Ukuran Letak Data - Statistika (Kuartil, Desil, Persentil)

Ukuran Letak dari data memiliki konsep yang sama persis dengan median data. Ukuran letak data diantaranya kuartil, desil, dan persentil.

Ukuran Letak dari data memiliki konsep yang sama persis dengan median data. Ya!!!! Karena median adalah ukuran letak yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar.

Sebelumnya kita sudah belajar tentang ukuran pemusatan data↝ dan juga Penyajian Data↝ , kali ini kita lanjutkan tentang ukuran letak data yang didasarkan pada letak ukuran tersebut dalam suatu distribusi data. Ukuran letak data membagi sekumpulan data yang berurutan menjadi beberapa bagian yang sama, diantaranya kuartil, desil, dan persentil.

Secara ringkas

• Median adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.
• Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar.
• Desil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar.
• Persentil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar.

Kuartil

Kuartil adalah nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama.Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama ($Q_1$) yang disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua ($Q_2$) yang disebut juga median atau nilai tengah, dan kuartil ketiga ($Q_3$) yang disebut juga kuartil atas. Gambarannya sebagai berikut.

Kuartil Data Tunggal

Kuartil data tunggal ditentukan dengan rumus: $$ \begin{align*} \text{Letak } Q_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{4}(n+1)\right) \text{ atau } Q_i = X_{\frac{i}{4}(n+1)} \end{align*} $$ dengan $ i = 1, 2, 3 $ dan $ n $ adalah banyak datum(banyak nilai).

Contoh:

Disajikan data nilai hasil penilaian matematika terhadap 20 siswa sebagai berikut 68, 68, 34, 68, 18, 52, 68, 50, 88, 68, 68, 32, 88, 32, 32, 68, 64, 90, 32, 88. Tentukan nilai masing-masing kuartilnya!

Penyelesaian

• Urutkan data terlebih dahulu

  18, 32, 32, 32, 32, 34, 50, 52, 64, 68, 68, 68, 68, 68, 68, 68, 88, 88, 88, 90

• Cari nilai quartil dengan mengetahui letaknya Kuartil 1 ($Q_1$)
  Letak $Q_1=$ data ke $\frac{1}{4}(n+1)$, sehingga
  Letak $Q_1=$ data ke $\frac{1}{4}(20+1)$ = data ke 5,25

  perhatikan bahwa nilai data ke 5,25 berarti data ke 5 lebih, 6 kurang sehingga terletak diantara nilai 32 dan 34. $$Q_1=32+0,25\times(34-32)\\Q_1=32+0,25\times 2\\Q_1=32+0,5=32,5$$

  Kuartil 2 ($Q_2$)
  Letak $Q_2=$ data ke $\frac{2}{4}(n+1)$, sehingga
  Letak $Q_2=$ data ke $\frac{2}{4}(20+1)$ = data ke 10,5

  perhatikan bahwa nilai data ke 10,5 berarti nilai diatntara data ke 10 dan 11 sehingga terletak diantara nilai 68 dan 68. $$Q_2=68+0,5\times(68-68)\\Q_2=68+0,8\times 0\\Q_2=68$$

  Kuartil 3 ($Q_3$)
  Letak $Q_3=$ data ke $\frac{3}{4}(n+1)$, sehingga
  Letak $Q_3=$ data ke $\frac{3}{4}(20+1)$ = data ke 15,75

  perhatikan bahwa nilai data ke 15,75 terletak diantara nilai 68 dan 68. $$Q_3=68+0,75\times(68-68)\\Q_3=68+0,75\times 0\\Q_1=68$$

Kuartil Data Berkelompok

Langkah-langkah menentukan kuartil data berkelompok :

1. Tentukan letak kuartil (kelas kuartil) dengan rumus :

   $$ \begin{align*}\text{Letak } Q_i = \text{data ke-} \frac{i}{4}(n+1) \end{align*} $$

   dengan $ i = 1, 2, 3 $ dan $ n $ adalah banyak datum(total frekuensi).

2. Hitung kuartil dengan rumus :

   $$\begin{align*} Q_i = Tb + \left( \frac{\frac{i}{4}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align*}$$

   Keterangan $ Tb = $ tepi bawah kelas kuartil ke-$i$
   $ Fks_i = $ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-$i$
   $ f_i = $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
   $ p = $ panjang kelas (lebar interval kelas)
   $ i = 1, 2, 3 $
   Rumus panjang kelas :
   $ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) $ atau
   $ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Contoh

Tentukan $Q_1$ dan $Q_3$ data berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka pada tabel berikut.

Alternatif Penyelesaian

Langkah awal kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (Fk).

