Untuk mencari penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana↝ dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Berikut beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri bentuk kuadrat
Latihan Soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $
Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka
$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ (memisalkan $\cos x=p$)
$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ (rubah lagi $p=\cos x$)
$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$
Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ $- $x=60{}^\circ +k.360{}^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ $ - $x=-60{}^\circ +k.360{}^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ $
Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ $
- $x=180{}^\circ +k.360{}^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ $ - $x=-180{}^\circ +k.360{}^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$
- $x=60{}^\circ +k.360{}^\circ $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $
Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka
$4\sin^2x-1=0$ (memisalkan $\sin x=p$)
$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(2p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ (rubah lagi $p=\sin x$)
$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$
Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $- $x=30^\circ +k.360^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=30^\circ $ - $x=(180^\circ-30^\circ) +k.360^\circ $
$x=150^\circ +k.360^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=150^\circ $
Untuk $\sin x=-\frac12=\sin 210^\circ $
- $x=210^\circ +k.360^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=210^\circ $ - $x=(180^\circ-210^\circ) +k.360^\circ $
$x=-30^\circ +k.360^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=330^\circ $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150^\circ,210^\circ, 330^\circ\rbrace$
- $x=30^\circ +k.360^\circ $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360^\circ $
$\tan^2x-1=0$
$\Leftrightarrow p^2-1=0 $ misal $\tan x=p$
$\Leftrightarrow(p-1)(p+1)=0 $
$\Leftrightarrow p=1$ atau $p=-1$
$\Leftrightarrow \tan x=1$ atau $\tan x=-1$ (rubah lagi $p=\tan x$)Untuk $\tan x=1=\tan 45^\circ $ maka diperoleh
- $x=45^\circ +k.180^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=45^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=225^\circ $
Untuk $\tan x=-1=\tan 35^\circ $
- $x=135^\circ +k.180^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=135^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=315^\circ $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 45^\circ ,135^\circ ,225^\circ,315^\circ \rbrace$
- $x=45^\circ +k.180^\circ $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $
Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka
$2\sin^x-1=0$ (memisalkan $\sin x=p$)
$\Leftrightarrow 2p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt2 p-1)(\sqrt2 p+1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt2p-1=0$ atau $\sqrt2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{\sqrt2}$ atau $p=-\frac{1}{\sqrt2}$ (rasionalkan bentuk akar)
$\Leftrightarrow p=\frac12\sqrt2$ atau $p=-\frac12\sqrt2$ (rubah lagi $p=\sin x$)
$\Leftrightarrow \sin x=\frac12\sqrt2$ atau $\sin x=-\frac12\sqrt2$
Untuk $\sin x=\frac12\sqrt2=\sin 45^\circ=\sin \frac14\pi $- $x=\frac14\pi +k.2\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac14\pi $ - $x=(\pi-\frac14\pi) +k.2\pi $
$x=\frac34\pi +k.2\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac34\pi $
Untuk $\sin x=-\frac12\sqrt2=\sin 225^\circ=\sin \frac54\pi $
- $x=\frac54\pi +k.2\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac54\pi $ - $x=(\pi-\frac54\pi) +k.2\pi $
$x=-\frac14\pi +k.2\pi $
Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac74\pi $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac14\pi,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi \rbrace$
- $x=\frac14\pi +k.2\pi $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos^2x-5\cos x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $
Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka
$2\cos ^2x-5\cos x-3=0$ (memisalkan $\cos x=p$)
$\Leftrightarrow 2p^2-5p-3=0$
$\Leftrightarrow (2p+1)(p-3)=0$
$\Leftrightarrow 2p+1=0$ atau $p-3=0$
$\Leftrightarrow p=-\frac{1}{2}$ atau $p=3$ (rubah lagi $p=\cos x$)
$\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$
Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos 120^\circ=\cos \frac23\pi $- $x=\frac23\pi +k.2\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23\pi $ - $x=-\frac23\pi +k.2\pi $
Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43\pi $
Untuk $\cos x=3$ jelas tidak memenuhi karena nilai $\cos x$ maksimal adalah 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac23\pi,\frac43\pi \rbrace$
- $x=\frac23\pi +k.2\pi $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $
$\tan^2x-3=0$
$\Leftrightarrow p^2-3=0 $ misal $\tan x=p$
$\Leftrightarrow(p-\sqrt3)(p+\sqrt3)=0 $
$\Leftrightarrow p=\sqrt3$ atau $p=-\sqrt3$
$\Leftrightarrow \tan x=\sqrt3$ atau $\tan x=-\sqrt3$ (rubah lagi $p=\tan x$)Untuk $\tan x=\sqrt3=\tan 60^\circ =\tan \frac13 \pi $ maka diperoleh
- $x=\frac13 \pi +k.\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac13 \pi $
Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43 \pi $
Untuk $\tan x=-\sqrt3=\tan 120^\circ=\tan \frac23 \pi $
- $x=\frac23 \pi +k.\pi $
Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23 \pi $
Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac53 \pi $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac13 \pi,\frac23 \pi,\frac43 \pi,\frac53 \pi \rbrace$
- $x=\frac13 \pi +k.\pi $
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^23x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $
Dengan memisalkan $\sin 3x=p$ maka
$4\sin^2x-1=0$ (memisalkan $\sin 3x=p$)
$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(2p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ (rubah lagi $p=\sin 3x$)
$\Leftrightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$ atau $\sin 3x=-1$
Untuk $\sin 3x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $- $3x=30^\circ +k.360^\circ $ masing-masing dibagi 3
$x=10^\circ +k.120^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=10^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=130^\circ $
Untuk $k=2\Rightarrow x=250^\circ $ - $3x=(180^\circ-30^\circ) +k.360^\circ $
$3x=150^\circ +k.360^\circ $ masing-masing ruas dibagi 3
$x=50^\circ +k.120^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=50^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=170^\circ $
Untuk $k=2\Rightarrow x=290^\circ $
Untuk $\sin 3x=-\frac12=\sin 210^\circ $
- $3x=210^\circ +k.360^\circ $
$\Rightarrow x=70^\circ +k.120^\circ $
Untuk $k=0\Rightarrow x=70^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=190^\circ $
Untuk $k=3\Rightarrow x=310^\circ $ - $x3=(180^\circ-210^\circ) +k.360^\circ $
$\Rightarrow 3x=-30^\circ +k.360^\circ $
$\Rightarrow x=-10^\circ +k.120^\circ $
Untuk $k=1\Rightarrow x=110^\circ $
Untuk $k=2\Rightarrow x=230^\circ $
Untuk $k=3\Rightarrow x=350^\circ $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 10^\circ, 50^\circ, 70^\circ,110^\circ,130^\circ,170^\circ,$ $190^\circ,230^\circ,250^\circ, 290^\circ,310^\circ,350^\circ \rbrace$
- $3x=30^\circ +k.360^\circ $ masing-masing dibagi 3