Persamaan Lingkaran Memenuhi Kriteria Tertentu

Menentukan persamaan suatu lingkaran dapat dengan kriteria tertentu

Untuk dapat menentukan persamaan suatu lingkaran dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

1. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran
2. Substitusikan ke dalam persamaan lingkaran

Dalam menentukan jari-jari lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak titik ke titik dan titik ke garis. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.

1. Jarak antara dua titik $A(x_1 , y_1)$ dan $B(x_2 , y_2)$, ditentukan oleh $$j = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
2. Jarak titik $A(x_1 , y_1)$ terhadap garis lurus $ax + by + c = 0$ dirumuskan $$j=\left| \frac{a{x_1}+b{y_1}+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$$

1. Lingkaran Menyinggung Garis

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $𝑂(0, 0)$ dan menyinggung garis $3𝑥 – 4𝑦 + 5 = 0$

Pembahasan
Nilai jari-jari dari persamaan lingkaran tersebut adalah
Jarak sembarang titik $(𝑥_1, 𝑦_1)$ ke sebarang garis $𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0$ adalah $$r=\left| \frac{A{x_1}+B{y_1}+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$$ berarti jarak antara titik pusat (0,0) dan garis singgungnya $3𝑥 – 4𝑦 + 5 = 0$ adalah : $$r=\left| \frac{3(0)-4(0)+5}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right|=\left| \frac{5}{\sqrt{9+16}} \right|=\left| \frac{5}{\sqrt{5}} \right|=1$$ persamaan lingkaran yang berpusat di $𝑂(0, 0)$ adalah $𝑥^2+𝑦^2=r^2$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $𝑥^2+𝑦^2=1$

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-2, 3)$ dan menyinggung garis $2𝑥 – 3𝑦 + 5 = 0$

Pembahasan
jari-jari lingkaran dengan titik pusat $P(-2,3)$ dan menyinggung garis $2𝑥 – 3𝑦 + 5 = 0$ adalah : $$\begin{align*} r&=\left| \frac{A{x_1}+B{y_1}+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\\&=\left| \frac{2(-2)-3(3)+5}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} \right|\\&=\left| \frac{-4-9+5}{\sqrt{4+9}} \right|\\&=\left| \frac{-8}{\sqrt{13}} \right|\\r&=\frac{8}{13}\sqrt{13}\\r^2&=\frac{64}{13} \end{align*}$$ persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a, b)$ adalah $(𝑥-a)^2+(𝑦-b)^2=r^2$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(𝑥+2)^2+(𝑦-3)^2=\frac{64}{13}$

2. Hubungan dua titik pada lingkaran yang merupakan diameter

Contoh 3

Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis yang menghubungkan titik $P(3, −2)$ dan $Q(−5, -4)$.

Jawab
Sketsa di samping menunjukkan titik pusat M adalah titik tengah garis PQ. Koordinat titik tengah dari sebuah garis PQ dengan $P(x_P, y_P)$ dan $Q(x_Q, y_Q)$ adalah $$\left ( \frac{x_Q-x_P}{2},\frac{y_Q-y_P}{2} \right )$$ Sehingga koordinat titik M adalah : $$M\left ( \frac{-5-3}{2},\frac{-4-(-2)}{2} \right )=M\left ( \frac{-8}{2},\frac{-2}{2} \right )=M\left ( -4,-1 \right )$$ Panjang garis PQ $$\begin{align*} PQ&=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}\\&=\sqrt{(-5-3)^2+(-4-(-2))^2}\\&=\sqrt{(-8)^2+(-2)^2}\\&=\sqrt{64+4}\\&=\sqrt{68}\\PQ&=2\sqrt{17} \end{align*}$$ Jari – jari $r = \frac{1}{2}PQ=\frac{2\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $M(−4, −1)$ dan jari – jari $\sqrt{17}$ adalah $$\begin{align*} (x+4)^2+(y+1)^2&=(\sqrt{17})^2\\(x+4)^2+(y+1)^2&=17 \end{align*}$$

3. Tiga titik pada lingkaran

Contoh 4

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (2, 0), dan (-1, –1).

Alternatif Penyelesaian
Misalkan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik tersebut adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Kita akan menentukan nilai A, B, dan C dengan substitusi titik ke persamaan lingkaran sebagai berikut

• (3, -1) pada lingkaran, maka $$\begin{align*} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0\\ 3^2 + (-1)^2 + 3A-B + C &= 0\\10+3A-B+C&=0\\3A-B+C&=-10……(1) \end{align*}$$
• (2, 0) pada lingkaran, maka $$\begin{align*} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0\\ 2^2 + (0)^2 + 2A-(0)B + C &= 0\\4+2A+C&=0\\2A+C&=-4……(2) \end{align*}$$
• (-1, -1) pada lingkaran, maka $$\begin{align*} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0\\ (-1)^2 + (-1)^2 -A-B + C &= 0\\2-A-B+C&=0\\-A-B+C&=-2……(3) \end{align*}$$

Eliminasi C pada persamaan (1) dan (3) diperoleh $$\begin{aligned} \begin{aligned} 3A-B+C&=-10 \\ -A-B+C&=-2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.5pt} - \\ \begin{aligned} 4A & = -8 \\ A & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$$

Substitusi $A = –2$ ke persamaan (2)
diperoleh $2A+C=-4\Harr2(-2)+C=-4\Harr C=0$

Substitusi $A = –2$ dan $C = 0$ ke persamaan (3)
diperoleh $-A-B+C=-2\Harr-(-2)-B+0=-2\Harr B=4$

Jadi, persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (2, 0), dan (-1, –1) adalah $x^2 + y^2 -2x + 4y= 0$.