Pertidaksamaan Logaritma Dan Contoh Soal

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel serta berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $<, >, \le, \ge$.

Pada artikel kali ini kita akan membahas pertidaksamaan logaritam bentuk sederhana. Untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa teman-teman langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana, misalnya bentuknya $^a \log f(x) \geq ^a \log g(x)$, penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a)$ dan untuk menyelesaikannya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu sifat-sifat logaritma↝ dengan baik.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita dapat menggunakan sifat fungsi logaritma yaitu monoton naik dan monoton turun. Sifat-sifat tersebut dapat kita deskripsikan sebagai berikut.

Konsep Dasar Pertidaksamaan Eksponen

Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu

• menentukan akar-akarnya,
• menentukan garis bilangan dan tandanya,
• mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya.

Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

catatan: Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari $^3\log (3x-2)<{}^3\log 7$

Alternatif Penyelesaian

• Diketahui $f(x)=3x-2$, $g(x)=7$, dan nilai basisnya 2, maka solusi tanda ketaksamaannya tetap
• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*}f(x)&<g(x)\\3x-2&<7\\3x&<9\\x&<3\end{align*}$$ Maka solusi pertama $x<3$
• Syarat Numerus $$3x-2>0\\3x>2\\x>\frac{2}{3}$$ Maka solusi kedua $x>\frac{2}{3}$ Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut

Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\Set{ x| \frac{2}{3}<x<3, x\in R }$

Contoh Soal 2

Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^3 \log (5x-3) \ge 3$

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a =3)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap

• Solusi Pertidaksamaan
  Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
  $$\begin{align*} {}^3 \log (5x-3) &\ge 3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 3^3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 27 \\ \text{(basisnya } a &= 3 >1 , \text{ dicoret, tanda tetap)}\\ (5x-3) &\ge 27 \\ 5x &\ge 30 \\ x &\ge 6 \end{align*}$$
  Solusi pertama HP1=$\set{ x\ge6 }$
• Syarat Numerus
  $$\begin{align*}(5x-3) &> 0 \\ 5x &> 3 \\ x &>\frac{3}{5} \end{align*}$$
  Solusi Kedua HP2 = $\set{ x >\frac{3}{5} }$
  Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut. Sehingga solusinya :
  
  Jadi, solusinya HP = $\set{x | x \ge 6 }$
  

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^\frac{1}{3} \log (3x-5) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1)$ ?

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.

• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*} {}^\frac{1}{3} \log (3x-5) &\geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{3} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (3x-5) & \leq (x+1) \\ 3x-x & \leq 1+5\\ 2x & \leq 6 \\ x & \leq 3 \end{align*}$$
  HP1 = $\set{ x | x \leq 3 }$
• Syarat Numerus
  Syarat numerus 1
  $$\begin{align*} (3x-5) &> 0 \\ 3x &> 5 \\ x &> \frac{5}{3} \text{….(HP2)} \end{align*}$$
  Syarat numerus 2
  $$\begin{align*} (x+1) &> 0 \\ x &> -1 \text{….(HP3)} \end{align*}$$

Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :

HP = $HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x|\frac{5}{3} < x \leq 3 }$

Jadi, solusinya HP = $\Set{ x| \frac{5}{3} < x \leq 3 }$

Contoh Soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) \geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5)$ ?

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.

• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*} {}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) &\geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{2} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (x^2-4x-21) & \leq (2x-5) \\ x^2-6x-16 & \leq 0\\ (x-8)(x+2) & \leq 0 \end{align*}$$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP1 dengan garis bilangan $$x=8 \text{ atau } x=-2$$ diperoleh garis bilangan sehingga HP1 = $\set{ x | -2\leq x \leq 8 }$
• Syarat Numerus
  Syarat numerus 1
  $$\begin{align*} (x^2-4x-21) &> 0 \\ (x-7)(x+3) &> 0 \end{align*}$$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP2 dengan garis bilangan $$x=7 \text{ atau } x=-3$$ diperoleh garis bilangan sehingga HP2 = $\set{ x | x <-3 \text{ atau } x > 7 }$
  **Syarat numerus 2**
  $$\begin{align*} (2x-5) &> 0 \\ x &> \frac52 \text{….(HP3)} \end{align*}$$
  Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :
  

HP = $HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x| 7 < x \leq 8 }$

Jadi, solusinya HP = $\Set{ x| 7 < x \leq 8 }$

Pertidaksamaan Logaritma tidaklah sulit, kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan karena juga menjadi solusi bersama. Teman-teman juga harus bisa menggunakan garis bilangan untuk mencari himpunan penyelesaiannya.