Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik.

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Perlu diingat juga bahwa rentang untuk nilai dari cos⁑x\cos x dan sin⁑x\sin x adalah βˆ’1≀sin⁑θ≀1 βˆ’1≀cos⁑θ≀1 \begin{align*} & -1\le \sin \theta \le 1 \ & -1\le \cos \theta \le 1 \ \end{align*} Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat trigonometri? untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos⁑2x+cos⁑xβˆ’1=02{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0, untuk 0≀x≀360∘0\le x\le 360{}^\circ

Alternatif Penyelesaian

Dengan memisalkan cos⁑x=p\cos x=p maka

2cos⁑2x+cos⁑xβˆ’1=02{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0 (memisalkan cos⁑x=p\cos x=p)

⇔2p2+pβˆ’1=0\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0

⇔(2pβˆ’1)(p+1)=0\Leftrightarrow (2p-1)(p+1)=0

⇔2pβˆ’1=0\Leftrightarrow 2p-1=0 atau p+1=0p+1=0

⇔p=12\Leftrightarrow p=\frac{1}{2} atau p=βˆ’1p=-1 (rubah lagi p=cos⁑xp=\cos x)

⇔cos⁑x=12\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2} atau cos⁑x=βˆ’1\cos x=-1

Untuk cos⁑x=12=cos⁑60∘\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ

  • x=60∘+k.360∘x=60{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=1β‡’x=60∘k=1\Rightarrow x=60{}^\circ
  • x=βˆ’60∘+k.360∘x=-60{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=1β‡’x=300∘k=1\Rightarrow x=300{}^\circ

Untuk cos⁑x=βˆ’1=cos⁑180∘\cos x=-1=\cos 180{}^\circ

  • x=180∘+k.360∘x=180{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=0β‡’x=180∘k=0\Rightarrow x=180{}^\circ
  • x=βˆ’180∘+k.360∘x=-180{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=1β‡’x=180∘k=1\Rightarrow x=180{}^\circ

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 60∘,180∘,300∘{60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ }

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos⁑2xβˆ’3sin⁑xβˆ’3=02{{\cos }^{2}}x-3\sin x-3=0, untuk 0≀x≀360∘0\le x\le 360{}^\circ

Alternatif Penyelesaian

2cos⁑2xβˆ’3sin⁑xβˆ’3=02{{\cos }^{2}}x-3\sin x-3=0

⇔2(1βˆ’sin⁑2x)βˆ’3sin⁑xβˆ’3=0\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)-3\sin x-3=0

⇔2βˆ’2sin⁑2xβˆ’3sin⁑xβˆ’3=0\Leftrightarrow 2-2{{\sin }^{2}}x-3\sin x-3=0

β‡”βˆ’2sin⁑2xβˆ’3sin⁑xβˆ’1=0\Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x-3\sin x-1=0 (masing-masing ruas dikalikan -1)

⇔2sin⁑2x+3sin⁑x+1=0\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\sin x+1=0

⇔(2sin⁑x+1)(sin⁑x+1)=0 \Leftrightarrow (2\sin x+1)(\sin x+1)=0

⇔sin⁑x=βˆ’12\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2} atau sin⁑x=βˆ’1\sin x=-1

Untuk sin⁑x=βˆ’12=sin⁑210∘\sin x=-\frac{1}{2}=\sin 210{}^\circ maka diperoleh

  • x=210∘+k.360∘x=210{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=0β‡’x=210∘k=0\Rightarrow x=210{}^\circ
  • x=(180βˆ˜βˆ’210∘)+k.360∘x=(180{}^\circ -210{}^\circ )+k.360{}^\circ
    x=βˆ’30∘+k.360∘x=-30{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=1β‡’x=330∘k=1\Rightarrow x=330{}^\circ

Untuk sin⁑x=βˆ’1=sin⁑270∘\sin x=-1=\sin 270{}^\circ

  • x=270∘+k.360∘x=270{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=0β‡’x=270∘k=0\Rightarrow x=270{}^\circ
  • x=(180βˆ˜βˆ’270∘)+k.360∘x=(180{}^\circ -270{}^\circ )+k.360{}^\circ
    x=βˆ’90∘+k.360∘x=-90{}^\circ +k.360{}^\circ
    Untuk k=1β‡’x=270∘k=1\Rightarrow x=270{}^\circ

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 210∘,270∘,330∘{210{}^\circ ,270{}^\circ ,330{}^\circ }

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3tan⁑22xβˆ’1=03{{\tan }^{2}}2x-1=0, untuk 0≀x≀2Ο€0\le x\le 2\pi

Alternatif Penyelesaian

3tan⁑22xβˆ’1=03{{\tan }^{2}}2x-1=0 ingat bahwa (a2βˆ’b2)=(a+b)(aβˆ’b)({{a}^{2}}-{{b}^{2}})=(a+b)(a-b)

⇔(3tan⁑2x+1)(3tan⁑2xβˆ’1)=0\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}\tan 2x+1 \right)\left( \sqrt{3}\tan 2x-1 \right)=0

⇔tan⁑2x=βˆ’13=βˆ’133\Leftrightarrow \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3} atau tan⁑2x=13=133 \tan 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

  • Untuk tan⁑2x=βˆ’133=tan⁑(Ο€βˆ’Ο€6)=tan⁑56Ο€\tan 2x=-\frac{1}{3}\sqrt{3}=\tan (\pi -\frac{\pi }{6})=\tan \frac{5}{6}\pi maka diperoleh
    2x=56Ο€+k.Ο€2x=\frac{5}{6}\pi +k.\pi
    x=512Ο€+k.Ο€2x=\frac{5}{12}\pi +k.\frac{\pi }{2}
    Untuk k=0β‡’x=512Ο€k=0\Rightarrow x=\frac{5}{12}\pi
    Untuk k=1β‡’x=1112Ο€k=1\Rightarrow x=\frac{11}{12}\pi
    Untuk k=2β‡’x=1712Ο€ k=2\Rightarrow x=\frac{17}{12}\pi
    Untuk k=3β‡’x=2312Ο€ k=3\Rightarrow x=\frac{23}{12}\pi
  • Untuk tan⁑2x=133=tan⁑16Ο€\tan 2x=\frac{1}{3}\sqrt{3}=\tan \frac{1}{6}\pi maka diperoleh
    2x=16Ο€+k.Ο€2x=\frac{1}{6}\pi +k.\pi
    x=112Ο€+k.Ο€2x=\frac{1}{12}\pi +k.\frac{\pi }{2}
    Untuk k=0β‡’x=112Ο€k=0\Rightarrow x=\frac{1}{12}\pi
    Untuk k=1β‡’x=712Ο€k=1\Rightarrow x=\frac{7}{12}\pi
    Untuk k=2β‡’x=1312Ο€k=2\Rightarrow x=\frac{13}{12}\pi
    Untuk k=3β‡’x=1912Ο€k=3\Rightarrow x=\frac{19}{12}\pi
    Untuk k=4β‡’x=2512Ο€k=4\Rightarrow x=\frac{25}{12}\pi (Tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 112Ο€,512Ο€,712Ο€,1112Ο€,1312Ο€,1712Ο€,1912Ο€,2312Ο€{ \frac{1}{12}\pi ,\frac{5}{12}\pi ,\frac{7}{12}\pi ,\frac{11}{12}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{19}{12}\pi ,\frac{23}{12}\pi }