Persamaan Trigonometri Bentuk Acos X + Bsin X = C

Persamaan trigonometri berbentuk acosx+bsinx=c untuk bilangan real tak nol a,b,c dapat diselesaikan dengan syarat a kuadrat+b kuadrat lebih besar sama dengan c kuadrat. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan acosx+bsinx=c, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk kcos(x-p)=c dengan k=a2+b2,tan p=/a dan p harus sama kuadrannya dengan titik (a,b)

Persamaan trigonometri berbentuk $a\cos x+b\sin x=c$ untuk bilangan real tak nol $a,b,c$ dapat diselesaikan dengan syarat ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan $$a\cos x+b\sin x=c$$, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $$k\cos (x-\alpha )=c$$

dengan $$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},$$ $$\tan \alpha =\frac{b}{a},$$ dan $\alpha$ harus sama kuadrannya dengan titik $\left( a,b \right)$.

Sehingga persamaan $a\cos x+b\sin x=c$ berubah menjadi $k\cos (x-\alpha )=c$ atau $\cos (x-\alpha )=\frac{c}{k}$. Perhatikan bahwa nilai $\cos (x-\alpha )$ berada pada interval $-1\le \cos \left( x-\alpha \right)\le 1$, sehingga agar terdefinisi diperlukan syarat $-1\le \frac{c}{k}\le 1$.

Selain itu, bentuk $a\cos x+b\sin x=c$ bisa juga dituliskan dalam bentuk $$k\sin (x+\alpha )=c$$ dengan $$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$ dan $$\tan \alpha =\frac{a}{b}$$ Untuk $a\cos x-b\sin x=c$ akan menjadi $k\sin (\alpha -x)=c$.

Perbedaan antara merubah dalam $k\cos (x-\alpha )=c$ dan $k\sin (x+\alpha )=c$ terletak pada bentuk perbandingan tangennya.

Agar kalian lebih mudah memahaminya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ$

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah merubah ruas kiri menjadi bentuk $k\cos (x-\alpha )$.

$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$ diperoleh $a=1,b=-\sqrt{3}$ dan $c=2$

• Mencari nilai k
  $k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
• Mencari nilai $\alpha$
  Titik $\left( a,b \right)=\left( 1,-\sqrt{3} \right)$ berada di kuadran IV maka nilai $a$ diantara $270^\circ$ dan $360^\circ$.
  Untuk mencari $\alpha$ gunakan $\tan \alpha =\frac{b}{a}$ sehingga
  $\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}=\tan 300{}^\circ$
  maka $\alpha =300{}^\circ$

Diperoleh persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos (x-300{}^\circ )$, sehingga
$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$
$\Leftrightarrow 2\cos (x-300{}^\circ )=2$
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\frac{2}{2}$
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=1$
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\cos 0{}^\circ$
diperoleh
$x-300=0+k.360{}^\circ$
$\Leftrightarrow x=300+k.360{}^\circ$
Untuk $k=0\to x=300{}^\circ$

Jadi himpunan penyelesaianya adalah ${300{}^\circ }$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ$

Alternatif Penyelesaian

$\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$ diperoleh $a=\sqrt{3},b=-1$ dan $c=\sqrt{2}$

• Merubah ke persamaan $k\cos (x-\alpha )=c$
  $k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2$
  $\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
  Titik $(a,b)=(\sqrt{3},-1)$ berarti di kuadran IV maka
  $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right)$
  $\Leftrightarrow \alpha =330{}^\circ$
  Diperoleh persamaan $2\cos (x-330{}^\circ )=\sqrt{2}$
• Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
  $2\cos (x-330)=\sqrt{2}$
  $\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  $\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\cos 45{}^\circ$
  Diperoleh
  • $x-330{}^\circ =45{}^\circ +k.360{}^\circ$
    $x=375{}^\circ +k.360$
    Untuk $k=-1\to x=15{}^\circ$
  • $x-330{}^\circ =-45{}^\circ +k.360{}^\circ$
    $x=285{}^\circ +k.360{}^\circ$
    Untuk $k=0\to x=285{}^\circ$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${15{}^\circ ,285{}^\circ }$

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1$, untuk $0\le x\le 2\pi$

Alternatif Penyelesaian

Diketahui $\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1$ diperoleh $a=\sqrt{3},b=-1$ dan $c=1$

• Merubah ke persamaan $k\cos (2x-\alpha )=c$
  $k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2$
  $\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
  Titik $(a,b)=(\sqrt{3},-1)$ berarti di kuadran IV maka
  $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\sqrt{3} \right)$
  $\Leftrightarrow \alpha =-\frac{\pi }{6}$ atau $\alpha =\frac{11}{6}\pi$
  Diperoleh persamaan $2\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1$
• Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
  $2\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1$
  $\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\frac{1}{2}$
  $\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\cos \frac{1}{3}\pi$
  Diperoleh
  • $2x-\frac{11}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi +k.2\pi$
    $2x=\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi$
    $2x=\frac{13}{6}\pi +k.2\pi$
    $x=\frac{13}{12}\pi +k.\pi$
    Untuk $k=-1\to x=\frac{1}{12}\pi$
    $k=0\to x=\frac{13}{12}\pi$
  • $2x-\frac{11}{6}\pi =-\frac{1}{3}\pi +k.2\pi$
    $2x=-\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi$
    $2x=\frac{9}{6}\pi +k.2\pi$
    $x=\frac{3}{4}\pi +k.\pi$
    Untuk $k=0\to x=\frac{3}{4}\pi$
    $k=1\to x=\frac{7}{4}\pi$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${ \frac{1}{12}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$