Kuartil 1 ($Q_1$)

Letak $Q1$ pada datum ke $\frac{1}{4}n=\frac14 (50)=12,5$
Jadi, letak Q1 pada interval kelas : 41 – 45 (Frekuensi kumulatif 19, berarti letak data ke-11 sampai ke-19)
$Tb = 41 – 0,5 = 40,5$
$p = 5,$
$Fks = 10$ dan $f_i = 9$

Sehingga diperoleh Kuartil bawah ($Q1$) adalah $$\begin{align*} Q_1 &= Tb + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks}{f} \right)p\\ &= 40,5 + \left( \frac{\frac{1}{4}(50) - 10}{9} \right)5\\&= 40,5 + \left( \frac{12,5 - 10}{9} \right)5 \\&= 40,5 + \left( \frac{2,5}{9} \right)5 \\&= 40,5 + \frac{12,5}{9} \\&= 40,5 + 1,39 \\&= 41,89\end{align*}$$

Jadi, nilai kuartil bawah ($Q_1$) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 41,89 kg.

Kuartil 3 ($Q_3$)

Letak $Q3$ pada datum ke $\frac{3}{4}n=\frac34 (50)=37,5$
Jadi, letak $Q_3$ pada interval kelas : 51 – 55 (Frekuensi kumulatif 43, berarti letak data ke-34 sampai ke-43)
$Tb = 51 – 0,5 = 50,5$
$p = 5,$
$Fks = 33$ dan $f_i = 10$

Sehingga diperoleh Kuartil bawah ($Q_3$) adalah $$\begin{align*} Q_3 &= Tb + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks}{f} \right)p\\ &= 50,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}(50) - 33}{10} \right)5\\&= 50,5 + \left( \frac{37,5 - 33}{10} \right)5 \\&= 50,5 + \left( \frac{4,5}{10} \right)5 \\&= 50,5 + \frac{4,5}{2} \\&= 50,5 + 2,25 \\&= 52,75\end{align*}$$

Jadi, nilai kuartil bawah ($Q_3$) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 52,75 kg.

Desil (Membagi 10 bagian sama besar dari data terurut)

Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan desil

Desil Data Tunggal

Desil data tunggal ditentukan dengan rumus: $$ \begin{align*} \text{Letak } D_i &= \text{ data ke-} \left(\frac{i}{10}(n+1)\right) \\ \text{ atau } D_i &= X_{\frac{i}{10}(n+1)} \end{align*} $$ dengan $ i = 1, 2, 3,…,9 $ dan $ n $ adalah banyak datum (banyak nilai).

Contoh:

Disajikan data nilai hasil penilaian matematika terhadap 20 siswa sebagai berikut 68, 68, 34, 68, 18, 52, 68, 50, 88, 68, 68, 32, 88, 32, 32, 68, 64, 90, 32, 88. Tentukan nilai Desil ke-1 dan Desil ke-5!

Penyelesaian

• Urutkan data terlebih dahulu

  18, 32, 32, 32, 32, 34, 50, 52, 64, 68, 68, 68, 68, 68, 68, 68, 88, 88, 88, 90

• Cari nilai Desil $$\begin{align*} \text{Rumus : } D_i & = X_{\frac{i}{10}(n+1)} \\ D_1 & = X_{\frac{1}{10}(20+1)} \\& = X_{2,1} \\ & = x_2 + 0,1 (x_3 - x_2) \\ & = 32 + 0,1 (32 - 32) \\ & = 32 + 0,1 (0) \\ & = 32 \\ D_5 & = X_{\frac{5}{10}(20+1)} \\ & = X_{10,5} \\ & = \frac{x_{10}+x_{11}}{2}\\ & = \frac{68+68}{2}=68 \end{align*}$$

Jadi, nilai desil ke-1 adalah 32 dan desil ke-5 adalah 68.

Desil Data Berkelompok

Langkah-langkah menentukan desil data berkelompok :

1. Tentukan letak desil (kelas desil) dengan rumus :

   $$ \begin{align*}\text{Letak } D_i = \text{data ke-} \frac{i}{10}(n+1) \end{align*} $$

   dengan $ i = 1, 2, 3,…,9 $ dan $ n $ adalah banyak datum(total frekuensi).

2. Hitung desil dengan rumus :

   $$\begin{align*} D_i = Tb + \left( \frac{\frac{i}{10}n - Fks_i}{f_D} \right)p \end{align*}$$

   Keterangan $ Tb = $ tepi bawah kelas desil ke-$i$
   $ Fks_i = $ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$i$
   $ f_D = $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
   $ p = $ panjang kelas (lebar interval kelas)
   $ i = 1, 2, 3,…,9 $
   Rumus panjang kelas :
   $ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) $ atau
   $ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Contoh

Tentukan $D_4$ dari data usia 60 orang di Desa Merdeka pada tabel berikut.

Alternatif Penyelesaian

Langkah awal kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (Fk).

