Rumus Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan Lingkaran merupakan materi matematika peminatan kelas XI jenjang SMA. Dalam materi ini kita akan belajar tentang lingkaran secara analitis

Lingkaran seringkali kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Benda-benda di sekitar kita banyak yang dibuat dalam objek geometri ini, seperti jam, roda, ban, koin, cincin dan lainnya. Dalam kejadian gempa, bahasa lingkaran jadi alat komunikasi yang paling tepat untuk menyampaikan suatu informasi. Misalnya dengan mengatakan gempa mengguncang kota A dengan pusat di titik B dan radius r km. Dengan informasi ini kita bisa mengetahui apakah penduduk di kota C yang tak jauh dari kota A merasakan dampak dari gempa atau tidak.

Pengertian Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan sebagai pusat lingkaran. Jarak titik pusat ke titik pada lingkaran dinamakan sebagai jari-jari.

Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.

1. Jarak antara dua titik $A(x_1 , y_1)$ dan $B(x_2 , y_2)$, ditentukan oleh $$j = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
2. Jarak titik $A(x_1 , y_1)$ terhadap garis lurus $ax + by + c = 0$ dirumuskan $$j=\left| \frac{a{x_1}+b{y_1}+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$$

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari $r$

Perhatikan gambar diatas. Kita buat lingkaran dengan pusat O kemudian tarik jari-jari dari titik O ke salah satu titik di lingkaran sangat itu adalah $P(x,y)$ dan jari-jarinya adalah $r$. Kita lihat segitiga yang diarsir. Kita bisa mencari panjang jari-jari $r$ dengan rumus pythagoras sehingga $$r^2=x^2+y^2$$ Oleh karena itu $$r^2=x^2+y^2$$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $O (0,0)$ dan memiliki jari-jari $r$.

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 𝑂(0, 0) dan melalui titik (6, −8).

Penyelesaian
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) adalah $x^2+y^2=r^2$
cari persamaan atau nilai r
Lingkaran melalui titik (6, −8), sehingga diperoleh $$\begin{align*} x^2+y^2&=r^2 \\ 6^2 + (-8)^2 &= r^2 \\ 36+64 &= r^2 \\ 100 &= r^2 \end{align*}$$ Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan melalui titik (6, −8) adalah $x^2+y^2=100$

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $P (a, b)$ dan Berjari-jari $r$

Perhatikan gambar. Lingkaran L berpusat di $M(a, b)$ dan berjari-jari $r$. Misalkan $P(x, y)$ adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran L.
Jari-jari $MP = r$
$MQ = x – a$
$PQ = y – b$
Segitiga $PMQ$ siku-siku di $Q$, maka berdasarkan Theorema Phytagoras berlaku : $$\begin{align*} MQ^2+PQ^2&=MP^2\\(x–a)^2+(y–b)^2&=r^2 \end{align*}$$ Karena titik $P(x, y)$ diambil sembarang, maka persamaan tersebut juga berlaku umum untuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik $M(a, b)$ dan memiliki jari-jari $r$. Bentuk persamaan ini disebut ***bentuk baku persamaan lingkaran.***

Contoh

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-2, -6)$ dan memiliki jari-jari $3\sqrt{2}$
2. Tentukan jari-jari dan persamaan lingkaran yang berpusat di $𝑃(7, −2)$ dan melalui titik $𝑀(−2,10)$

Penyelesaian

1. persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-2, -6)$ dan memiliki jari-jari $3\sqrt{2}$ $$\begin{align*} {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}&={{r}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{(x-(-2))}^{2}}+{{(y-(-6))}^{2}}&={{(3\sqrt{2})}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y+6)}^{2}}&=18 \\ \end{align*}$$
2. jari-jari dan persamaan lingkaran yang berpusat di $𝑃(7, −2)$ dan melalui titik $𝑀(−2,10)$
   Jari-jari r adalah jarak antara titik M(7, −2) dan titik A(−2, 10).
   Dengan menggunakan rumus jarak diperoleh : $$\begin{align*} r&=PM=\sqrt{{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{(-2-7)}^{2}}+{{(10-(-2))}^{2}}} \\ &=\sqrt{81+144} \\ &=\sqrt{225} \\ r &=15 \\ \end{align*}$$ Persamaan lingkaran dengan pusat M(7, −2) dan jari-jari r = 15 adalah $$\begin{align*} {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}&={{r}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{(x-7)}^{2}}+{{(y-(-2))}^{2}}&={{(15)}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{(x-7)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}&=225 \\ \end{align*}$$

3. Persamaan Umum Lingkaran

Dari bentuk baku persamaan lingkaran, kita dapat menentukan bentuk umum persamaan lingkaran sebagai berikut.

$$\begin{align*} {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}&={{r}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{y}^{2}}-2by+{{b}^{2}}&={{r}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}&=0 \\\end{align*}$$

Misalkan

$$\begin{align*} A=-2a &\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}A \\ B=-2b &\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}B \\ C=a^{2}+b^{2}-r^{2} &\Leftrightarrow r^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-{C}^{2} \\ &\Leftrightarrow r^{2}=\sqrt{a^2+b^{2}-C} \end{align*}$$

Contoh

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran $L\equiv {x}^{2}+{y}^{2}-6x+4y-3=0$
penyelesaian
Dari soal diperoleh A = −6, B = 4, dan C = −3.
Pusat lingkaran $(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=(-\frac{1}{2}(-6),-\frac{1}{2}(4))=(3,-2)$

Jari-jari

$$\begin{align*} r=\sqrt{\left (-\frac{1}{2}A \right )^2+ \left (-\frac{1}{2}B \right )^2-C}&=\sqrt{(3)^2+(-2)^2-(-3)}\\ &=\sqrt{9+4+3}\\ &=\sqrt{16}=4 \end{align*}$$

Jadi, pusat lingkaran adalah $P(3,-2)$ dan jari-jarinya $r=4$.