Pertidaksamaan Logaritma Dan Contoh Soal

pelajari pertidaksamaan logaritam bentuk sederhana

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel serta berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $<, >, \le, \ge$.

Pada artikel kali ini kita akan membahas pertidaksamaan logaritam bentuk sederhana. Untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa teman-teman langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana, misalnya bentuknya $^a \log f(x) \geq ^a \log g(x)$, penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a)$ dan untuk menyelesaikannya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu sifat-sifat logaritma↝ dengan baik.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita dapat menggunakan sifat fungsi logaritma yaitu monoton naik dan monoton turun. Sifat-sifat tersebut dapat kita deskripsikan sebagai berikut.

Konsep Dasar Pertidaksamaan Eksponen

Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu

• menentukan akar-akarnya,
• menentukan garis bilangan dan tandanya,
• mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya.

Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

catatan: Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari $^3\log (3x-2)<{}^3\log 7$

Alternatif Penyelesaian

• Diketahui $f(x)=3x-2$, $g(x)=7$, dan nilai basisnya 2, maka solusi tanda ketaksamaannya tetap
• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*}f(x)&<g(x)\\3x-2&<7\\3x&<9\\x&<3\end{align*}$$ Maka solusi pertama $x<3$
• Syarat Numerus $$3x-2>0\\3x>2\\x>\frac{2}{3}$$ Maka solusi kedua $x>\frac{2}{3}$ Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut

Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\Set{ x| \frac{2}{3}<x<3, x\in R }$

Contoh Soal 2

Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^3 \log (5x-3) \ge 3$

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a =3)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap

• Solusi Pertidaksamaan
  Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
  $$\begin{align*} {}^3 \log (5x-3) &\ge 3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 3^3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 27 \\ \text{(basisnya } a &= 3 >1 , \text{ dicoret, tanda tetap)}\\ (5x-3) &\ge 27 \\ 5x &\ge 30 \\ x &\ge 6 \end{align*}$$
  Solusi pertama HP1=$\set{ x\ge6 }$
• Syarat Numerus
  $$\begin{align*}(5x-3) &> 0 \\ 5x &> 3 \\ x &>\frac{3}{5} \end{align*}$$
  Solusi Kedua HP2 = $\set{ x >\frac{3}{5} }$
  Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut. Sehingga solusinya :
  
  Jadi, solusinya HP = $\set{x | x \ge 6 }$
  

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^\frac{1}{3} \log (3x-5) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1)$ ?

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.

• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*} {}^\frac{1}{3} \log (3x-5) &\geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{3} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (3x-5) & \leq (x+1) \\ 3x-x & \leq 1+5\\ 2x & \leq 6 \\ x & \leq 3 \end{align*}$$
  HP1 = $\set{ x | x \leq 3 }$
• Syarat Numerus
  Syarat numerus 1
  $$\begin{align*} (3x-5) &> 0 \\ 3x &> 5 \\ x &> \frac{5}{3} \text{….(HP2)} \end{align*}$$
  Syarat numerus 2
  $$\begin{align*} (x+1) &> 0 \\ x &> -1 \text{….(HP3)} \end{align*}$$

Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :

HP = $HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x|\frac{5}{3} < x \leq 3 }$

Jadi, solusinya HP = $\Set{ x| \frac{5}{3} < x \leq 3 }$

Contoh Soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) \geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5)$ ?

Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.

• Solusi Pertidaksamaan
  $$\begin{align*} {}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) &\geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{2} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (x^2-4x-21) & \leq (2x-5) \\ x^2-6x-16 & \leq 0\\ (x-8)(x+2) & \leq 0 \end{align*}$$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP1 dengan garis bilangan $$x=8 \text{ atau } x=-2$$ diperoleh garis bilangan sehingga HP1 = $\set{ x | -2\leq x \leq 8 }$
• Syarat Numerus
  Syarat numerus 1
  $$\begin{align*} (x^2-4x-21) &> 0 \\ (x-7)(x+3) &> 0 \end{align*}$$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP2 dengan garis bilangan $$x=7 \text{ atau } x=-3$$ diperoleh garis bilangan sehingga HP2 = $\set{ x | x <-3 \text{ atau } x > 7 }$
  **Syarat numerus 2**
  $$\begin{align*} (2x-5) &> 0 \\ x &> \frac52 \text{….(HP3)} \end{align*}$$
  Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :
  

HP = $HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x| 7 < x \leq 8 }$

Jadi, solusinya HP = $\Set{ x| 7 < x \leq 8 }$

Pertidaksamaan Logaritma tidaklah sulit, kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan karena juga menjadi solusi bersama. Teman-teman juga harus bisa menggunakan garis bilangan untuk mencari himpunan penyelesaiannya.