Persamaan trigonometri berbentuk $a\cos x+b\sin x=c$ untuk bilangan real tak nol $a,b,c$ dapat diselesaikan dengan syarat ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$. Untuk mempermudah menyelesaikan bentuk persamaan $$a\cos x+b\sin x=c$$, bentuk tersebut diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $$k\cos (x-\alpha )=c$$
dengan $$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},$$ $$\tan \alpha =\frac{b}{a},$$ dan $\alpha $ harus sama kuadrannya dengan titik $\left( a,b \right)$.
Sehingga persamaan $a\cos x+b\sin x=c$ berubah menjadi $k\cos (x-\alpha )=c$ atau $\cos (x-\alpha )=\frac{c}{k}$. Perhatikan bahwa nilai $\cos (x-\alpha )$ berada pada interval $-1\le \cos \left( x-\alpha \right)\le 1$, sehingga agar terdefinisi diperlukan syarat $-1\le \frac{c}{k}\le 1$.
Selain itu, bentuk $a\cos x+b\sin x=c$ bisa juga dituliskan dalam bentuk $$k\sin (x+\alpha )=c$$ dengan $$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$ dan $$\tan \alpha =\frac{a}{b}$$ Untuk $a\cos x-b\sin x=c$ akan menjadi $k\sin (\alpha -x)=c$.
Perbedaan antara merubah dalam $k\cos (x-\alpha )=c$ dan $k\sin (x+\alpha )=c$ terletak pada bentuk perbandingan tangennya.
Agar kalian lebih mudah memahaminya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $
Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama adalah merubah ruas kiri menjadi bentuk $k\cos (x-\alpha )$.
$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$ diperoleh $a=1,b=-\sqrt{3}$ dan $c=2$
- Mencari nilai k
$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$ - Mencari nilai $\alpha $
Titik $\left( a,b \right)=\left( 1,-\sqrt{3} \right)$ berada di kuadran IV maka nilai $a$ diantara $270^\circ$ dan $360^\circ$.
Untuk mencari $\alpha $ gunakan $\tan \alpha =\frac{b}{a}$ sehingga
$\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}=\tan 300{}^\circ $
maka $\alpha =300{}^\circ $
Diperoleh persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos (x-300{}^\circ )$, sehingga
$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$
$\Leftrightarrow 2\cos (x-300{}^\circ )=2$
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\frac{2}{2} $
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=1 $
$\Leftrightarrow \cos (x-300{}^\circ )=\cos 0{}^\circ $
diperoleh
$x-300=0+k.360{}^\circ $
$\Leftrightarrow x=300+k.360{}^\circ $
Untuk $k=0\to x=300{}^\circ $
Jadi himpunan penyelesaianya adalah ${300{}^\circ }$
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $
Alternatif Penyelesaian
$\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$ diperoleh $a=\sqrt{3},b=-1$ dan $c=\sqrt{2}$
- Merubah ke persamaan $k\cos (x-\alpha )=c$
$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2$
$\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Titik $(a,b)=(\sqrt{3},-1)$ berarti di kuadran IV maka
$\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right)$
$\Leftrightarrow \alpha =330{}^\circ $
Diperoleh persamaan $2\cos (x-330{}^\circ )=\sqrt{2}$ - Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$2\cos (x-330)=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \cos (x-330{}^\circ )=\cos 45{}^\circ $
Diperoleh- $x-330{}^\circ =45{}^\circ +k.360{}^\circ $
$x=375{}^\circ +k.360$
Untuk $k=-1\to x=15{}^\circ $ - $x-330{}^\circ =-45{}^\circ +k.360{}^\circ $
$x=285{}^\circ +k.360{}^\circ $
Untuk $k=0\to x=285{}^\circ $
- $x-330{}^\circ =45{}^\circ +k.360{}^\circ $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${15{}^\circ ,285{}^\circ }$
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1$, untuk $0\le x\le 2\pi $
Alternatif Penyelesaian
Diketahui $\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x=1$ diperoleh $a=\sqrt{3},b=-1$ dan $c=1$
- Merubah ke persamaan $k\cos (2x-\alpha )=c$
$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2$
$\tan \alpha =\frac{b}{a}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Titik $(a,b)=(\sqrt{3},-1)$ berarti di kuadran IV maka
$\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( -\sqrt{3} \right)$
$\Leftrightarrow \alpha =-\frac{\pi }{6}$ atau $\alpha =\frac{11}{6}\pi $
Diperoleh persamaan $2\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1$ - Selanjutnya, diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$2\cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=1$
$\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos (2x-\frac{11}{6}\pi )=\cos \frac{1}{3}\pi $
Diperoleh- $2x-\frac{11}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi +k.2\pi $
$2x=\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi $
$2x=\frac{13}{6}\pi +k.2\pi $
$x=\frac{13}{12}\pi +k.\pi $
Untuk $k=-1\to x=\frac{1}{12}\pi $
$k=0\to x=\frac{13}{12}\pi $ - $2x-\frac{11}{6}\pi =-\frac{1}{3}\pi +k.2\pi $
$2x=-\frac{1}{3}\pi +\frac{11}{6}\pi +k.2\pi $
$2x=\frac{9}{6}\pi +k.2\pi $
$x=\frac{3}{4}\pi +k.\pi $
Untuk $k=0\to x=\frac{3}{4}\pi $
$k=1\to x=\frac{7}{4}\pi $
- $2x-\frac{11}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi +k.2\pi $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ { \frac{1}{12}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$