Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik.
Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik.
Perlu diingat juga bahwa rentang untuk nilai dari cosx dan sinx adalah
ββ1β€sinΞΈβ€1ββ1β€cosΞΈβ€1β
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat trigonometri? untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x+cosxβ1=0, untuk 0β€xβ€360β
Alternatif Penyelesaian
Dengan memisalkan cosx=p maka
2cos2x+cosxβ1=0 (memisalkan cosx=p)
β2p2+pβ1=0
β(2pβ1)(p+1)=0
β2pβ1=0 atau p+1=0
βp=21β atau p=β1 (rubah lagi p=cosx)
βcosx=21β atau cosx=β1
Untuk cosx=21β=cos60β
x=60β+k.360β Untuk k=1βx=60β
x=β60β+k.360β Untuk k=1βx=300β
Untuk cosx=β1=cos180β
x=180β+k.360β Untuk k=0βx=180β
x=β180β+k.360β Untuk k=1βx=180β
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 60β,180β,300β
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2xβ3sinxβ3=0, untuk 0β€xβ€360β
x=(180ββ210β)+k.360β x=β30β+k.360β Untuk k=1βx=330β
Untuk sinx=β1=sin270β
x=270β+k.360β Untuk k=0βx=270β
x=(180ββ270β)+k.360β x=β90β+k.360β Untuk k=1βx=270β
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 210β,270β,330β
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3tan22xβ1=0, untuk 0β€xβ€2Ο
Alternatif Penyelesaian
3tan22xβ1=0 ingat bahwa (a2βb2)=(a+b)(aβb)
β(3βtan2x+1)(3βtan2xβ1)=0
βtan2x=β3β1β=β31β3β atau tan2x=3β1β=31β3β
Untuk tan2x=β31β3β=tan(Οβ6Οβ)=tan65βΟ maka diperoleh 2x=65βΟ+k.Ο x=125βΟ+k.2Οβ Untuk k=0βx=125βΟ Untuk k=1βx=1211βΟ Untuk k=2βx=1217βΟ Untuk k=3βx=1223βΟ
Untuk tan2x=31β3β=tan61βΟ maka diperoleh 2x=61βΟ+k.Ο x=121βΟ+k.2Οβ Untuk k=0βx=121βΟ Untuk k=1βx=127βΟ Untuk k=2βx=1213βΟ Untuk k=3βx=1219βΟ Untuk k=4βx=1225βΟ (Tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
121βΟ,125βΟ,127βΟ,1211βΟ,1213βΟ,1217βΟ,1219βΟ,1223βΟ