Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik.

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Perlu diingat juga bahwa rentang untuk nilai dari $\cos x$ dan $\sin x$ adalah $$\begin{align*} & -1\le \sin \theta \le 1 \ & -1\le \cos \theta \le 1 \ \end{align*}$$ Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat trigonometri? untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ$

Alternatif Penyelesaian

Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka

$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ (memisalkan $\cos x=p$)

$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$

$\Leftrightarrow (2p-1)(p+1)=0$

$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$

$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ (rubah lagi $p=\cos x$)

$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$

Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ$

• $x=60{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ$
• $x=-60{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ$

Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ$

• $x=180{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ$
• $x=-180{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ }$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x-3\sin x-3=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ$

Alternatif Penyelesaian

$2{{\cos }^{2}}x-3\sin x-3=0$

$\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)-3\sin x-3=0$

$\Leftrightarrow 2-2{{\sin }^{2}}x-3\sin x-3=0$

$\Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x-3\sin x-1=0$ (masing-masing ruas dikalikan -1)

$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\sin x+1=0$

$\Leftrightarrow (2\sin x+1)(\sin x+1)=0$

$\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$

Untuk $\sin x=-\frac{1}{2}=\sin 210{}^\circ$ maka diperoleh

• $x=210{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=210{}^\circ$
• $x=(180{}^\circ -210{}^\circ )+k.360{}^\circ$
  $x=-30{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=330{}^\circ$

Untuk $\sin x=-1=\sin 270{}^\circ$

• $x=270{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=270{}^\circ$
• $x=(180{}^\circ -270{}^\circ )+k.360{}^\circ$
  $x=-90{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=270{}^\circ$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${210{}^\circ ,270{}^\circ ,330{}^\circ }$

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $3{{\tan }^{2}}2x-1=0$, untuk $0\le x\le 2\pi$

Alternatif Penyelesaian

$3{{\tan }^{2}}2x-1=0$ ingat bahwa $({{a}^{2}}-{{b}^{2}})=(a+b)(a-b)$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}\tan 2x+1 \right)\left( \sqrt{3}\tan 2x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$ atau $\tan 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

• Untuk $\tan 2x=-\frac{1}{3}\sqrt{3}=\tan (\pi -\frac{\pi }{6})=\tan \frac{5}{6}\pi$ maka diperoleh
  $2x=\frac{5}{6}\pi +k.\pi$
  $x=\frac{5}{12}\pi +k.\frac{\pi }{2}$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac{5}{12}\pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac{11}{12}\pi$
  Untuk $k=2\Rightarrow x=\frac{17}{12}\pi$
  Untuk $k=3\Rightarrow x=\frac{23}{12}\pi$
• Untuk $\tan 2x=\frac{1}{3}\sqrt{3}=\tan \frac{1}{6}\pi$ maka diperoleh
  $2x=\frac{1}{6}\pi +k.\pi$
  $x=\frac{1}{12}\pi +k.\frac{\pi }{2}$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac{1}{12}\pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac{7}{12}\pi$
  Untuk $k=2\Rightarrow x=\frac{13}{12}\pi$
  Untuk $k=3\Rightarrow x=\frac{19}{12}\pi$
  Untuk $k=4\Rightarrow x=\frac{25}{12}\pi$ (Tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${ \frac{1}{12}\pi ,\frac{5}{12}\pi ,\frac{7}{12}\pi ,\frac{11}{12}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{19}{12}\pi ,\frac{23}{12}\pi }$