Persamaan Logaritma merupakan persamaan yang melibatkan sifat-sifat logaritma yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan logaritma, sebaiknya kita kuasai dulu sifat-sifat logaritma, karena pasti akan melibatkan sifat-sifat logaritma setiap kali menyelesaikan bentuk persamaan logaritmanya.

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokok atau basisnya juga mengandung variabel. Satu hal penting yang harus selalu diingat adalah semua akar-akar dari penyelesaian persamaan logaritma harus memenuhi semua syarat logaritma yang ada, ini artinya belum tentu semua akar-akar yang kita peroleh adalah sebagai solusi dari persamaannya. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang persamaan logaritma bentuk sederhana.

Konsep Persamaan Logaritma

Untuk $ a, b \in R , a > 0 , b > 0 , $ dan $ a \neq 1 , $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :

  1. $ {}^a \log f(x) = {}^a \log p$ , maka $ f(x) = p $
    dengan syarat : $ f(x) > 0 $
  2. $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , $ maka $ f(x) = g(x) $
    dengan syarat : $ f(x) > 0 $ dan $ g(x) > 0 $
  3. $ {}^a \log f(x) = {}^b \log f(x) , $ maka $ f(x) = 1 $

Catatan :
Ruas kiri dan kanan harus memuat bentuk logaritma. Nilai $ x $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada.

Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

1. Bentuk $ {}^a \log f(x) = {}^a \log p$

Contoh 1

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^3 \log (2x-1) = {}^3 \log 2021 $ !

Penyelesaian :
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x)$
Diketahui: $ f(x) = 2x-1 $ dan $ g(x) = 2021 $
maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0 $

$$\begin{equation} \begin{split} f(x) &= g(x) \\ 2x-1 &= 2021 \\ 2x &= 2022 \\ x &= 1011 \end{split} \end{equation}$$

Cek syarat untuk $x = 1011$
$ x = 1011 \rightarrow f(x) = 2x-1 \rightarrow f(1011) = 1011\times 1 -1 = 2021 > 0 $
Karena untuk $ x = 1011 , $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , $ maka $ x = 1011 $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 1011 $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

Contoh 2

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log (2x-2) = 3 $ ?

Penyelesaian :
Modifikasi soal agar kedua ruas memuat logaritma
$ {}^2 \log (2x-2) = 3 \\ \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 2^3 \\ \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x)$, maka solusinya:

$$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2x-2 &= 8 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{align*}$$

Cek syarat untuk $ x = 5 $
$ x = 5 \rightarrow f(x) = 2x-2 \rightarrow f(5) = 2.5-2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 5 , $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , $ maka $ x = 5 $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 5 $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

2. Bentuk $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x)$

Contoh 3

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan
$ {}^4 \log (3x-1) = {}^4 \log (2x+2) $ ?

Penyelesaian : Berdasarkan sifat persamaan $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
Diketahui : $ f(x) = 3x-1 $ dan $ g(x) = 2x+2 $
maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0 , g(x) > 0 $

$$\begin{equation} \begin{split} f(x) &= g(x) \\ 3x-1 &= 2x+2 \\ 3x - 2x &= 2 + 1 \\ x &= 3 \end{split} \end{equation}$$

Syarat Numerus $ f(x) > 0 , g(x) > 0 $
Cek syarat untuk $ x = 3 $
$ x = 3 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(3) = 3.3 -1 = 8 > 0 $
$ x = 3 \rightarrow g(x) = 2x+2 \rightarrow g(3) = 2.3+2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 3 , $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , g(x) > 0 , $ maka $ x = 3 $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 3 $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

3. Bentuk $ {}^a \log f(x) = {}^b \log f(x)$

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma
$^3\log (x^2 – x – 1) = ^7\log (x^2 – x – 1)$

Penyelesaian : Berdasarkan sifat persamaan $ {}^a \log f(x) = {}^b \log f(x) $
Diketahui : $ f(x) = x^2 – x – 1 $
maka $ f(x) = 1$

$$\begin{equation} \begin{split} f(x) &= 1 \\ x^2 – x – 1 &= 1 \\ x^2 – x – 2 &= 0 \\ (x-2)(x+1) &= 0 \end{split} \end{equation} $$

$$x=2 \text{ atau } x=-1$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 2 }

Sebenarnya masih ada lagi tipe atau bentuk lain dari persamaan logaritma seperti bentuk persamaan logaritma yang melibatkan bentuk polinomial (suku banyak) dan basisnya berupa variabel. Untuk itu, sobat bisa lihat pada bentuk persamaan logaritma lanjut. Semoga Bermanfaat. Terima kasih.