnya.

Fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma didalamnya. Sebelumnya kita telah belajar tentang fungsi eksponen yaitu fungsi yang berkorespondensi satu-satu, sehingga fungsi eksponen mempunyai invers. Invers dari fungsi eksponen inilah yang dinamakan fungsi logaritma.

Dari fungsi $f : x \rightarrow a^x$ yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan real positif. Fungsi tersebut bijektif dari $R$ ke $R^+$ sehingga mempunyai invers $f^{-1} : R^+\rightarrow R$ yaitu setiap $x\in R$ mempunyai peta tunggal $y\in R^+$ dan sebaliknya $y\in R^+$ mempunyai peta tunggal $x\in R$.

Jadi, fungsi $f : x \rightarrow a^x$ mempunyai invers $f^{-1}$ sehingga dari $$y = a^x \Leftrightarrow ^a\log y=x$$ diperoleh : $$f^{-1}(x) = ^a\log x \text{ dan } f^{-1}(y) = ^a\log y$$ Fungsi invers ini disebut fungsi logaritma yang mempunyai domain himpunan bilangan positif $R^+$ dan range himpunan bilangan real R.

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Fugnsi logaritma dapat dicari nilai fungsinya untuk domain $0 < x < \infty$.
Dengan demikian secara umum bentuk umum fungsi logaritma adalah: $$f:x\rightarrow ^a\log x \text{ atau } f(x)=^a\log x$$ dengan $a > 0,a\neq1, x > 0$ dan $x\in R$

Dari bentuk umum di atas dapat diambil pengertian sebaga berikut:

1. Daerah asal (domain) dari fungsi logaritma adalah $D_f=\lbrace x|x>0,x\in R\rbrace$
2. $a$ disebut bilangan pokok (basis ) logaritma dengan syarat $a>0$ dan $a\neq 1$ dengan demikian berlaku $0<a<1$ dan $a>1$.
3. Daerah hasil (range) dari fungsi logaritma adalah $R_f=\lbrace y|-\infty<y<+\infty,y\in R\rbrace$

Contoh Soal

1. Berikut ini yang termasuk fungsi logaritma adalah $\cdots \cdot$
   A. $f(x) = \ ^2 \log (x+3)$
   B. $f(x) = |x + 7|$
   C. $f(x) = 3^{x+2}$
   D. $f(x) = x^3 + x^2 + \log 8$
   E. $f(x) = \log 5$
   Pembahasan
   Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k \cdot \ ^a \log x$ untuk $a > 0$, $a\neq 1$ dan $x > 0$.
   Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
   Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
   Opsi A: fungsi logaritma
   Opsi B: fungsi mutlak
   Opsi C: fungsi eksponen
   Opsi D: fungsi kubik
   Opsi E: fungsi konstan
   Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{f(x) = \ ^2 \log (x+3)}$
   (Jawaban A)

2. Jika $f(x) = 3 \cdot ^2 \log (3x)$, maka nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\cdots \cdot$
   A. $x = \dfrac19$
   B. $x = \dfrac13$
   C. $x = 1$
   D. $x = 3$ E. $x = 9$
   Pembahasan
   Diketahui $f(x) = 3 \cdot \ ^2 \log (3x)$.
   Ubah $f(x)$ menjadi $0$ sehingga kita peroleh $$\begin{equation} \begin{split} 3 \cdot ^2 \log (3x) &= 0 \\ ^2 \log (3x) &= 0 \\ 3x &= 2^0 \\ 3x &= 1 \\ x &= \dfrac13 \end{split} \end{equation}$$Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\boxed{x = \dfrac13}$ (Jawaban B)

3. Daerah asal dari fungsi logaritma $f(x) = \dfrac14 \cdot \ ^3 \log (x^2-4)$ adalah $D_f = \cdots \cdot$
   A. $\lbrace x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
   B. $\lbrace x \mid -2 < x < 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
   C. $\lbrace x \mid x \le -2~\text{atau}~x \ge 2, x \in \mathbb{R}\rbrace$
   D. $\lbrace x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\rbrace$
   E. $\lbrace x \mid x \in \mathbb{R}\rbrace$
   Pembahasan
   Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
   Diketahui $f(x) = \dfrac14 \cdot \ ^3 \log (x^2-4).$
   Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$ sehingga kita tuliskan $$\begin{equation} \begin{split} x^2-4 &> 0 \\ (x-2)(x+2) &> 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{split} \end{equation}$$ Jadi, domain fungsi tersebut adalah $$\boxed{D_f = {x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}}}$$
   (Jawaban A)

4. Jika $f(x) = x \log x$ dan $g(x) = 10^x$, maka $g(f(2))= \cdots \cdot$
   A. $24$
   B. $17$
   C. $4$
   D. $2$
   E. $0,6$
   Pembahasan
   Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu. Diketahui $f(x) = x \log x$ sehingga $f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$. Diketahui juga $g(x) = 10^x$ sehingga $$\begin{equation} \begin{split} g(f(2)) &= g(\log 2^2) \\ &= 10^{\log 2^2} \\ &= 10^{^{10} \log 4} \\ &= 4 \end{split} \end{equation}$$ Jadi, nilai dari $\boxed{g(f(2)) = 4}$ (Jawaban C)

5. Jika $f(x) = 2^{3x-5}$, maka nilai dari $f^{-1}(15) = \cdots \cdot$
   A. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}$
   B. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{3}$
   C. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{15}$
   D. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{15}$
   E. $\dfrac{^2 \log 3 + 3}{15}$
   Pembahasan
   Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{3x-3} = 15$. Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh $$\begin{equation} \begin{split} ^2 \log 15 &= 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 &= 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} &= x \end{split} \end{equation}$$
   Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$ (Jawaban A)