Desil 4 ($D_4$)

Letak $D_4$ pada datum ke $\frac{4}{10}n=\frac{4}{10} (60)=24$
Jadi, letak $D_4$ pada interval kelas : 55 – 59
$Tb = 55 – 0,5 = 54,5$
$p = 5,$
$Fks = 22$ dan $f_D = 18$

Sehingga diperoleh desil ke-4 ($D_4$) adalah $$\begin{align*} D_4 &= Tb + \left( \frac{\frac{4}{10}n - Fks}{f_D} \right)p\\ &= 54,5 + \left( \frac{\frac{4}{10}(60) - 22}{18} \right)5\\&= 54,5 + \left( \frac{24 - 22}{18} \right)5 \\&= 54,5 + \left( \frac{2}{18} \right)5 \\&= 54,5 + 0,56 \\&= 55,06\end{align*}$$

Jadi, nilai desil ke-4 ($D_4$) usia di Desa Merdeka adalah 50,06 kg.

Mudah bukan?! 😄

Persentil (Membagi 100 bagian sama besar dari data terurut)

Jika kumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat 99 pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan Persentil. Persentil terdiri dari 99 jenis, yaitu persentil pertama ($P_1$), persentil kedua ($P_2$), dan seterusnya sampai persentil sembilan puluh sembilan ($P_{99}$).

Persentil Data Tunggal

Persentil data tunggal ditentukan dengan rumus: $$ \begin{align*} \text{Letak } P_i &= \text{ data ke-} \left(\frac{i}{100}(n+1)\right) \\ \text{ atau } P_i &= X_{\frac{i}{100}(n+1)} \end{align*} $$ dengan $ i = 1, 2, 3,…,99 $ dan $ n $ adalah banyak datum (banyak nilai).

Contoh:

Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian :
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
ada 10 data ($n=10$)

• Letak persentil ke-30 dan nilainya :
  $$\begin{align*} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)}\\ P_{30} & = X_{\frac{30}{100}(10+1)}\\ & = X_{3,3}\\ & = x_3 + 0,3 (x_4 - x_3)\\ & = 5 + 0,3 (6 - 5)\\ & = 5 + 0,3\\ & = 5,3 \end{align*} $$
• Letak persentil ke-75 dan nilainya :
  $$\begin{align*} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)}\\ P_{75} & = X_{\frac{75}{100}(10+1)}\\ & = X_{8,25} \\ & = x_8 + 0,25 (x_9 - x_8)\\ & = 9 + 0,25 (10 - 9)\\ & = 9 + 0,25 \\ & = 9,25 \end{align*}$$
  Jadi, nilai persentil ke-30 adalah 5,3 dan desil ke-75 adalah 9,25.

Persentil Data Berkelompok

Langkah-langkah menentukan Persentil data berkelompok :

1. Tentukan letak Persentil (kelas Persentil) dengan rumus :

   $$ \begin{align*}\text{Letak } P_i = \text{data ke-} \frac{i}{100}(n+1) \end{align*} $$

   dengan $ i = 1, 2, 3,…,99 $ dan $ n $ adalah banyak datum(total frekuensi).

2. Hitung Persentil dengan rumus :

   $$\begin{align*} P_i = Tb + \left( \frac{\frac{i}{100}n - Fks_i}{f_P} \right)p \end{align*}$$

   Keterangan $ Tb = $ tepi bawah kelas Persentil ke-$i$
   $ Fks_i = $ frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil ke-$i$
   $ f_P = $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
   $ p = $ panjang kelas (lebar interval kelas)
   $ i = 1, 2, 3,…,99 $
   Rumus panjang kelas :
   $ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) $ atau
   $ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Contoh

Tentukan $P_{26}$ dari data usia 60 orang di Desa Merdeka pada tabel berikut.

Alternatif Penyelesaian

Langkah awal kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (Fk).

**Persentil 26 ($P_{26}$)**

Letak $P_{26}$ pada datum ke $\frac{26}{100}n=\frac{26}{100} (60)=15,6$
Jadi, letak $P_26$ pada interval kelas : 50 – 54
$Tb = 50 – 0,5 = 49,5$
$p = 5,$
$Fks = 7$ dan $f_P = 15$

Sehingga diperoleh Persentil ke-26 ($P_{26}$) adalah $$\begin{align*} P_{26} &= Tb + \left( \frac{\frac{26}{100}n - Fks}{f_P} \right)p\\ &= 49,5 + \left( \frac{\frac{26}{100}(60) - 7}{15} \right)5\\&= 49,5 + \left( \frac{15,6 - 7}{15} \right)5 \\&= 49,5 + \left( \frac{8,6}{15} \right)5 \\&= 49,5 + 2,87 \\&= 52,37\end{align*}$$

Jadi, nilai Persentil ke-26 ($P_{26}$) usia di Desa Merdeka adalah 50,06 kg.

Mudah bukan?! 😄