Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri (ukuran derajat atau radian). Ketika menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam persamaan trigonometri sederhana.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri (ukuran derajat atau radian). Ketika menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam persamaan trigonometri sederhana. Dalam menyelesaikan persamaan trigonometri pastikan kamu telah mempelajari materi prasyaratnya yaitu trigonometri dasar↝

Persamaan trigonometri bentuk sin⁑x=sin⁑α\sin x=\sin \alpha

Perhatikan grafik sinus berikut

Grafik fungsi sinus

Gambar 4. Grafik fungsi sin x

Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf β€œS” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360Β°. Pada gambar diatas, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Oleh karena itu,

Persamaan trigonometri bentuk cos⁑x=cos⁑α\cos x=\cos \alpha

Perhatikan grafik cosinus berikut

Grafik fungsi cosinus Gambar 5. Grafik fungsi cos x

Grafik cosinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf β€œC” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360Β°. Pada gambar diatas, nilai awal grafik cosinus di kuadran I adalah positif. Nilai cosinus akan kembali positif di kuadran IV. Oleh karena itu,

Persamaan trigonometri bentuk tan⁑x=tan⁑α\tan x=\tan \alpha

Perhatikan grafik cosinus berikut

Grafik fungsi tangen Gambar 6. Grafik fungsi tan x

Grafik tangen berulang-ulang terputus-putus dan berulang-ulangnya setiap 180Β°. Pada gambar diatas nilai positif berada di kuadran I dan berulang setiap 180Β°. Oleh karena itu,

Agar lebih mudah dalam memahaminya perhatikan contoh berikut

Contoh

Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut.

  1. sin⁑x=sin⁑40∘, 0≀x≀360∘\sin x=\sin 40^\circ ,\text{ }0\le x\le 360^\circ
  2. cos⁑(2xβˆ’Ο€)=cos⁑π6, 0≀x≀2Ο€\cos (2x-\pi )=\cos \frac{\pi }{6},\text{ }0\le x\le 2\pi
  3. tan⁑3x=tan⁑x, 0≀x≀360∘\tan 3x=\tan x,\text{ }0\le x\le 360^\circ

Alternatif Penyelesaian

  1. sin⁑x=sin⁑40∘,0≀x≀360∘\sin x=\sin 40^\circ,0\le x\le 360^\circ

    1. x1=40∘+k.360∘x_1=40^\circ +k.360^\circ
      Untuk k=0β†’x1=40∘k=0\to {{x}_{1}}=40^\circ
    2. x2=(180βˆ˜βˆ’40∘)+k.360∘x_2=(180^\circ -40^\circ )+k.360^\circ
      Untuk k=0β†’x2=140∘k=0\to {{x}_{2}}=140^\circ

    Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= 40∘,140∘{40^\circ ,140^\circ }

  2. cos⁑(2xβˆ’Ο€)=cos⁑π6, 0≀x≀2Ο€\cos (2x-\pi )=\cos \frac{\pi }{6},\text{ }0\le x\le 2\pi

    1. 2x1βˆ’Ο€=Ο€6+k.2Ο€2x_1-\pi =\frac{\pi }{6}+k.2\pi
      x1=712Ο€+k.Ο€x_{1}=\frac{7}{12}\pi +k.\pi
      Untuk k=0β†’x1=712Ο€k=0\to x_1=\frac{7}{12}\pi
      Untuk k=1β†’x1=1912Ο€k=1\to x_1=\frac{19}{12}\pi
    2. 2x2βˆ’Ο€=(βˆ’Ο€6)+k.2Ο€2x_2-\pi =(-\frac{\pi }{6})+k.2\pi
      x2=512Ο€+k.Ο€x_2=\frac{5}{12}\pi +k.\pi
      Untuk k=0β†’x2=512Ο€k=0\to x_{2}=\frac{5}{12}\pi
      Untuk k=1β†’x2=1712Ο€k=1\to x_2=\frac{17}{12}\pi

    Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= 512Ο€,712Ο€,1712Ο€,1912Ο€{\frac{5}{12}\pi ,\frac{7}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{19}{12}\pi }

  3. tan⁑3x=tan⁑x, 0≀x≀360∘\tan 3x=\tan x,\text{ }0\le x\le 360^\circ
    3x=x+k.180∘3x=x+k.180^\circ
    2x=k.180∘2x=k.180^\circ
    x=k.90∘x=k.90^\circ
    Untuk
    k=0β†’x=0k=0\to x=0
    k=1β†’x=90∘k=1\to x=90^\circ
    k=2β†’x=180∘k=2\to x=180^\circ
    k=3β†’x=270∘k=3\to x=270^\circ
    k=4β†’x=360∘k=4\to x=360^\circ

    Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah HP= 0∘,90∘,180∘,270∘,360∘{0^\circ ,90^\circ ,180^\circ ,270^\circ ,360^\circ }