Persamaan trigonometri berbentuk acosx+bsinx=c untuk bilangan real tak nol a,b,c dapat diselesaikan dengan syarat a kuadrat+b kuadrat lebih besar sama dengan c kuadrat. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan acosx+bsinx=c, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk kcos(x-p)=c dengan k=a2+b2,tan p=/a dan p harus sama kuadrannya dengan titik (a,b)

Persamaan trigonometri berbentuk acos⁑x+bsin⁑x=ca\cos x+b\sin x=c untuk bilangan real tak nol a,b,ca,b,c dapat diselesaikan dengan syarat a2+b2β‰₯c2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan acos⁑x+bsin⁑x=ca\cos x+b\sin x=c, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk kcos⁑(xβˆ’Ξ±)=ck\cos (x-\alpha )=c

dengan k=a2+b2,k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}, tan⁑α=ba,\tan \alpha =\frac{b}{a}, dan α\alpha harus sama kuadrannya dengan titik (a,b)\left( a,b \right).

Sehingga persamaan acos⁑x+bsin⁑x=ca\cos x+b\sin x=c berubah menjadi kcos⁑(xβˆ’Ξ±)=ck\cos (x-\alpha )=c atau cos⁑(xβˆ’Ξ±)=ck\cos (x-\alpha )=\frac{c}{k}. Perhatikan bahwa nilai cos⁑(xβˆ’Ξ±)\cos (x-\alpha ) berada pada interval βˆ’1≀cos⁑(xβˆ’Ξ±)≀1-1\le \cos \left( x-\alpha \right)\le 1, sehingga agar terdefinisi diperlukan syarat βˆ’1≀ck≀1-1\le \frac{c}{k}\le 1.

Selain itu, bentuk acos⁑x+bsin⁑x=ca\cos x+b\sin x=c bisa juga dituliskan dalam bentuk ksin⁑(x+Ξ±)=ck\sin (x+\alpha )=c dengan k=a2+b2k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} dan tan⁑α=ab\tan \alpha =\frac{a}{b} Untuk acos⁑xβˆ’bsin⁑x=ca\cos x-b\sin x=c akan menjadi ksin⁑(Ξ±βˆ’x)=ck\sin (\alpha -x)=c.

Perbedaan antara merubah dalam kcos⁑(xβˆ’Ξ±)=ck\cos (x-\alpha )=c dan ksin⁑(x+Ξ±)=ck\sin (x+\alpha )=c terletak pada bentuk perbandingan tangennya.

Agar kalian lebih mudah memahaminya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos⁑xβˆ’3sin⁑x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x=2, untuk 0≀x≀360∘0\le x\le 360{}^\circ

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah merubah ruas kiri menjadi bentuk kcos⁑(xβˆ’Ξ±)k\cos (x-\alpha ).

cos⁑xβˆ’3sin⁑x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x=2 diperoleh a=1,b=βˆ’3a=1,b=-\sqrt{3} dan c=2c=2

  • Mencari nilai k
    k=a2+b2=12+(βˆ’3)2=1+3=4=2k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2
  • Mencari nilai Ξ±\alpha
    Titik (a,b)=(1,βˆ’3)\left( a,b \right)=\left( 1,-\sqrt{3} \right) berada di kuadran IV maka nilai aa diantara 270∘270^\circ dan 360∘360^\circ.
    Untuk mencari α\alpha gunakan tan⁑α=ba\tan \alpha =\frac{b}{a} sehingga
    tan⁑α=ba=βˆ’31=βˆ’3=tan⁑300∘\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}=\tan 300{}^\circ
    maka α=300∘\alpha =300{}^\circ

Diperoleh persamaan cos⁑xβˆ’3sin⁑x=2cos⁑(xβˆ’300∘)\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos (x-300{}^\circ ), sehingga
cos⁑xβˆ’3sin⁑x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x=2
⇔2cos⁑(xβˆ’300∘)=2\Leftrightarrow 2\cos (x-300{}^\circ )=2
⇔cos⁑(xβˆ’300∘)=22\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\frac{2}{2}
⇔cos⁑(xβˆ’300∘)=1\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=1
⇔cos⁑(xβˆ’300∘)=cos⁑0∘\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\cos 0{}^\circ
diperoleh
xβˆ’300=0+k.360∘x-300=0+k.360{}^\circ
⇔x=300+k.360∘\Leftrightarrow x=300+k.360{}^\circ
Untuk k=0β†’x=300∘k=0\to x=300{}^\circ

Jadi himpunan penyelesaianya adalah 300∘{300{}^\circ }

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3cos⁑xβˆ’sin⁑x=2\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}, untuk 0≀x≀360∘0\le x\le 360{}^\circ

