Persamaan trigonometri berbentuk acosx+bsinx=c untuk bilangan real tak nol a,b,c dapat diselesaikan dengan syarat a kuadrat+b kuadrat lebih besar sama dengan c kuadrat. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan acosx+bsinx=c, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk kcos(x-p)=c dengan k=a2+b2,tan p=/a dan p harus sama kuadrannya dengan titik (a,b)
Persamaan trigonometri berbentuk acosx+bsinx=c untuk bilangan real tak nol a,b,c dapat diselesaikan dengan syarat a2+b2β₯c2. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan acosx+bsinx=c, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk kcos(xβΞ±)=c
dengan k=a2+b2β,tanΞ±=abβ, dan Ξ± harus sama kuadrannya dengan titik (a,b).
Sehingga persamaan acosx+bsinx=c berubah menjadi kcos(xβΞ±)=c atau cos(xβΞ±)=kcβ. Perhatikan bahwa nilai cos(xβΞ±) berada pada interval β1β€cos(xβΞ±)β€1, sehingga agar terdefinisi diperlukan syarat β1β€kcββ€1.
Selain itu, bentuk acosx+bsinx=c bisa juga dituliskan dalam bentuk ksin(x+Ξ±)=c dengan k=a2+b2β dan tanΞ±=baβ
Untuk acosxβbsinx=c akan menjadi ksin(Ξ±βx)=c.
Perbedaan antara merubah dalam kcos(xβΞ±)=c dan ksin(x+Ξ±)=c terletak pada bentuk perbandingan tangennya.
Agar kalian lebih mudah memahaminya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cosxβ3βsinx=2, untuk 0β€xβ€360β
Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama adalah merubah ruas kiri menjadi bentuk kcos(xβΞ±).
cosxβ3βsinx=2 diperoleh a=1,b=β3β dan c=2
Mencari nilai k k=a2+b2β=12+(β3β)2β=1+3β=4β=2
Mencari nilai Ξ± Titik (a,b)=(1,β3β) berada di kuadran IV maka nilai a diantara 270β dan 360β. Untuk mencari Ξ± gunakan tanΞ±=abβ sehingga tanΞ±=abβ=1β3ββ=β3β=tan300β maka Ξ±=300β
Diperoleh persamaan cosxβ3βsinx=2cos(xβ300β), sehingga cosxβ3βsinx=2 β2cos(xβ300β)=2 βcos(xβ300β)=22β βcos(xβ300β)=1 βcos(xβ300β)=cos0β diperoleh xβ300=0+k.360β βx=300+k.360β Untuk k=0βx=300β
Jadi himpunan penyelesaianya adalah 300β
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3βcosxβsinx=2β, untuk 0β€xβ€360β
Alternatif Penyelesaian
3βcosxβsinx=2β diperoleh a=3β,b=β1 dan c=2β
Merubah ke persamaan kcos(xβΞ±)=c k=a2+b2β=(3β)2+(β1)2β=3+1β=2 tanΞ±=abβ=3ββ1β=β31β3β Titik (a,b)=(3β,β1) berarti di kuadran IV maka Ξ±=tanβ1(β31β3β) βΞ±=330β Diperoleh persamaan 2cos(xβ330β)=2β
Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri. 2cos(xβ330)=2β βcos(xβ330β)=22ββ βcos(xβ330β)=cos45β Diperoleh
xβ330β=45β+k.360β x=375β+k.360 Untuk k=β1βx=15β
xβ330β=β45β+k.360β x=285β+k.360β Untuk k=0βx=285β
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 15β,285β
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3βcos2xβsin2x=1, untuk 0β€xβ€2Ο
Alternatif Penyelesaian
Diketahui 3βcos2xβsin2x=1 diperoleh a=3β,b=β1 dan c=1
Merubah ke persamaan kcos(2xβΞ±)=c k=a2+b2β=(3β)2+(β1)2β=3+1β=2 tanΞ±=abβ=3ββ1β=β31β3β Titik (a,b)=(3β,β1) berarti di kuadran IV maka Ξ±=tanβ1(β3β) βΞ±=β6Οβ atau Ξ±=611βΟ Diperoleh persamaan 2cos(2xβ611βΟ)=1
Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri. 2cos(2xβ611βΟ)=1 βcos(2xβ611βΟ)=21β βcos(2xβ611βΟ)=cos31βΟ Diperoleh
2xβ611βΟ=31βΟ+k.2Ο 2x=31βΟ+611βΟ+k.2Ο 2x=613βΟ+k.2Ο x=1213βΟ+k.Ο Untuk k=β1βx=121βΟ k=0βx=1213βΟ
2xβ611βΟ=β31βΟ+k.2Ο 2x=β31βΟ+611βΟ+k.2Ο 2x=69βΟ+k.2Ο x=43βΟ+k.Ο Untuk k=0βx=43βΟ k=1βx=47βΟ
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 121βΟ,43βΟ,1213βΟ,47βΟ