Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu :
Penjumlahan dan Pengurangan
Sifat 1
Sederhanakanlah !
- $^2\log 4 + 2\log 8$
- $^3\log \frac{1}{9}$ + $^3\log 81$
- $^2\log 2\sqrt{2}$+ $^2\log 4\sqrt{2}$
Jawab :
- $^2\log 4 + ^2\log 8 = ^2\log 4 . 8 = ^2\log 32 = 5$
- $^3\log \frac{1}{9} + ^3\log 81= ^3\log \frac{1}{9} . 81 = ^3\log 9 = 2$
- $^2\log 2\sqrt{2} + ^2\log 4\sqrt{2}= ^2\log 2\sqrt{2} . 4\sqrt{2}= ^2\log 16 = 4$
Sifat 2
Contoh:
Sederhanakanlah!
- $^2\log 16 – ^2 \log 8$
- $\log 1.000 – \log 100$
- $^3\log 18 – ^3\log 6$
Jawab :
- $^2\log 16 – ^2 \log 8 = ^2\log \frac{16}{8} = 2\log 2 = 1$
- $\log 1.000 – \log 100 = \log \frac{1000}{100} = \log 10 = 1$
- $^3\log 18 – ^3\log 6 = ^3\log \frac{18}{6} = 1$
Sifat 3
Sederhanakan!
- $2 \log 3 + 4 \log 3$
- $2 \log a + 2 \log b$
Jawab:
- solusi $$ \begin{equation} \begin{split} 2 \log 3 + 4 \log 3 &= \log 3^2 + \log 3^4\\&= \log 9 + \log 81\\&= \log 9 . 81\\&= \log 729 \end{split} \end{equation} $$
- solusi $$ \begin{equation} \begin{split} 2 \log a + 2 \log b &= \log a^2 + \log b^2\\&= \log a^2 . b^2\\&= \log (ab)^2 \end{split} \end{equation} $$
Ingat :
$ \log^2x = \log x . \log x = (\log x)^2$
$\log x^2 = 2 \log x$
Jadi, $\log^2x ≠ \log x^2$$\log^{-1}x = \frac{1}{\log x}$
$\log x^{-1} = \log \frac{1}{x} = -\log x$
Jadi, $\log ^{-1}x ≠ \log x^{-1} $
Perbandingan
Sifat 4
- $^a\log x = \frac{{}^{c}\log x}{{}^{c}\log a}$
- $^g\log a = \frac{1}{{}^{a}\log g}$
Contoh :
Diketahui $^5\log 3 = a$ dan $^3\log 4=b$. Nilai dari $^4\log 15=…$
Solusi:
$$
\begin{equation}
\begin{split}
^4 \log 15 &= \frac{^3\log 15}{^3\log4} \\&= \frac{^3\log (3\times 5)}{^3\log4}\\&= \frac{^3\log 3+^3\log 5}{^3\log4}\\&= \frac{1+\frac{1}{a}}{b}\times \frac{a}{a}\\&= \frac{a+1}{ab}
\end{split}
\end{equation}
$$
Sifat 5
Contoh :
Tentukan nilai dari $^3\log 7 \cdot ^7\log 81$!
Solusi:
$$
\begin{equation}
\begin{split}
^3\log 7 \cdot ^7\log 81&=^3\log 81 \\&= 4
\end{split}
\end{equation}
$$
Sifat 6
Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :
${}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{\log {{a}^{m}}}{\log {{p}^{n}}}=\frac{m.\log a}{n.\log p}=\frac{m}{n}\ {}^{p}\log a$
Jika $m = n$ maka diperoleh :
${}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{\log {{a}^{n}}}{\log {{p}^{n}}}=\frac{n.\log a}{n.\log p}=\ {}^{p}\log a$
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Untuk p dan a bilangan real positif p ≠ 1 maka :
$${}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{m}}=\frac{m}{n}\ {}^{p}\log a$$
$${}^{{{p}^{n}}}\log {{a}^{n}}={}^{p}\log a$$
Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya tetap.
Contoh :
Hitunglah !
- $^8\log 16$
- $^8\log 64$
- Jika $^3\log 5 = a$ hitunglah $^25\log 27$
Jawab :
- $^8\log 16$ $$ \begin{equation} \begin{split} 8\log 16 &= ^{{{2}^{3}}}\log {{2}^{4}} \\&= \frac{4}{3}{{\ }^{2}}\log 2\\&= \frac{4}{3}.1 \\&= \frac{4}{3} \end{split} \end{equation} $$
- $^8\log 64$ $$ \begin{equation} \begin{split} ^8\log 64&= {}^{{{2}^{3}}}\log {{2}^{6}}\\&=\frac{6}{3}.{}^{2}\log 2\\&=\frac{6}{3}.1\\&=2 \end{split} \end{equation} $$
- $^3\log 5 = a$, maka :
$$ \begin{equation} \begin{split} ^25\log 27 &= {}^{{{5}^{2}}}\log {{3}^{3}}\\&=\frac{3}{2}{{.}^{5}}\log 3\\&=\frac{3}{2}.\frac{1}{{}^{3}\log 5}\\&=\frac{3}{2}.\frac{1}{a}\\&=\frac{3}{2a} \end{split} $$
Sifat 7
Perhatikan uraian dibawah ini!
Misalkan $n = ^p\log a$, maka $a = p^n$, oleh karena $n = ^p\log a$, maka $p^n = {{p}^{{}^{p}\log a}} = a$ (karena $a = p^n$) sehingga disimpulkan :
Untuk p dan a bilangan real p ≠ 1 maka
- ${{4}^{{}^{2}\log 5}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{}^{2}\log 5}}$
- ${{\sqrt{3}}^{{}^{3}\log 2}}={{\left( {{3}^{{}^{1}/{}_{2}}} \right)}^{{}^{3}\log 2}}$
Jawab :
- ${{4}^{{}^{2}\log 5}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{}^{2}\log 5}} ={{\left( {{2}^{{}^{2}\log 5}} \right)}^{2}} = 5^2 = 25$
- ${{\sqrt{3}}^{{}^{3}\log 2}}={{\left( {{3}^{{}^{1}/{}_{2}}} \right)}^{{}^{3}\log 2}} = {{\left( {{3}^{{}^{3}\log 2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{3}^{\frac{1}{2}}} =\sqrt{3}$