Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma

Daftar Isi

Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu :

Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat 1

Contoh :
Sederhanakanlah !

  1. 2log⁡4+2log⁡8^2\log 4 + 2\log 8
  2. 3log⁡19^3\log \frac{1}{9} + 3log⁡81^3\log 81
  3. 2log⁡22^2\log 2\sqrt{2}+ 2log⁡42^2\log 4\sqrt{2}

Jawab :

  1. 2log⁡4+2log⁡8=2log⁡4.8=2log⁡32=5^2\log 4 + ^2\log 8 = ^2\log 4 . 8 = ^2\log 32 = 5
  2. 3log⁡19+3log⁡81=3log⁡19.81=3log⁡9=2^3\log \frac{1}{9} + ^3\log 81= ^3\log \frac{1}{9} . 81 = ^3\log 9 = 2
  3. 2log⁡22+2log⁡42=2log⁡22.42=2log⁡16=4^2\log 2\sqrt{2} + ^2\log 4\sqrt{2}= ^2\log 2\sqrt{2} . 4\sqrt{2}= ^2\log 16 = 4

Sifat 2


Contoh:
Sederhanakanlah!

  1. 2log⁡16–2log⁡8^2\log 16 – ^2 \log 8
  2. log⁡1.000–log⁡100\log 1.000 – \log 100
  3. 3log⁡18–3log⁡6^3\log 18 – ^3\log 6

Jawab :

  1. 2log⁡16–2log⁡8=2log⁡168=2log⁡2=1^2\log 16 – ^2 \log 8 = ^2\log \frac{16}{8} = 2\log 2 = 1
  2. log⁡1.000–log⁡100=log⁡1000100=log⁡10=1\log 1.000 – \log 100 = \log \frac{1000}{100} = \log 10 = 1
  3. 3log⁡18–3log⁡6=3log⁡186=1^3\log 18 – ^3\log 6 = ^3\log \frac{18}{6} = 1

Sifat 3

Contoh :
Sederhanakan!

  1. 2log⁡3+4log⁡32 \log 3 + 4 \log 3
  2. 2log⁡a+2log⁡b2 \log a + 2 \log b

Jawab:

  1. solusi 2log⁡3+4log⁡3=log⁡32+log⁡34=log⁡9+log⁡81=log⁡9.81=log⁡729 \begin{equation} \begin{split} 2 \log 3 + 4 \log 3 &= \log 3^2 + \log 3^4\\&= \log 9 + \log 81\\&= \log 9 . 81\\&= \log 729 \end{split} \end{equation}
  2. solusi 2log⁡a+2log⁡b=log⁡a2+log⁡b2=log⁡a2.b2=log⁡(ab)2 \begin{equation} \begin{split} 2 \log a + 2 \log b &= \log a^2 + \log b^2\\&= \log a^2 . b^2\\&= \log (ab)^2 \end{split} \end{equation}

Ingat :

  1. log⁡2x=log⁡x.log⁡x=(log⁡x)2 \log^2x = \log x . \log x = (\log x)^2
    log⁡x2=2log⁡x\log x^2 = 2 \log x
    Jadi, log⁡2x≠log⁡x2\log^2x ≠ \log x^2

  2. log⁡−1x=1log⁡x\log^{-1}x = \frac{1}{\log x}
    log⁡x−1=log⁡1x=−log⁡x\log x^{-1} = \log \frac{1}{x} = -\log x
    Jadi, log⁡−1x≠log⁡x−1\log ^{-1}x ≠ \log x^{-1}

Perbandingan

Sifat 4

  1. alog⁡x=clog⁡xclog⁡a^a\log x = \frac{{}^{c}\log x}{{}^{c}\log a}
  2. glog⁡a=1alog⁡g^g\log a = \frac{1}{{}^{a}\log g}

Contoh :
Diketahui 5log⁡3=a^5\log 3 = a dan 3log⁡4=b^3\log 4=b. Nilai dari 4log⁡15=…^4\log 15=…

Solusi:
4log⁡15=3log⁡153log⁡4=3log⁡(3×5)3log⁡4=3log⁡3+3log⁡53log⁡4=1+1ab×aa=a+1ab \begin{equation} \begin{split} ^4 \log 15 &= \frac{^3\log 15}{^3\log4} \\&= \frac{^3\log (3\times 5)}{^3\log4}\\&= \frac{^3\log 3+^3\log 5}{^3\log4}\\&= \frac{1+\frac{1}{a}}{b}\times \frac{a}{a}\\&= \frac{a+1}{ab} \end{split} \end{equation}

Sifat 5

Contoh :
Tentukan nilai dari 3log⁡7⋅7log⁡81^3\log 7 \cdot ^7\log 81!