Alternatif Penyelesaian

3cos⁑xβˆ’sin⁑x=2\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2} diperoleh a=3,b=βˆ’1a=\sqrt{3},b=-1 dan c=2c=\sqrt{2}

  • Merubah ke persamaan kcos⁑(xβˆ’Ξ±)=ck\cos (x-\alpha )=c
    k=a2+b2=(3)2+(βˆ’1)2=3+1=2k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2
    tan⁑α=ba=βˆ’13=βˆ’133\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}
    Titik (a,b)=(3,βˆ’1)(a,b)=(\sqrt{3},-1) berarti di kuadran IV maka
    Ξ±=tanβ‘βˆ’1(βˆ’133)\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right)
    ⇔α=330∘\Leftrightarrow \alpha =330{}^\circ
    Diperoleh persamaan 2cos⁑(xβˆ’330∘)=22\cos (x-330{}^\circ )=\sqrt{2}
  • Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
    2cos⁑(xβˆ’330)=22\cos (x-330)=\sqrt{2}
    ⇔cos⁑(xβˆ’330∘)=22\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{2}
    ⇔cos⁑(xβˆ’330∘)=cos⁑45∘\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\cos 45{}^\circ
    Diperoleh
    • xβˆ’330∘=45∘+k.360∘x-330{}^\circ =45{}^\circ +k.360{}^\circ
      x=375∘+k.360x=375{}^\circ +k.360
      Untuk k=βˆ’1β†’x=15∘k=-1\to x=15{}^\circ
    • xβˆ’330∘=βˆ’45∘+k.360∘x-330{}^\circ =-45{}^\circ +k.360{}^\circ
      x=285∘+k.360∘x=285{}^\circ +k.360{}^\circ
      Untuk k=0β†’x=285∘k=0\to x=285{}^\circ

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 15∘,285∘{15{}^\circ ,285{}^\circ }

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3cos⁑2xβˆ’sin⁑2x=1\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1, untuk 0≀x≀2Ο€0\le x\le 2\pi

Alternatif Penyelesaian

Diketahui 3cos⁑2xβˆ’sin⁑2x=1\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1 diperoleh a=3,b=βˆ’1a=\sqrt{3},b=-1 dan c=1c=1

  • Merubah ke persamaan kcos⁑(2xβˆ’Ξ±)=ck\cos (2x-\alpha )=c
    k=a2+b2=(3)2+(βˆ’1)2=3+1=2k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2
    tan⁑α=ba=βˆ’13=βˆ’133\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}
    Titik (a,b)=(3,βˆ’1)(a,b)=(\sqrt{3},-1) berarti di kuadran IV maka
    Ξ±=tanβ‘βˆ’1(βˆ’3)\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\sqrt{3} \right)
    ⇔α=βˆ’Ο€6\Leftrightarrow \alpha =-\frac{\pi }{6} atau Ξ±=116Ο€\alpha =\frac{11}{6}\pi
    Diperoleh persamaan 2cos⁑(2xβˆ’116Ο€)=12\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1
  • Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
    2cos⁑(2xβˆ’116Ο€)=12\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1
    ⇔cos⁑(2xβˆ’116Ο€)=12\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\frac{1}{2}
    ⇔cos⁑(2xβˆ’116Ο€)=cos⁑13Ο€\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\cos \frac{1}{3}\pi
    Diperoleh
    • 2xβˆ’116Ο€=13Ο€+k.2Ο€2x-\frac{11}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi +k.2\pi
      2x=13Ο€+116Ο€+k.2Ο€2x=\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi
      2x=136Ο€+k.2Ο€2x=\frac{13}{6}\pi +k.2\pi
      x=1312Ο€+k.Ο€x=\frac{13}{12}\pi +k.\pi
      Untuk k=βˆ’1β†’x=112Ο€k=-1\to x=\frac{1}{12}\pi
      k=0β†’x=1312Ο€k=0\to x=\frac{13}{12}\pi
    • 2xβˆ’116Ο€=βˆ’13Ο€+k.2Ο€2x-\frac{11}{6}\pi =-\frac{1}{3}\pi +k.2\pi
      2x=βˆ’13Ο€+116Ο€+k.2Ο€2x=-\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi
      2x=96Ο€+k.2Ο€2x=\frac{9}{6}\pi +k.2\pi
      x=34Ο€+k.Ο€x=\frac{3}{4}\pi +k.\pi
      Untuk k=0β†’x=34Ο€k=0\to x=\frac{3}{4}\pi
      k=1β†’x=74Ο€k=1\to x=\frac{7}{4}\pi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 112Ο€,34Ο€,1312Ο€,74Ο€ { \frac{1}{12}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{7}{4}\pi }