Solusi:
3log⁡7⋅7log⁡81=3log⁡81=4 \begin{equation} \begin{split} ^3\log 7 \cdot ^7\log 81&=^3\log 81 \\&= 4 \end{split} \end{equation}

Sifat 6

Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :

  1. pnlog⁡am=log⁡amlog⁡pn=m.log⁡an.log⁡p=mn plog⁡a{}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{\log {{a}^{m}}}{\log {{p}^{n}}}=\frac{m.\log a}{n.\log p}=\frac{m}{n}\ {}^{p}\log a

  2. Jika m=nm = n maka diperoleh :
    pnlog⁡am=log⁡anlog⁡pn=n.log⁡an.log⁡p= plog⁡a{}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{\log {{a}^{n}}}{\log {{p}^{n}}}=\frac{n.\log a}{n.\log p}=\ {}^{p}\log a

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Untuk p dan a bilangan real positif p ≠ 1 maka : pnlog⁡am=mn plog⁡a{}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{m}{n}\ {}^{p}\log a pnlog⁡an=plog⁡a{}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{n}}={}^{p}\log a Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya tetap.

Contoh :
Hitunglah !

  1. 8log⁡16^8\log 16
  2. 8log⁡64^8\log 64
  3. Jika 3log⁡5=a^3\log 5 = a hitunglah 25log⁡27^25\log 27

Jawab :

  1. 8log⁡16^8\log 16 8log⁡16=23log⁡24=43 2log⁡2=43.1=43 \begin{equation} \begin{split} 8\log 16 &= ^{{{2}^{3}}}\log {{2}^{4}} \\&= \frac{4}{3}{{\ }^{2}}\log 2\\&= \frac{4}{3}.1 \\&= \frac{4}{3} \end{split} \end{equation}
  2. 8log⁡64^8\log 64 8log⁡64=23log⁡26=63.2log⁡2=63.1=2 \begin{equation} \begin{split} ^8\log 64&= {}^{{{2}^{3}}}\log {{2}^{6}}\\&=\frac{6}{3}.{}^{2}\log 2\\&=\frac{6}{3}.1\\&=2 \end{split} \end{equation}
  3. 3log⁡5=a^3\log 5 = a, maka :
    \begin{equation} \begin{split} ^25\log 27 &= {}^{{{5}^{2}}}\log {{3}^{3}}\\&=\frac{3}{2}{{.}^{5}}\log 3\\&=\frac{3}{2}.\frac{1}{{}^{3}\log 5}\\&=\frac{3}{2}.\frac{1}{a}\\&=\frac{3}{2a} \end{split}

Sifat 7

Perhatikan uraian dibawah ini!
Misalkan n=plog⁡an = ^p\log a, maka a=pna = p^n, oleh karena n=plog⁡an = ^p\log a, maka pn=pplog⁡a=ap^n = {{p}^{{}^{p}\log a}} = a (karena a=pna = p^n) sehingga disimpulkan : Untuk p dan a bilangan real p ≠ 1 maka

Contoh :

  1. 42log⁡5=(22)2log⁡5{{4}^{{}^{2}\log 5}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{}^{2}\log 5}}
  2. 33log⁡2=(31/2)3log⁡2{{\sqrt{3}}^{{}^{3}\log 2}}={{\left( {{3}^{{}^{1}/{}_{2}}} \right)}^{{}^{3}\log 2}}

Jawab :

  1. 42log⁡5=(22)2log⁡5=(22log⁡5)2=52=25{{4}^{{}^{2}\log 5}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{}^{2}\log 5}} ={{\left( {{2}^{{}^{2}\log 5}} \right)}^{2}} = 5^2 = 25
  2. 33log⁡2=(31/2)3log⁡2=(33log⁡2)12=312=3{{\sqrt{3}}^{{}^{3}\log 2}}={{\left( {{3}^{{}^{1}/{}_{2}}} \right)}^{{}^{3}\log 2}} = {{\left( {{3}^{{}^{3}\log 2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{3}^{\frac{1}{2}}} =\sqrt{3}